Початкові задачі для параболічних систем Солонникова–Ейдельмана - Автореферат

Міністерство освіти і науки України Автореферат дисертації на здобуття наукового ступеня кандидата фізико-математичних наукНауковий керівник: доктор фізико-математичних наук, професор Івасишен Степан Дмитрович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, кафедри математичного моделювання Офіційні опоненти: доктор фізико-математичних наук, професор Матійчук Михайло Іванович, Чернівецький національний університет імені Юрія Федьковича, професор кафедри диференціальних рівнянь; кандидат фізико-математичних наук, доцент Кондур Оксана Созонтівна, Прикарпатський національний університет Василя Стефаника, доцент кафедри економічної кібернетики З дисертацією можна ознайомитись у бібліотеці Чернівецького національного університету імені Юрія Федьковича (58012, м.Чернівці, вул.У цих системах диференціювання за різними просторовими змінними мають, взагалі кажучи, різну вагу відносно диференціювання за часовою змінною, тобто системи мають векторну параболічну вагу. У цих системах порядок оператора, який діє на невідому функцію у рівнянні з номером , може залежати як від , так і від . Деякі результати для параболічних за Солонниковим систем, що стосуються коректної розвязності початкових задач, а також крайових задач у необмежених областях у просторах необмежено зростаючих при функцій одержані в працях С.Д. Солонникова можна зробити висновок, що ще недостатньо досліджені задача Коші для-параболічних систем довільних порядків за всіма змінними, початкові задачі для параболічних за Солонниковим систем особливо у випадках, коли праві частини цих задач є зростаючими за функціями. Видається також природною спроба розширити вищевказані класи параболічних систем, зокрема, розглянути системи, які одночасно узагальнюють параболічні за Солонниковим і за Ейдельманом системи, і для них побудувати теорію початкових задач.Використовуватимемо такі позначення: $\ora{2b}:=(2b_1, \dots, 2b_n)$; $b$ - найменше спільне кратне чисел $b_1$, $\dots$, $b_n$; $m_0:=2b$, $m:= (m_1, \dots, m_n)$, $m_j:= b/b_j$, $q_j:= 2b_j/(2b_j-1)$, $j \in \{1, \dots, n\}$; $\Z_ ^n$ - сукупність усіх $n$-вимірних мультиіндексів $\alpha:=(\alpha_1, \dots, \alpha_n)$, $\ov{\Z}_ ^{n 1}$ - сукупність усіх $(n 1)$-вимірних мультиіндексів $\ov \alpha:=(\alpha_0, \alpha)$, де $\alpha \in \Z_ ^n$; $\partial_{t, x}^{\ov\alpha}:=\partial_{t}^{\alpha_0}\partial_{x}^{\alpha} $, $\partial_{x}^{\alpha}:=\partial_{x_1}^{\alpha_1} \dots \partial_{x_n} ^{\alpha_n}$; $\Pi_H:= \{(t, x) \in \R^{n 1} \,\, \Big| \,\, t \in H, x \in \R^n\}$, де $H \subset \R$; Для $\alpha \in \Z_ ^n$ покладемо $\|\alpha\| := \dst \sum\limits_{j=1}^{n}m_j \alpha_j$, а для $\ov \alpha \in \ov \Z_{ }^{n 1}$ - $\dst \|\ov{\alpha}\|:= \sum\limits_{j=0}^{n}m_j \alpha_j$. (I \partial_t - \suml_{\|\alpha\| \leq 2b} a_{\alpha}(t,x)\partial_{x}^ {\alpha}) u(t, x) = 0, \quad (t, x) \in \Pi_{[0,T]}, \eqno(1) де $I$ - одинична матриця порядку $N$, $a_{\alpha}$ - матриця розміру $N \times N$, $u:=\mathrm{col}(u_1, \dots, u_N)$, доповнені рядом нових властивостей. $C_{l \lambda}^{\ft \ora a}$ - простір функцій $v$: $\R^n \to \mathbb{C}$, для яких існують неперервні похідні $\partial_{x}^{ \alpha}v$, $\|\alpha\| \leq l$, і є скінченною норма |v|_{l \lambda}^{\ft\overrightarrow{a}} := [v]_{l \lambda}^{\ft \ora a} \suml_{j = 0}^l _j^{\ft \ora a}, де $[v]_{l \lambda}^{\ft \ora a}$ означено формулою (7), а _{j}^{\ft \overrightarrow{a}} := \suml_{\|\alpha\| = j}\supl_{x \in \R^n}(|\partial_{x}^{\alpha} v(x)| (\Psi(0, x))^{-1}); $H_{l \lambda, [0, T]}:= H_{l \lambda, [0, T]}^{\ft \ora k(\cdot, \ora 0)}$, $C_{l \lambda}:=C_{l \lambda}^{\ft \ora 0}$, де $\ora 0 :=(0, \dots, 0)$; ${\mathop{H}\limits^{\circ}}{\ft \ora k(\cdot, \ft \ora a) \quad \atop l \lambda, [0, T] }$ - підпростір простору $H_{l \lambda, [0, T]}^{\ft \ora k(\cdot, \ora a)}$, елементи якого разом з усіма своїми похідними дорівнюють нулеві при $t = 0$; $\dst \prodl_{j=1}^{N}H_{r_j \lambda, [0, T]}^{\ft \ora k(\cdot, \ora a)}$, $ \prodl_{j=1}^{N}{\mathop{H}\limits^{\circ}}{\ft \ora k(\cdot, \ora a) \quad \atop \ft r_j \lambda, [0, T]}$ i $\dst \prodl_{j=1}^{r}C_{r_j \lambda}^{\ft \ora a}$ - декартові добутки відповідних просторів з індексами $r_j \in \Z_ ^1$.У дисертації означено новий клас параболічних систем(параболічних систем Солонникова-Ейдельмана), який узагальнює відомі класи систем, параболічних за І.Г.Петровським, С.Д.

