Пифагор. Теорема Пифагора. Доказательства, обобщение, области применения - Реферат

Теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.) свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Теорема Пифагора представляет большой интерес - это фундамент, основа всех математических вычислений, расчетов и многих изобретений. С их именем связаны в математике систематическое введение доказательств в геометрию, рассмотрение ее как абстрактной науки, создание учения о подобии, доказательство теоремы, носящей имя Пифагора, построение некоторых правильных многоугольников и многогранников, а также учение о четных и нечетных, простых и составных, о фигурных и совершенных числах, арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних. С его именем связано многое в математике и в первую очередь, конечно, теорема, носящая его имя. Геометрическая формулировка: Изначально теорема была сформулирована следующим образом: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе , равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах .

Теорема Пифагора имеет огромное значение: она применяется в геометрии буквально на каждом шагу, и тот факт, что существует около 500 различных доказательств этой теоремы (геометрических, алгебраических, механических и т.д.) свидетельствует о гигантском числе ее конкретных реализаций. Теорема Пифагора представляет большой интерес - это фундамент, основа всех математических вычислений, расчетов и многих изобретений. Считаю, что его труды и великие открытия, которые он произвел, до сих пор актуальны, так как находят свое применение во многих отраслях науки и жизнедеятельности всего человечества. Куда бы мы ни посмотрели, везде можно увидеть плоды его великих идей, воплощенные в различные реалии современной жизни.

1. Основная часть пифагор математический геометрия

1.1 Биография Пифагора

Очень интересна биография Пифагора. Сам факт, что Пифагор - это не имя, а прозвище, которое философ получил за то, что всегда говорил верно и убедительно, как греческий оракул. (Пифагор - "убеждающий речью").

Пифагор Самосский - великий греческий ученый. Его имя знакомо каждому школьнику. Про жизнь Пифагора известно очень мало, с его именем связано большое число легенд. Пифагор - один из самых известных ученых, но и самая загадочная личность, человек-символ, философ и пророк. Он был властителем дум и проповедником созданной им религии. Его обожествляли и ненавидели… Так кто же ты, Пифагор?

Он родился около 580-500 гг. до н. э. на острове Самос, далеко от Греции. Отцом Пифагора был Мнесарх, резчик по драгоценным камням. Имя же матери считается неизвестным, но при изучении одного из источников я выяснила, что мать звали Парфенисой. По многим свидетельствам, родившийся мальчик был сказочно красив, а вскоре проявил и свои незаурядные способности. Среди учителей юного Пифагора называют имена старца Гермодаманта и Ферекида Сиросского (хотя и нет твердой уверенности в том, что именно они были первыми учителями Пифагора). Целые дни проводил юный Пифагор у ног старца Гермодаманта, внимая мелодии кифары и гекзаметрам Гомера. Страсть к музыке и поэзии великого Гомера Пифагор сохранил на всю жизнь. И, будучи признанным мудрецом, окруженным толпой учеников, Пифагор начинал день с пения одной из песен Гомера. Ферекид же был философом и считался основателем италийской школы философии. Но как бы то ни было, неугомонному воображению юного Пифагора очень скоро стало тесно на маленьком Самосе, он видел в ясные дни желтые дороги, бегущие по большой земле в большой мир. Они звали его.

Он отправляется в Милет, где встречается с другим ученым - Фалесом. Слава об этом мудреце гремела по всей Элладе. Во время встреч велись оживленные беседы. Именно Фалес посоветовал ему отправиться за знаниями в Египет, что Пифагор и сделал.

В течение 22 лет он проходил обучение в храмах Мемфиса и получил посвящение высшей степени. Здесь же он глубоко изучил математику, “науку чисел или всемирных принципов”, из которой впоследствии сделал центр своей системы. Из Мемфиса, по приказу вторгшегося в Египет Камбиза, Пифагор вместе с египетскими жрецами попал в Вавилон, где провел еще 12 лет. Здесь он имел возможность изучить многие религии и культы, проникнуть в мистерии древней магии наследников Зороастра.

