Побудова трикутних операторів перетворення для систем диференціальних рівнянь. Визначення необхідних умов повноти системи кореневих функцій оператора Штурма-Ліувілля з виродженими крайовими умовами. Розв"язок оберненої задачі за спектральною матрицею.
При низкой оригинальности работы "Питання єдиності, повноти та самоспряженості у крайових задачах для систем диференціальних рівнянь", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Важливу роль як у теоретичних, так і в прикладних питаннях відіграють лінійні гамільтонові (канонічні) системи. Втім, задачу про індекси дефекту (і, зокрема, самоспряженості) канонічної системи в термінах гамільтоніана досліджено недостатньо, окремі результати тут відомі лише для систем 2-го порядку. Як відомо, з канонічними системами на скінченному інтервалі, щільно повязані відповідні матриці монодромії, які відіграють важливу роль як у спектральній теорії цих систем, так і періодичних систем на осі. Для різних класів систем лінійних звичайних диференціальних рівнянь (ЛЗДР) теореми про однозначне визначення системи за її матрицею монодромії були отримані в роботах З.Л. При цьому для доведення відповідних теорем єдиності як для систем ЛЗДР, так і для ЛЗДР-го порядку використовується запропонований автором метод зведення проблеми до дослідження єдиності деяких задач Гурса для системи рівнянь з частинними похідними.У першому розділі викладено стан розвитку та основні досягнення проблематиці, якій присвячена дисертація, проведено огляд літератури за темою дисертації, вказано на літературні джерела, що стосуються вивчення питань єдиності, самоспряженості та повноти крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь. При і , до системи (1) зводиться звичайне диференціальне рівняння-го порядку. Нехай потенціальні NЧN матриці-функції і задовольняють умови та припускають аналітичні продовження у круг досить великого радіуса і . У третьому розділі вивчаються питання повноти кореневих векторів крайових задач для систем ЛЗДР вигляду (1) та рівнянь Штурма-Ліувілля. (40) де - дельта Дірака, а - матриця монодромії рівняння (39), Доведення теореми 4.1 за допомогою операторів перетворення зводиться до доведення єдиності розвязку нехарактеристичної задачі Коші для рівняння з частинними похідними, якому задовольняє ядро оператора перетворення.Отримано теорему про однозначне визначення системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь (ЛЗДР), записаної у канонічному вигляді, за її матрицею монодромії. Їх застосовано для доведення однозначного визначення системи за частиною її матриці монодромії. Розвязано обернену задачу за спектральною матрицею-функцією для самоспряженої граничної задачі, що її породжено системою ЛЗДР на півосі. Показано, що рівняння-го порядку з-матричними аналітичними коефіцієнтами однозначно визначається скалярними стовпцями (рядками) своєї матриці монодромії.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Вывод
Основні результати дисертації можна підсумувати наступним чином.
1. Отримано теорему про однозначне визначення системи лінійних звичайних диференціальних рівнянь (ЛЗДР), записаної у канонічному вигляді, за її матрицею монодромії.
2. Побудовані трикутні оператори перетворення для систем ЛЗДР. Їх застосовано для доведення однозначного визначення системи за частиною її матриці монодромії.
3. Знайдені умови повноти системи кореневих векторів граничних задач для систем ЛЗДР. Знайдені умови повноты системи власних та приєднаних функцій (СВПФ) граничних задач для рівняння Штурма-Ліувілля з виродженими граничними умовами.
4. Розвязано обернену задачу за спектральною матрицею-функцією для самоспряженої граничної задачі, що її породжено системою ЛЗДР на півосі.
5. Знайдені умови самоспряженості на осі канонічних (гамільтонових) систем, а також чотири- і тричленних матричних рівнянь другого порядку.
6. Показано, що рівняння -го порядку з -матричними аналітичними коефіцієнтами однозначно визначається скалярними стовпцями (рядками) своєї матриці монодромії.
7. Показано, що за наявності для рівняння -го порядку трикутного оператора перетворення з аналітичності першої половини коефіцієнтів випливає аналітичність решти коефіцієнтів.
8. Розвязано задачу М.Г. Крейна про внутрішній опис гільбертового простору .
9. Знайдено формулу для матриці розсіяння пари самоспряжених розширень одного симетричного оператора, що виражає її через функцію Вейля та граничні оператори. Цю формулу застосовано у теорії розсіяння відкритих квантових систем.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