Основний зміст роботи

У дисертації означено новий клас параболічних систем(параболічних систем Солонникова-Ейдельмана), який узагальнює відомі класи систем, параболічних за І.Г.Петровським, С.Д. Ейдельманом та В.О. Солонниковим. Для цього класу систем описано постановку початкових задач (параболічних початкових задач Солонникова-Ейдельмана), для яких встановлені такі основні результати: - у модельному випадку описана структура ФМР, одержані її оцінки, доведена теорема про коректну розвязність у просторах Гельдера зростаючих функцій, при цьому виведені точні оцінки норм розвязків через відповідні норми правих частин системи та початкових умов;

- у загальному випадку доведена теорема про коректну розвязність у просторах Гельдера зростаючих функцій, аналогічна до відповідної теореми для модельного випадку;

- доведена теорема про необхідність умови параболічності системи для правильності апріорних оцінок у просторах Гельдера розвязків загальних параболічних початкових задач Солонникова-Ейдельмана.

З вищеуказаних результатів випливають нові результати про коректну розвязність у просторах Гельдера зростаючих функцій задачі Коші для загальних систем, параболічних у розумінні І.Г.Петровського, С.Д.Ейдельмана та В.О.Солонникова. У дисертації встановлені також нові властивості ФМР задачі Коші для -параболічної системи першого порядку за часовою змінною, зокрема, знайдено формули, які виражають коефіцієнти системи через ФМР.

Для обґрунтування результатів дисертаційної роботи модифіковані методи, які розроблені при дослідженні задачі Коші для параболічних за Петровським і - параболічних систем, а також крайових задач для систем, параболічних за Солонниковим.

1. Івасишен С.Д., Івасюк Г.П. Параболічні за Солонниковим системи квазіоднорідної структури // Укр. мат. журн. - 2006. - 58, № 11. - С. 1501 - 1510.

2. Івасишен С.Д., Івасюк Г.П. Початкові задачі для параболічних систем Солонникова-Ейдельмана // Доп. НАН України. - 2007. - № 9. - С. 7 - 11.

3. Івасюк Г.П. Початкова задача для модельних параболічних за Солонниковим систем неоднорідної структури // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 269. Математика. - Чернівці: Рута, 2005. - С. 49 - 52.

4. Івасюк Г.П. Про властивості потенціалів модельного -параболічного рівняння довільного порядку // Наук. вісник Чернівецького ун-ту: Зб. наук. пр. Вип. 288. Математика. - Чернівці: Рута, 2006. - С. 51 -56.

5. Івасюк Г.П Про початкову задачу для модельних параболічних за Солонниковим систем неоднорідної структури // Конф. молодих учених із суч. проблем мех. і мат. ім. академіка Я.С.Підстригача (24 - 27 травня 2005 р., Львів): Тези доповідей. - Львів, 2005. - С. 25 - 26.

6. Івасюк Г.П. Про зведення загальної початкової задачі до задачі з нульовими початковими даними для параболічних за Солонниковим систем квазіоднорідної структури // Одинадцята міжнар. наук. конф. ім. академіка М.Кравчука (18 - 20 травня 2006 р., Київ): Матеріали конференції. - К., 2006. - С. 113.

7. Івасюк Г.П. Коректна розвязність початкової задачі для модельної параболічної за Солонниковим системи з квазіоднорідною структурою // Міжнар. наук. конф. з диференціальних рівнянь, присвячена 100-й річниці з дня народження Я.Б.Лопатинського (12 - 17 вересня 2006 р., Львів): Тези доповідей. - Львів, 2006. - С. 25 - 26.

8. Івасюк Г.П. Про параболічні за Солонниковим системи квазіоднорідної структури // Міжнар. наук. конф. «Диференціальні рівняння та їх застосування», присвячена 60-річчю заснування каф. диф. рівнянь та памяті профессора С.Д.Ейдельмана (11 - 14 жовтня 2006 р., Чернівці): Тези доповідей. - Чернівці, 2006. - С. 55.

9. Івасюк Г.П. Про початкові задачі для параболічних систем Солонникова-Ейдельмана // Міжнар. мат. конф. ім. В.Я.Скоробогатька (24 - 28 вересня 2007 р., Дрогобич): Тези доповідей. - Львів, 2007. - С. 108.