1.2 Школа Пифагора

Приблизительно в 530 году Пифагор, наконец, возвратился в Грецию и вскоре переселился в Южную Италию, в г. Кротон. В Кротоне он основал пифагорейский союз, который был одновременно философской школой, политической партией и религиозным братством. Свою школу Пифагор создает как организацию со строго ограниченным числом учеников из аристократии, и попасть в нее было не просто. Претендент должен был выдержать ряд испытаний; по утверждению некоторых историков, одним из таких испытаний являлся обет пятилетнего молчания. Другим законом организации было хранение тайны, несоблюдение которой строго каралось - вплоть до смерти.

Главным пифагорейским символом здоровья и опознавательным знаком была пентаграмма - звездчатый пятиугольник, образованный диагоналями правильного пятиугольника. Он содержал все пропорции: геометрическую, арифметическую, золотую. Она была тайным знаком, по которому пифагорейцы узнавали друг друга. В средние века считалось, что пентаграмма предохраняет от «нечистой силы». Пятиконечной звезде около 3000 лет. Сегодня пятиконечная звезда реет на флагах едва ли не половины стран мира. Внутренняя красота математического строения была еще замечена Пифагором. Нравственные принципы, проповедуемые Пифагором и сегодня достойны подражания. Его школа способствовала формированию интеллектуальной элиты. Пифагорейцы жили по определенным заповедям, и нам тоже не помешало бы их придерживаться, хотя им уже около двух с половиной тысяч лет. Например: - не делай того, чего не знаешь;

- поступай так, чтобы впоследствии не огорчаться и не раскаиваться;

- мечом огня не разгребай.

С самого начала в пифагоризме сформировались два различных направления - "асуматики" и "математики". Первое направление занималось этическими и политическими вопросами, воспитанием и обучением, второе - главным образом исследованиями в области геометрии.

Школа вызвала недовольство жителей острова, и Пифагору пришлось покинуть родину. Он переселяется в южную Италию- колонию Греции - и здесь, в Кротоне, вновь основывает школу - пифагорейский союз, просуществовавший около двух веков. Довольно быстро он завоевывает большую популярность среди жителей. Пифагор умело использует знания, полученные в странствиях по свету. Со временем ученый прекращает выступления в храмах и на улицах. Уже в своем доме Пифагор учит медицине, принципам политической деятельности, астрономии, математике, музыке, этике и многому другому. Из его школы вышли выдающиеся политические и государственные деятели, историки, математики и астрономы. Это был не только учитель, но и исследователь. Исследователями становились и его ученики. В Школе Пифагора впервые высказана догадка о шарообразности Земли. Мысль о том, что движение небесных тел подчиняется определенным математическим соотношениям, впервые появились именно в Школе Пифагора. Пифагор прожил 80 лет. Существует много легенд о его смерти. По одной из них он был убит в уличной схватке.

Школа Пифагора дала Греции целую плеяду талантливых философов, физиков и математиков. С их именем связаны в математике систематическое введение доказательств в геометрию, рассмотрение ее как абстрактной науки, создание учения о подобии, доказательство теоремы, носящей имя Пифагора, построение некоторых правильных многоугольников и многогранников, а также учение о четных и нечетных, простых и составных, о фигурных и совершенных числах, арифметических, геометрических и гармонических пропорциях и средних.

1.3 История теоремы Пифагора

С его именем связано многое в математике и в первую очередь, конечно, теорема, носящая его имя. Это теорема Пифагора. В настоящее время все согласны с тем, что эта теорема не была открыта Пифагором. Она была известна еще до него. Ее частные случаи знали в Китае, Вавилонии, Египте. Исторический обзор начинается с древнего Китая. Здесь особое внимание привлекает математическая книга Чу-пей. В этом сочинении так говорится о пифагоровом треугольнике со сторонами 3, 4 и 5: "Если прямой угол разложить на составные части, то линия, соединяющая концы его сторон, будет 5, когда основание есть 3, а высота 4".

