Планиметрия на клетчатой бумаге - Контрольная работа

В заданиях блока «Геометрия» ГИА по математике встречаются задачи на вычисление площади фигуры, изображенной на клетчатой бумаге. Не все задачи на клетчатой бумаге оказались просты и тривиальны. У меня возникли вопросы: в чем заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приемы решения задач на клетчатой бумаге. Возникли вопросы: в чем заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приемы решения задач на вычисление площади фигур, изображенных клетчатой бумаге. Предмет исследования: многообразие задач на клетчатой бумаге, методы и приемы их решения; применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге.Наверное, проще всего разбить его на прямоугольные треугольники и прямоугольники, площади которых уже нетрудно вычислить и сложить полученные результаты. Рассмотрим невырожденный простой целочисленный многоугольник (т.е. он связный - любые две его точки могут быть соединены непрерывной кривой, целиком в нем содержащейся, и все его вершины имеют целые координаты, его граница - связная ломаная без самопересечений, и он имеет ненулевую площадь). Для многоугольника на рисунке 1 (желтые точки), (синие точки, не забудьте о вершинах!), поэтому квадратных единиц. Действительно, в этом случае мы имеем и Рассмотрим прямоугольник со сторонами, лежащими на линиях решетки. Имеем в этом случае и, по формуле Пика, Рассмотрим теперь прямоугольный треугольник с катетами, лежащими на осях координат.Чтобы искать площади фигур по формулам планиметрии, надо знать ФУНДАМЕНТ: Итак, обобщим способы нахождения площадей фигур: Способ 1 (самый часто используемый) 2) Найти S1 полученной фигуры (прямоугольника или треугольника) Способ 2 (самый простой) используется тогда, когда четко видно, что за фигура и легко найти величины для вычисления S. ПО формуле: Например, для ромба найти длины диагоналей и использовать формулу из Желтого фундамента. 1)На клетчатой бумаге с клетками размером 1 см х 1 см изображен четырех угольник.Для доказательства этого факта я построил с помощью транспортира углы от 10° до 80° со стороной, идущей по горизонтальной линии сетки. Отметил у каждого угла ближайший узел сетки, через который прошла другая сторона каждого угла.При решении задач на клетчатой бумаге на нахождение тригонометрических функций углов будем пользоваться геометрическими определениями: Синус острого угла - отношение противолежащего катета к гипотенузе. Помимо этого нужно помнить формулы приведения: sin (90-x)=sin x cos (90-x) = cos x sin(180-x)=sin x cos (180-x)= - cos x tg(90-x)=tg x tg (180-x)= - tg x Пример 1: Найдите синус угла AOB. В ответе укажите значение синуса, умноженное на . Значит, углы при его основании равны 45о.Пример 1: На клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см изображен треугольник. Решение: Сначала заметим, что наименьшая высота проводится к наибольшей стороне треугольника. Пример 2: На клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см изображен треугольник. Решение: Заметим, что треугольник, изображенный на рисунке - прямоугольный. Пример 3: На клетчатой бумаге с размером клетки 1см*1см изображен треугольник.Все их сюжеты можно условно поделить на следующие виды и подвиды: * Дробление - требуется разрезать данную фигуру: · на заданное число равных между собой, или, как говорят математики, - конгруэнтных частей (фигур); В отдельный подвид можно выделить очень популярные задачи на разрезание шахматной доски, которые отличаются от остальных задач на разрезание тем, что на доске есть раскраска квадратов, и это накладывает дополнительные требования при поиске решения. Учитывая большое общее количество задач на разрезание, я в этой работе рассмотрел только задачи на клетчатой бумаге на дробление, поскольку они ближе к теме моей работы. Следует учесть, что термин «разрезание» не всегда надо понимать буквально: при решении приведенных далее задач достаточно на чертеже данной фигуры обозначить линии разреза карандашом. Вместо раскраски в два цвета можно было использовать раскраску в четыре цвета, изображенную на рисунке 2 (каждый цвет помечен своим номером: цвет 1, цвет 2, цвет 3 и цвет 4).В процессе исследования я изучил много справочной, научно-популярной литературы, побывал на сайтах малого Мехмата МГУ, ФИПИ, прочитал некоторые книги в электронном виде. Я рассмотрел различные задачи на построение и вычисления, заданные на клетчатой бумаге, научился применять решение таких задач в различных областях математики. Я научился вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке не только известными мне ранее способами (с помощью формул, подсчетом клеток, разрезание фигуры на более простые части, достраивание до прямоугольника), но и с помощью формулы Пика. Вывод: тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приемы их решения также разнообразны.

