Построение регрессионной математической модели с эффектами парного и тройного взаимодействия. Проверка выборок на однородность. Планирование эксперимента при оценке отклика. Оценка значимости влияния факторов на отклик при помощи латинского квадрата.
Эксперимент, в котором используются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ). Вычисление параметров нормализованной математической модели с парными и тройными взаимодействиями производится по формулам: Результаты расчетов: Для проверки адекватности модели определяем дисперсию воспроизводимости и доверительный интервал оценки параметров. После подсчета дисперсии воспроизводимости для каждого из восьми опытов, рассчитаем доверительный интервал. где t (P, MN) - Критерий Стьюдента, определяется по таблице П1 при Р=0,95, m=4, N=32, t (P, MN)=2,045. Если каждый опыт повторялся m раз, где m=4, дисперсия адекватности будет вычисляться по следующей формуле: где fu значение отклика, вычисленное по модели при уровнях факторов, соответствующих опыту (или серии опытов) с номером u; Определим наблюдаемое значение критерия Фишера по следующей формуле: где So2 - дисперсия адекватности, рассчитанная ранее; Sb2=0,033880 - среднее значение дисперсии воспроизводимости для восьми опытов.В данной работе представлено решение задач на извлечения наибольшего объема информации об изучаемых процессах или устройствах при ограничениях по затратам.
Введение
Цель выполнения работы «Планирование и организация эксперимента» - закрепление и углубление знаний студентов по дисциплинам фундаментального, общетехнического и профессионального циклов, а также подробное изучение современных методов планирования экспериментов, математического моделирования объектов и систем контроля и управления.
Задачей работы является приобретение студентами навыков выбора необходимого плана эксперимента в соответствии с поставленной перед исследователем проблемой, построения матрицы планирования, обработки и анализа полученных результатов в зависимости от выбранного плана эксперимента.
1. Построение регрессионной математической модели
На токарном станке со скоростью резания V (х1) обтачиваются стальные заготовки. При этом изменяются значения продольной подачи S(х2) и глубины резания t (х3).
Требуется построить регрессионную математическую модель зависимости параметра оптимизации - шероховатости обработанной поверхности Y (Ra) от указанных параметров.
Таблица 1. Исходные данные
Контролируемые переменные V, м/мин S, мм/об t, мм
Верхний уровень 150 0,1 1,5
Нижний уровень 80 0,02 0,3
Таблица 2 - Факторы процесса и параметры оптимизации
№ точки плана Факторы процесса Параметр оптимизации Y, мкм х1 х2 x3 Y1 Y2 Y3 Y4
1 - - - 1,8 3,6 3 2,4
2 - - 2,6 2,4 2,6 2,5
3 - - 3,6 2,6 3 3,3
4 - 2,4 3,7 2,6 3,5
5 - - 3,5 2,9 3 3,4
6 - 3 3,5 3,6 2,9
7 - 4,2 3,6 4,8 3
8 4,2 4,5 3,9 4,8
Эксперимент, в котором используются все возможные сочетания уровней факторов, называют полным факторным экспериментом (ПФЭ).
План проведения эксперимента и его результаты записываются в виде таблицы, которая называется матрицей планирования (МП).
Математическая модель с эффектами парного и тройного взаимодействия имеет вид:
Для определения параметров данной модели нужно построить расширенную матрицу планирования. Знаки в столбцах взаимодействий получаются путем перемножения единиц со знаками соответствующих сомножителей.
Таблица 3 - Расширенная матрица ПФЭ 23
№ точки плана Факторы процесса Взаимодействие факторов Параметр оптимизации Y, мкм x0 х1 х2 x3 x1 x2 x1 x3 x2 x3 x1 x2 x3 Y1 Y2 Y3 Y4
1 1 -1 -1 -1 1 1 1 -1 1,8 3,6 3 2,4
2 1 1 -1 -1 -1 -1 1 1 2,6 2,4 2,6 2,5
3 1 -1 1 -1 -1 1 -1 1 3,6 2,6 3 3,3
4 1 1 1 -1 1 -1 -1 -1 2,4 3,7 2,6 3,5
5 1 -1 -1 1 1 -1 -1 1 3,5 2,9 3 3,4
6 1 1 -1 1 -1 1 -1 -1 3 3,5 3,6 2,9
7 1 -1 1 1 -1 -1 1 -1 4,2 3,6 4,8 3
8 1 1 1 1 1 1 1 1 4,2 4,5 3,9 4,8
Вычисление параметров нормализованной математической модели с парными и тройными взаимодействиями производится по формулам:
Результаты расчетов:
Для проверки адекватности модели определяем дисперсию воспроизводимости и доверительный интервал оценки параметров.
После подсчета дисперсии воспроизводимости для каждого из восьми опытов, рассчитаем доверительный интервал.