Кантор (крупнейший немецкий историк математики) считает, что равенство

3? 4?=5? было известно уже египтянам еще около 2300 г. до н. э. По мнению Кантора гарпедонапты, или "натягиватели веревок", строили прямые углы при помощи прямоугольных треугольников со сторонами 3, 4 и 5. Очень легко можно воспроизвести их способ построения. Возьмем веревку длиною в 12 метров и привяжем к ней по цветной полоске на расстоянии 3 метра от одного конца и 4 метра от другого. Прямой угол окажется заключенным между сторонами длиной в 3 и 4 метра.

Египетский треугольник - прямоугольный треугольник с соотношением сторон 3:4:5. Особенностью такого треугольника, известной еще со времен античности, является то, что при таком отношении сторон теорема Пифагора дает целые квадраты как катетов, так и гипотенузы, то есть 9:16:25. Египетский треугольник является простейшим (и первым известным) из Героновых треугольников - треугольников с целочисленными сторонами и площадями. Название треугольнику с таким отношением сторон дали эллины: в VII - V веках до н. э. греческие философы и общественные деятели активно посещали Египет. Так, например, Пифагор в 535 до н. э. по настоянию Фалеса для изучения астрономии и математики отправился в Египет - и, судя по всему, именно попытка обобщения отношения квадратов, характерного для египетского треугольника, на любые прямоугольные треугольники и привела Пифагора к доказательству знаменитой теоремы. Египетский треугольник с соотношением сторон 3:4:5 активно применялся для построения прямых углов землемерами и архитекторами.

Хотя гарпедонаптам можно было бы возразить, что их способ построения становиться излишним, если воспользоваться, например, деревянным угольником, применяемым всеми плотниками. И действительно, известны египетские рисунки, на которых встречается такой инструмент, например рисунки, изображающие столярную мастерскую.

В средние века теорема Пифагора, определяла границу если не максимально возможных, то по крайней мере хороших математических знаний.

Доказательство теоремы Пифагора учащиеся средних веков считали очень трудным и называли его Dons asinorum- ослиный мост, или elefuga- бегство "убогих", так как некоторые "убогие" ученики, не имевшие серьезной математической подготовки, бежали от геометрии. Слабые ученики, заучившие теоремы наизусть, без понимания, и прозванные поэтому "ослами",были не в состоянии преодолеть теорему Пифагора, служившую для них вроде непреодолимого моста. Изза чертежей, сопровождающих теорему Пифагора, учащиеся называли ее также "ветряной мельницей", составляли стихи вроде "Пифагоровы штаны на все стороны равны", рисовали карикатуры.

Теорема Пифагора попала в Книгу рекордов Гиннеса, как теорема с наибольшим количеством доказательств. Это говорит о неослабевающем интересе к ней со стороны широкой математической общественности. Теорема Пифагора послужила источником для множества обобщений и плодородных идей. Глубина этой древней истины, по-видимому, далеко не исчерпана.

1.4 Формулировки теоремы Пифагора

Геометрическая формулировка: Изначально теорема была сформулирована следующим образом: В прямоугольном треугольнике площадь квадрата, построенного на гипотенузе , равна сумме площадей квадратов, построенных на катетах .

Алгебраическая формулировка: В прямоугольном треугольнике квадрат длины гипотенузы равен сумме квадратов длин катетов.

То есть, обозначив длину гипотенузы треугольника через , а длины катетов через и : а2 в2=с2

Обе формулировки теоремы эквивалентны, но вторая формулировка более элементарна, она не требует понятия площади . То есть второе утверждение можно проверить, ничего не зная о площади и измерив только длины сторон прямоугольного треугольника.

Обратная теорема Пифагора: Для всякой тройки положительных чисел а,в,с, таких, что а2 в2=с2 существует прямоугольный треугольник с катетами а,в и гипотенузой с.

1.5 Различные способы доказательства теоремы Пифагора

С глубокой древности математики находят все новые и новые доказательства теоремы Пифагора, все новые и новые замыслы ее доказательств. Известно более или менее строгих доказательств около пятисот, но стремление к преумножению их числа сохранилось.

На данный момент в научной литературе зафиксировано 367 доказательств данной теоремы. Такое многообразие можно объяснить лишь фундаментальным значением теоремы для геометрии.

Все их можно разбить на малое число классов. Самые известные из них: доказательства методом площадей, аксиоматические и экзотические доказательства (например, с помощью дифференциальных уравнений).

