Перетворення Лапласа та його властивості - Задача

Перетворення Лапласа використовується в операційному зчисленні, яке застосовується для рішення лінійних диференціальних рівнянь звичайних і з частками похідними, диференційно-різницевих рівнянь н лінійних інтегральних рівнянь типу згортки.Оригіналом називається комплексна функція f (t) = u (t) iv (t) дійсного перемінного t, що задовольняє умовам: 1) f(t) - однозначна безперервна або кусочно-непреривна функція разом зі своїми похідними n-го порядку в інтервалі (-?;?); Число s0 ? 0, для якого нерівність в умові 3) виконується при будь-якому s = s0 ? (? > 0) н не виконується при s = s0 - ? (s0 - точна нижня границя чисел s), називається показником росту функції f (t).Тоді перетворенням Лапласа називається інтеграл: . Тобто, коли у відповідь функції f(t) ставиться функція F(p), де: , - оригінал, - зображення (при виконанні умови збіжності інтегралу). Не всяка функція може бути оригіналом. Достатньою умовою для того, щоб функція вважалась оригіналом може бути: 1) , якщо , ; якщо . 3) має зростати не швидше, ніж показникові функція [10].перетворення рівняння задача функція За формулами Ейлера маємо Тому за допомогою 1 маємо: 3. f[t]=cos[щт], щ L[cos[щт]][р]= За властивістю 2.2 маємо: ЗокремаТеорема 4.1 (основна) Нехай функція f(t) задовольняє умові (1.1) і F(p) її зображення. Розглядаючи F[p] перетворення Фурє функції g[t] обернення перетворення Фурє. Теорема 4.2 Нехай F[p] аналітична на півплощині Rep>a що задовольняє умовам: При будь-якому існує інтеграл: Для За теоремою Коши інтеграл Г[у1, у2, р] по контуру J1[у1, у2, р] дорівнює нулю. Легко переконатися, що інтеграли за верхній і нижній сторонам прямокутника прямують до 0 при р>?, а інтеграли по бічним сторонам в границі виявляються рівними за величиною.Функцією-оригіналом називається будь-яка комплексно значна функція f(t) дійсного аргументу t, що задовольняє умовам: 1°. f(t) інтегрована на будь-якому скінченому інтервалі вісі t (локально інтегрована). 3°. f(t) зростає не швидше ніж показникові функція, тобто існують такі сталі і , що для усіх t Показати що функція є функцією-оригіналом. Дійсно, функція f(t)локально інтегрована існує для будь-яких скінчених і . Це не суперечить означенню, так як останнє гарантує аналітичність при , але не стверджує, що якщо , тоді функція буде всюди аналітична.Розглянемо наближене розвязування початково-крайової задачі теплопровідності у двозвязній області. Така задача часто виникає в контексті розвязування обернених задач реконструкції гладких тривимірних включень. Для напівдискретизації задачі за часовою змінною використовують різні методи - метод Роте [6], який дає змогу отримати перший чи другий порядок апроксимації за часовою змінною; метод Лагерра, похибка апроксимації якого невідома тощо. Ми застосуємо метод, що ґрунтується на використанні перетворення Лапласа та апроксимації оберненого перетворення Лапласа. Для наближеного розвязування стаціонарних задач доцільно використати метод граничних інтегральних рівнянь, що дає змогу побудувати ефективний метод розвязування вихідної задачі з експоненційним порядком апроксимації як для часової, так і для просторових змінних.В задачу теорії операторів входить докладний опис і класифікація різноманітних видів перетворень і їх властивостей, а також розробка символічних методів, що дозволяють мінімалізувати і спростити обчислення. Застосування операційного метода можна порівняти з логарифмуванням, коли 1) від чисел переходять до логарифмів, 2) над логарифмами проводять дії, що відповідають діям над числами, при тому множенню чисел відповідає більш проста операція складання логарифмів і т.д.

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ 1

ПЕРЕТВОРЕННЯ ЛАПЛАСА

1.1. Оригінал та зображення

1.2. Властивості перетворення Лапласа

1.3. Обчислення перетворення Лапласа основних функцій

1.4. Обернене перетворення Лапласа

1.5. Приклади розвязання базових задач

РОЗДІЛ 2

ПРО НАБЛИЖЕНЕ РОЗВЯЗУВАННЯ ПОЧАТКОВО-КРАЙОВОЇ ТРИВИМІРНОЇ ЗАДАЧІ ТЕПЛОПРОВІДНОСТІ З ВИКОРИСТАННЯМ МЕТОДУ ІНТЕГРАЛЬНИХ РІВНЯНЬ