где t (P, MN) - Критерий Стьюдента, определяется по таблице П1 при Р=0,95, m=4, N=32, t (P, MN)=2,045.
N - суммарное количество опытов, N=32.
Sв2=0,033880 - среднее значение дисперсии воспроизводимости.
Параметр считается статистически значимым, если его абсолютная величина больше доверительного интервала: . Статистически незначимые параметры считаем равными нулю.
Таким образом, все параметры удовлетворяют такому требованию и считаются статистически значимыми.
Если каждый опыт повторялся m раз, где m=4, дисперсия адекватности будет вычисляться по следующей формуле:
где fu значение отклика, вычисленное по модели при уровнях факторов, соответствующих опыту (или серии опытов) с номером u;
j - номер опыта в серии u: Таблица 4 - Расчетные данные
2,7 -0,9 0,9 0,3 -0,3 1,8
2,525 0,075 -0,125 0,075 -0,025 0,0275
3,125 0,475 -0,525 -0,125 0,175 0,5475
3,05 -0,65 0,65 -0,45 0,45 1,25
3,2 0,3 -0,3 -0,2 0,2 0,26
3,25 -0,25 0,25 0,35 -0,35 0,37
3,9 0,3 -0,3 0,9 -0,9 1,8
4,35 -0,15 0,15 -0,45 0,45 0,45
Адекватность модели с взаимодействиями определяется с помощью критерия Фишера.
Определим наблюдаемое значение критерия Фишера по следующей формуле:
где So2 - дисперсия адекватности, рассчитанная ранее; Sb2=0,033880 - среднее значение дисперсии воспроизводимости для восьми опытов.
Критическое значение критерия Фишера Fk определяется по табл. П. 7 в зависимости от доверительней вероятности Р, числа параллельных экспериментов в серии m=(m2) и m1=N-k-1, где m1=4, m2=4, отсюда следует Fk= 9,28.
Fн<Fk, (2<9,28), следовательно, регрессионная математическая модель зависимости параметра оптимизации, выбранная нами, адекватна.
1.1 Проверка выборок на однородность
При анализе выборочных данных могут выдвигаться гипотезы об однородности дисперсией в нескольких выборках. В этом случае можно использовать критерий Кохрена. Наблюдаемое значение критерия Gн определяется по формуле:
где S2imax - максимальная оценка дисперсии среди n сравниваемых дисперсий (все n выборок имеют одинаковый объем m).
Для определения наблюдаемого значения Кохрена найдем суммы дисперсий и максимальное значение дисперсий.
Выбираем максимальное значение дисперсии Simax2= 0,6.
Критическое значение критерия определяется из табл. П. 8 в зависимости от принятых доверительной вероятности P, объема выборок m и их числа n.
По табл. П. 8 для P = 0,95, m=4 и n=8 находим Gk.
Gk = 0,438
Поскольку Gн < Gk (0,276710 < 0,438), то можно считать выборки однородными.
1.2 Планирование эксперимента при оценке отклика
- для 6 точки плана определить минимальное количество параллельных опытов для достижения заданной точности ?=0,2.
Таблица 5 - Исходные данные
Исходные данные
3 3,5 3,6 2,9
Находим размах данной выборки по формуле:
Заданная точность =0.2
Находим первую оценку: , где R - размах, R=0,7; dm - среднее значение относительного размаха, находящийся по таблице П5, для m=4, dm=2,059.
, где t (P, m) - значение критерия Стьюдента (табл. П. 1) при Р=0,95 и m=4, t (P, m)=3,183
Подставляя значение S в данную формулу, получим: m?(3,1832?0,339972/(2?0,22))= 14,6375
Выбирая новое значение t при m=15 и повторяя вычисления, имеем: m?(2,1452?0,339972/(2?0,22))= 6,64734
При m = 7 получим: m?(2,4472?0,339972/(2?0,22))= 8,65090
Окончательно принимаем m=9. Для реализации эксперимента необходимо провести 7 дополнительных опытов.
После реализации 5 дополнительных опытов получена новая оценка ?: для m=9, dm=2,97.
.
Согласно неравенству: Rm / dm1 < s < Rm / dm2, где ? - стандартное отклонение;
dm1=4,7, dm2=1,55, получим: 0,148936 < s < 0,451613, т.е. доверительный интервал равен: ?=0,451613-0,148936=0,302677, а его половина ?(?)= 0,1513384<0,2, Таким образом, для достижения заданной точности ?=0,2 необходимо провести 9 параллельных опытов.
2. Оценка значимости влияния факторов на отклик при помощи латинского квадрата
Латинские квадраты применяются для трех факторов Х1, Х2 и Х3, каждый из которых может находиться на г уровнях. Число опытов в этом случае равно г2, т.е. числу ячеек квадрата.