1.5.1 Простейшее доказательство

Квадрат, построенный на гипотенузе прямоугольного треугольника, равновелик сумме квадратов, построенных на его катетах. Простейшее доказательство теоремы получается в случае равнобедренного прямоугольного треугольника. Вероятно, с него и начиналась теорема.

В самом деле, достаточно просто посмотреть на мозаику равнобедренных прямоугольных треугольников, чтобы убедиться в справедливости теоремы. Например, для ?ABC: квадрат, построенный на гипотенузе АС, содержит 4 исходных треугольника, а квадраты, построенные на катетах, - по два. Теорема доказана.

1.5.2 Метод подобия

Среди доказательств теоремы Пифагора алгебраическим методом первое место (возможно, самое древнее) занимает доказательство, использующее подобие. Приведу в современном изложении одно из таких доказательств, возможно принадлежащих Пифагору. Если Пифагор действительно предложил такое доказательство, то он был знаком и с целым рядом важных геометрических теорем, которые современные математики обычно приписывают Евклиду.

Пусть ABC есть прямоугольный треугольник с прямым углом C. Проведем высоту из C и обозначим ее основание через H. Треугольник ACH подобен треугольнику ABC по двум углам. Аналогично, треугольник CBH подобен ABC. Введя обозначения ВС=а, АС=в, АВ=с получаем а/с=|НВ|/а, в/с=|АН|/в, что эквивалентно а2=с*|НВ|; в2=с*|АН|

Сложив, получаем а2 в2=с*(|НВ| |АН|)=с2. Или а2 в2=с2, что и требовалось доказать

1.5.3 Доказательства методом площадей

Ниже приведенные доказательства, несмотря на их кажущуюся простоту, вовсе не такие простые. Все они используют свойства площади, доказательства которых сложнее доказательства самой теоремы Пифагора.

1. Четырехугольник со сторонами c является квадратом, так как сумма двух острых углов 90°, а развернутый угол - 180°.

2. Площадь всей фигуры равна, с одной стороны, площади квадрата со стороной (a b), а с другой стороны, сумме площадей четырех треугольников и площади внутреннего квадрата.

(а в)2=4*(ав/2) с2; а2 2ав в2=2ав с2; или а2 в2=с2, что и требовалось доказать.

1.5.4 Через определение косинуса угла прямоугольного треугольника

Пусть ?АВС - данный прямоугольный треугольник с прямым углом С. Проведем высоту CD из вершины прямого угла С. По определению косинуса угла(Косинусом острого угла прямоугольного треугольника называется отношение прилежащего катета к гипотенузе)

COSA=AD/AC=AC/AB.

Отсюда

AB*AD=AC2.

Аналогично

COSB=BD/BC=BC/AB.

Отсюда

AB*BD=ВС2.

Складывая полученные равенства почленно и замечая, что AD DB=AB, получим:АС2 ВС2=АВ(AD DB)=АВ2.

Теорема доказана.

1.5.5 Древнекитайское доказательство

Наглядное доказательство теоремы Пифагора принадлежит индусам. Посмотрите внимательно на два квадрата, и вам все станет ясно. Индусы к этому чертежу добавляли лишь одно слово: «СМОТРИ»

1.5.6 Доказательство Мельманна

Площадь данного прямоугольника с одной стороны равна 0.5 ab , с другой 0.5 pr , где p - полупериметр треугольника, r - радиус вписанной в него окружности r = 0.5(a b-c). 0.5ab=0.5pr=0.5(a b c)*0.5(a b-c)

Отсюда следует , что с2=а2 b2

1.5.7 Доказательство Леонардо да Винчи

Главные элементы доказательства - симметрия и движение.

Рассмотрим чертеж, как видно из симметрии, отрезок СІ рассекает квадрат ABHJ на две одинаковые части (так как треугольники ABC и JHI равны по построению).

Пользуясь поворотом на 90 градусов против часовой стрелки вокруг точки A, мы усматриваем равенство заштрихованных фигур CAJI и DABG.