Оглавление

Введение

1. Теорема и формула Пика

2. Экспериментальная работа

2.1 Исследование площадей многоугольников

2.2 Построение острых углов на клетчатой бумаге

2.3 Нахождение градусной меры, sin, cos, tg, ctg углов на клетчатой бумаге

2.4 Нахождение некоторых элементов треугольников на клетчатой бумаге

3. Задачи на разрезание

Заключение

Список используемой литературы

Приложения

«Решение задач - практическое искусство, подобное плаванию, катанию на лыжах или игре на фортепиано;

научиться ему можно, только подражая хорошим образцам и постоянно практикуясь» (Д. Пойя).

В заданиях блока «Геометрия» ГИА по математике встречаются задачи на вычисление площади фигуры, изображенной на клетчатой бумаге. Готовясь к сдаче ГИА по математике, я выделил именно эту группу задач, так как подход к их решению показался мне интересным и оригинальным. Не все задачи на клетчатой бумаге оказались просты и тривиальны. У меня возникли вопросы: в чем заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приемы решения задач на клетчатой бумаге. Чтобы вычислить площадь изображенной фигуры, необходимо сделать дополнительные построения: разбить данную фигуру на несколько треугольников и прямоугольник, провести высоту в треугольнике. Возникли вопросы: в чем заключается особенность таких задач, существуют ли специальные методы и приемы решения задач на вычисление площади фигур, изображенных клетчатой бумаге. Я приступил к изучению литературы, Интернет-ресурсов по данной теме. На одном из сайтов я нашел формулу Пика. Эта формула заинтересовала меня, и я попробовал решать задания, используя данную формулу. Задачи решались очень быстро и легко.

Оказывается, задачи, связанные с бумагой в клеточку, достаточно разнообразны. Я научился вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке, находить градусную меру углов на клетчатой бумаге и строить углы без транспортира, также я познакомился с задачами на разрезание.

Однако четкой классификации и структурирования задач на клетчатой бумаге по методам и способам решения я не встретил. Возможно, потому, что большинство таких задач считается «занимательными», и не так уж много авторов посвятило этой теме свои изыскания. Очень вероятно, потому, что для многих задач на бумаге в клетку нет общего правила решения, конкретных способов и приемов. Вот это их свойство обуславливает их ценность для развития умения думать, размышлять, анализировать, искать аналогии, то есть, эти задачи развивают мыслительные навыки в самом широком их понимании.

В связи с этим возникла гипотеза о том, что задачи на нахождение площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге, можно решить с помощью формулы Пика более рационально.

Объект исследования: задачи по планиметрии на клетчатой бумаге.

Предмет исследования: многообразие задач на клетчатой бумаге, методы и приемы их решения; применение формулы Пика при решении задач, на нахождение площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

Цель работы: Рассмотреть и классифицировать задачи на клетчатой бумаге и методы решения таких задач. Обосновать рациональность использования формулы Пика при решении задач на нахождение площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге.

Методы исследования: моделирование, сравнение, обобщение, аналогии, изучение литературных и Интернет-ресурсов, анализ и классификация информации.

Задачи: 1) Изучить литературу по данной теме.

2) Отобрать материал для исследования, выбрать главную, интересную, понятную информацию

3) Классифицировать исследуемые задачи

4) Найти различные методы и приемы решения задач на клетчатой бумаге

5) Прорешать задачи на нахождение площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге геометрическим методом.

6) Прорешать задачи на нахождение площади фигур, изображенных на клетчатой бумаге, используя формулу Пика.

7) Сравнить и проанализировать результаты исследования.