Пример латинского квадрата для г = 4 приведен в таблице 6, где к каждому из сочетаний уровней факторов Х1 и Х2 (сочетание строки и столбца) добавляется один из уровней фактора Х3 так, что в каждом столбце (строке) он встречается только один раз. Строится латинский квадрат следующим образом. В первой строке располагают фактор Хз с упорядоченным расположением уровней. Во второй строке записывается первая строка, сдвинутая влево (или вправо) на одну ячейку, которая записывается в конце (начале) строки. Каждой ячейке соответствует определенное сочетание уровней трех факторов, которое встречается в плане только один раз. Так, седьмой (выделенной) ячейке таблицы 6 соответствует сочетание уровней Х13, Х22, Х34.
Таблица 6 - Латинский квадрат для r = 3
X11 X12 X13
X21 X31 X32 X33
X22 X32 X33 X31
X23 X33 X31 X32 где х1 - скорость резания;
х2 - глубина резания;
х3 - зернистость обрабатываемой заготовки.
Оценим значимость влияния трех факторов на отклик при помощи латинского квадрата для уровней факторов r=3.
Матрица плана латинского квадрата приведена в таблице 6.
Таблица 7 - Результаты эксперимента латинского квадрата.
X11 X12 X13
X21 -4020 -1470 2680
X22 -2310 2640 -1110
X23 200 -1550 5000
Для вычисления критерия Фишера необходимо знать значение So и Sв.
Остаточная дисперсия So вычисляется по следующей формуле:
Для расчета этой формулы и для того, чтобы оценить значимость влияния факторов, необходимо вычислить общую сумму значений откликов: Ya = 60
Затем вычислим квадрат общей суммы значений откликов: = 3600
Далее вычислим сумму квадратов значений отклика: Затем производим суммирование значений откликов по уровням каждого фактора. Результаты суммирования сведены в таблицу 8, где первая строка представляет собой суммы значений кодов отклика по столбцам таблицы 6, вторая - по строкам таблицы 6, а третья - по диагоналям, в соответствии с матрицей плана латинского квадрата.
Таблица 8 - Суммы по уровням факторов фактор уровень фактора
1 2 3
X1 -6130 -380 6570
X2 -2810 -780 3650
X3 -6680 1220 5520
Находим суммы кодов откликов в строках таблицы 7
Y1 = 80886200
Y2 = 21827000
Y3 =76581200
Далее вычисляем дисперсию отклика, вызванную влиянием j-го фактора по формуле: , где i - номер уровня;
j - номер фактора;
Ya - общая сумма значений откликов.
Для вычисления остаточной дисперсии необходимо сначала вычислить общую сумму дисперсий отклика:
где
Вычислим остаточную дисперсию: , где r - число уровней факторов r=3;
K - число факторов k=3.
Остаточная дисперсия отражает влияние неконтролируемых факторов и отождествляется с дисперсией воспроизводимости.
Проверку значимости влияния фактора Х, производим при помощи критерия Фишера, наблюдаемое значение которого высчитывается по формуле:
где So2 - дисперсия адекватности рассчитанная ранее;
Sb2 - среднее значение дисперсии воспроизводимости.
Критическое значение критерия Фишера Fk определяется по табл. П. 7 в зависимости от доверительней вероятности Р, числа параллельных экспериментов в серии m=(m2) и m1=N-k-1, Fk= 3,65.
Поскольку Fн(Х1) > Fk (4,012153 < 3,65), то изменение первого фактора, можно считать значимым.
Fн(Х2) < Fk (1,082629 < 3,65), то изменение второго фактора следует считать незначимым.
Fн(Х3) > Fk (3,798611 < 3,65), то изменение третьего фактора следует считать значимым.
Отсюда следует, что из трех изученных нами факторов значимыми являются 2 фактора (Х1 и Х3), т.е. скорость резания и зернистость обрабатываемой заготовки.
Вывод
В данной работе представлено решение задач на извлечения наибольшего объема информации об изучаемых процессах или устройствах при ограничениях по затратам.
Решением указанной проблемы является широкое внедрение в практику прикладных исследований статистических методов планирования экспериментов, которые дают не только способ обработки экспериментальных данных, но позволяют также оптимально организовать эксперимент.
Список литературы
1) Г. Шпур, Автоматизированное проектирование в машиностроении / Г. Шпур, Ф.Л. Краузе; пер. с нем. Г.Д. Волковой; под ред. Ю.М. Соломенцева, В.И. Диденко-М.: Машиностроение, 1988
2) Якобе, Г.Ю. Оптимизация резания: параметризация способов обработки резанием и использование технологии оптимизации / Г.Ю. Якобе, Э. Якоб, Д. Кохан; пер. с нем. В.Ф. Котельнева. - М.: Машиностроение, 1981