Теперь ясно, что площадь заштрихованной нами фигуры равна сумме половин площадей маленьких квадратов (построенных на катетах) и площади исходного треугольника. С другой стороны, она равна половине площади большого квадрата (построенного на гипотенузе) плюс площадь исходного треугольника. Таким образом, половина суммы площадей маленьких квадратов равна половине площади большого квадрата, а следовательно сумма площадей квадратов, построенных на катетах равна площади квадрата, построенного на гипотенузе.

1.6 Обобщение теоремы Пифагора

Теорема косинусов является обобщением теоремы Пифагора. Звучит она так: «Квадрат стороны произвольного треугольника равен сумме квадратов двух других его сторон без удвоенного произведения одной из этих сторон на взятую на ней проекцию другой». с2=а2 в2-2ав*cos?.

Действительно, если ?=90?, то cos90?=0 и с2=а2 в2

1.7 Применение теоремы Пифагора

Область применения теоремы достаточно обширна и вообще не может быть указана с достаточной полнотой. В первую очередь теорема Пифагора применяется в школьном курсе математики и курсах смежных дисциплин. Теорема Пифагора используется также при построении сечений в объемных фигурах, таких как куб, конус и других.

В строительстве: крыш, окон, молниеотводов, мостов, зданий, различных металлоконструкций; при строительстве любых сооружений рассчитывают расстояния, центры тяжести, размещение опор, балок и т.д.

Также свое применение теорема Пифагора нашла в работах по астрономии и космонавтики при изучении пути светового луча, сигнала. Изначально она использовалась при определении расстояния до различных звезд, галактик.

Немаловажную роль имеет она и в мобильной связи. Чем надежнее связь, тем больше потребителей. Например, нужно определить какую наибольшую высоту должна иметь антенна, чтобы передачу можно было принимать в определенном радиусе.

Заключение.

В целом, значение теоремы, кроме вышесказанного, заключается в том, что она применяется практически во всех современных технологиях, а также открывает простор для создания новых. Я считаю, что за теоремой Пифагора следует великое будущее многих открытий, которыми человечество потрясет весь мир. С помощью своих исследований я установила, что вокруг личности Пифагора образовалось много легенд, так что мне трудно судить как о доле вымысла в них, так и о степени соответствия действительности.

Возможно, значение теоремы Пифагора состоит в том, что из нее или с ее помощью можно вывести большинство теорем геометрии и решить множество задач. Изза этого многие ученые называют эту теорему самой главной в геометрии. Теорема Пифагора - фундамент, базис, основа всех математических вычислений, расчетов и многих изобретений. Творческая работа по изучению биографии Пифагора и математического наследия позволила в корне изменить все мои взгляды на этого великого и гениального ученого древности.

1. Астахова В.Г.и др. «Мир вокруг нас» Москва Издательство политической литературы,1983 год, 175с.

2. Атанасян Л.С.и др. Геометрия 7-9 .Учебник для общеобразовательных учреждений Москва «Просвещение», 2006 год

3. Глейзер Г.И. «История математики в школе 4-6 классы» Москва «Просвещение»,1981год, 239с.

4. Депман И.Я. «За страницами учебника математики» Пособие для учащихся 5-6 классов средней школы Москва «Просвещение», 1989год, 287с.

5. Кисилев А.П. Элементарная геометрия Москва «Просвещение», 1980 год, 287с.

6. Погорелов А.В. Геометрия 7-9. Учебник для общеобразовательных учреждений Москва «Просвещение», 2006год.

7. Энциклопедический словарь юного математика Москва «Педагогика», 1989 год, 349с.

8. Белл Э. Т. Творцы математики. Предшественники современной математики/ Под ред. С. Н. Киро. М., 1979

9. Реньи А. Трилогия о математике (Диалоги о математике. Письма о вероятности. Дневник - Записки студента по теории информации)/ Пер. с венг. Под ред. Б. В. Гнеденко. М., 1980 10.

10. Хрестоматия по истории математики в 2-х т./ Под ред. А. П. Юшкевича. М., 1975, 1976

11. Математика в школе. Рубрики «Математический календарь» и «Ученые-математики» (с 1975 г.)

Размещено на .ru