8) Создать задачник «Задачи на клетчатой бумаге»

9) Создать электронную презентацию работы для представления собранного материала одноклассникам

Мной был произведен опрос среди учащихся 9-11 классов: 1) Какие способы (методы) Вы знаете при решении задач на клетчатой бумаге: Способы вычисления площади многоугольника теорема многоугольник клетчатый бумага

2) Знаете ли Вы формулу Пика?

100% ответили, что с формулой не знакомы. Значит, есть необходимость познакомиться с формулой самому и познакомить с ней учеников моего класса.

В процессе исследования я изучил много справочной, научно-популярной литературы, побывал на сайтах малого Мехмата МГУ, ФИПИ, прочитал некоторые книги в электронном виде. Я рассмотрел различные задачи на построение и вычисления, заданные на клетчатой бумаге, научился применять решение таких задач в различных областях математики. Я научился вычислять площади многоугольников, нарисованных на клетчатом листке не только известными мне ранее способами (с помощью формул, подсчетом клеток, разрезание фигуры на более простые части, достраивание до прямоугольника), но и с помощью формулы Пика.

Рассмотренные мною задания имеют различный уровень трудности - от простых до олимпиадных. Каждый может найти среди них задачи посильного уровня сложности, отталкиваясь от которых, можно будет переходить к решению более трудных.

Вывод: тема, которая меня заинтересовала, достаточно многогранна, задачи на клетчатой бумаге многообразны, методы и приемы их решения также разнообразны.

Задачи на клетчатой плоскости не являются несерьезными или бесполезными, они не так уж и далеки от серьезных математических задач. Из задач на разрезание родилась теорема Бойаи-Гервина о том, что любые два равновеликих многоугольника равносоставлены (обратное очевидно). Задача на нахождение площади многоугольника с вершинами в узлах сетки сподвигла австрийского математика Пика в 1899 году доказать замечательную формулу Пика.

Работа по данной теме позволила мне преодолеть психологический барьер и поверить в свои силы, что является важнейшим фактором успешного решения экзаменационных задач, выступления перед аудиторией с теоретическим материалом по математике.

Мной составлен сборник задач на вычисление площади фигуры на клетчатой бумаге, которые не только увлекательны и интересны, но и развивают комбинаторно-геометрические навыки, интуицию, воображение. Со сборником я планирую познакомить одноклассников.

1. Болотин И. Б., Добрышина Л. Ф. Смоленские математические олимпиады школьников (готовимся к ЕГЭ). Смол. гос. ун-т; Смоленск: СМОЛГУ, 2008.

2. Геометрия на клетчатой бумаге. Малый МЕХМАТ МГУ. Режим доступа: .

3. Григорьева Г. И. Подготовка школьников к олимпиадам по математике: 5- 6 классы. Метод. пособие. М.: Глобус, 2009.

4. Дынкин Е. Б., Молчанов С. А., Розенталь А. Л. Математические соревнования. Арифметика и алгебра. М.: Наука, 1970.

5. Екимова М. А.,Кукин Г. П. Задачи на разрезание. М.: МЦНМО, 2002. Режим доступа: .

6. Жарковская Н. М., Рисс Е. А. Геометрия клетчатой бумаги. Формула Пика // Математика, 2009, № 17, с. 24-25.

7. Задачи открытого банка заданий по математике ФИПИ, 2010 - 2011. Режим доступа: .

8. Игнатьев Е. И. В царстве смекалки. М.: Наука, 1982.

9. Кенгуру - 2010. Задачи, решения, итоги. Режим доступа: .

10. Прасолов В. В. Задачи по планиметрии. М.: МЦНМО, 2000.

11. Рисс Е. А. Математический клуб «Кенгуру» Выпуск № 8 (изд. второе). Санкт-Петербург, 2009.

12. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрия на клетчатой бумаге. М.: Чистые пруды, 2009.

13. Смирнова И. М., Смирнов В. А. Геометрические задачи с практическим содержанием. М.: Чистые пруды, 2010.

14. Смирнов В. А. ЕГЭ. Математика. Задача В6. Планиметрия. Р/т. М.: МЦНМО, 2011.

15. Трошин В. В. Занимательные дидактические материалы по математике. Сборник заданий. Выпуск 2. М.: Глобус, 2008.

16. Гарднер М. Математические чудеса и тайны. М.: Наука, 1986.

Размещено на .ru