ВИСНОВКИ

СПИСОК ДЖЕРЕЛ ТА ЛІТЕРАТУРИ

В багатьох задачах математичного аналізу розглядаються випадки, в яких кожна точка одного простору ставиться у відповідність деякій точці іншого (або того ж самого) простору. Відповідність між двома точками встановлюється за допомогою перетворення або оператора. В задачу теорії операторів входить докладний опис і класифікація різноманітних видів перетворень і їх властивостей, а також розробка символічних методів, що дозволяють мінімалізувати і спростити обчислення. Застосування операційного метода можна порівняти з логарифмуванням, коли 1) від чисел переходять до логарифмів, 2) над логарифмами проводять дії, що відповідають діям над числами, при тому множенню чисел відповідає більш проста операція складання логарифмів і т.д. 3) від найденого логарифма знов повертаються до числа. В операційному методі широко використовується перетворення Лапласа, яке перетворює певний клас функцій-оригіналів f(t) дійсної змінної t в функцію-зображення F(p) комплексної змінної p.

Застосування методів, що використовують перетворення Лапласа знайшло широке застосування в розвязанні різноманітних задач електротехніки, гідродинаміки, механіки, радіотехніки, а також і ряду інших областей науки та техніки, тому що воно дозволяє мінімалізувати і спростити обчислення складних задач диференціальних рівнянь, рівнянь в частинних похідних, інтегро-диференціальних рівнянь типу згортки. Зокрема, в силу властивості лінійності перетворення Лапласа і його означення розвязання звичайного лінійного диференціального рівняння з постійними коефіцієнтами задовільне алгебричному рівнянню першого ступеня, а отже може бути легко знайдено.

1. Марыненко В. С. Операционное счисление: Учеб, пособие.-4-е иэд.,перераб. и доп.-К.: Высш. шк.. 1990.-359с.

2. Диткин В.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования и операционное исчисление. М.: Гос. Изд-во физмат. литры. 1961. -524с.

3. Лаврик С. Про наближене розвязування суттєво-просторової задачі Діріхле для рівняння Гельмгольца у випадку областей з гладкими поверхнями. // Вісн. Львів. ун-ту. Сер. прикл. математика та інформатика. 2006. Вип. 11. С. 60-68.

4. Ладыженская О., Солонников В., Уральцева Н. Линейные и квазилинейные уравнения параболического типа. М.: Наука, 1967.

5. Atkinson K.E. Quadrature of singular integrands over surfaces // El. Tran. Numer. Anal. 2004. Vol. 17. P. 133-150.

6. Chapko R., Kress R. Rothes method for the heat equation and boundary integral equations // J. of Integral Equations and Applications. 1997. Vol. 9. P. 47-69.

7. Chapko R., Kress R., Yoon J.R. On the numerical solution of an inverse boundary value problem for the heat equation // Inv. Problems. 1998. Vol. 14. P. 853-867.

8. Владимиров В.С. Уравнения математической физики / В.С. Владимиров - М.: Наука, 1988.-512 с.

9. Свешников А.Г. Теория функций комплексной переменной / А.Г. Свешников, А.Н. Тихонов. - М.: Наука, 1970. - 304с.

10. Сидоров Ю.В. Лекции по теории функцій комплексного переменного / Ю.В. Сидоров М.В. Федорюк М.И. Шабунин; под ред. Ю.В. Сидорова. - М.: Наука, 1982. -488с

11. Эфрос А.М., Данилевский А.М. Операционное исчисление и контурные интегралы.- Харьков: ДНТВУ, 1937.-383 с.

12. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного.- М.: Наука, 1987.- 686 с.

13. Штокало И.З. Операционное исчисление. - К.: Наук. Думка, 1972.-303 с.

14. Диткин В.А., Прудников А.П. Справочник пооперационному исчислению.- М.: Высш. Школа, 1965.- 465 с.

15. Ван дер Поль Б., Бреммер Х. Операционное исчисление на основе двухстороннего преобразования Лапласа.-М.: Изд-во иностр. Лит., 1952.-507 с.

16. Карслоу Х., Егер Д. Операционные методы в прикладной математике.-М.: Изд-во иностр. Лит.,1948.-291 с.

17. Микусинский Я. Операторное исчисление.-М.: Изд-во иностр. Лит., 1956.-366с.

18. Цыпкин Я.З. Теория линейных импульсных систем.- М.: Физматгиз. 1963.- 968 с.

19. Винер И. Интеграл Фурье и некоторые его приложения.- М.: Физматгиз, 1968.- 256 с.

Размещено на .ru