Перехідні явища в теорії багатовимірного відновлення та їх застосування в дослідженні асимптотичних властивостей випадкових еволюцій - Автореферат

Необхідність у дослідженні перехідних явищ для рівняння відновлення виникла у звязку з вивченням гіллястих процесів, близьких до критичних, граничних розподілів функціоналів від процесів з марковським втручанням випадку, граничних задач для випадкових блукань. Особливістю таких задач є те, що у рівнянні відновлення, якому задовольняють певні характеристики досліджуваних процесів, разом зі зміною часового аргументу змінюються міра та вільний член, за якими це рівняння побудовано. При дослідженні перехідних явищ для рівняння відновлення у схемі серій важливим є питання про те, як повинні бути повязані часовий аргумент i параметр серії для того, щоб при зростанні до нескінченності першого i прямуванні до нуля другого існувала б нетривіальна границя розвязку рівняння відновлення. Для скалярного рівняння швидкість зростання часу є обернено пропорційною до швидкості прямування до нуля дефекту невластивої функції розподілу, за якою це рівняння побудовано; для рівняння багатовимірного відновлення з нерозкладною матрицею повних мас мір перехідні явища виникають, коли швидкість зростання часу є обернено пропорційною до швидкості прямування до одиниці перронового кореня дограничної матриці повних мас мір. Для рівняння з одиничною граничною матрицею повних мас мір за умови, що швидкість збіжності елементів дограничної матриці повних мас мір до відповідних елементів одиничної матриці пропорційна параметру серії, перехідні явища досліджувались у масштабі часу, обернено пропорційному до параметра серії.Другий розділ присвячено дослідженню перехідних явищ, які виникають в асимптотиці матричнозначної функції відновлення та розвязку рівняння багатовимірного відновлення у схемі серій гранична матриця повних мас мір F? F [0,?) є стохастичною і розкладною блочно-діагонального вигляду F=diag{F1, F2,…, Fr}, тобто множину індексів E={1,2,…,d} можна подати у вигляді обєднання неперетинних множин E1, E2,…, Er таких, що Fij=dsk коли i I Es, j I Ek , де dsk - символ Кронекера; кожна з матриць Fs вздовж діагоналі матриці F є нерозкладною, а матриця Fs (dt) - негратчастою. Якщо виконуються умови 1) - 5), то існують ненульова матриця С розміру r? r і нормуючий множник такі, що при i I Es, j I Ek Наступною теоремою описується асимптотика при e ® 0 нормуючого множника re та задається явний вигляд елементів матриці С, існування яких стверджується в теоремі 2.1 і визначених при її доведенні, у припущенні, що для дограничної матриці повних мас мір має місце асимптотичний розклад Асимптотику розвязку рівняння багатовимірного відновлення знайдено також для випадку, коли перронів корінь кожної з нерозкладних матриць Fs вздовж діагоналі матриці F рівний одиниці, а перронів корінь le дограничної матриці повних мас мір Fe прямує при e ® 0 до одиниці згори le ? 1.У дисертаційній роботі основні результати класичної теорії відновлення поширено на клас рівнянь багатовимірного відновлення, побудованих за сімєю залежних від малого параметра матричнозначних мір з блочно-розкладною граничною матрицею повних мас мір. В ній досліджено перехідні явища, які виникають в асимптотиці матричнозначних функції відновлення та розвязку вказаного типу рівняння, коли разом зі зростанням часового аргумента параметр серії прямує до нуля.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

У дисертаційній роботі основні результати класичної теорії відновлення поширено на клас рівнянь багатовимірного відновлення, побудованих за сімєю залежних від малого параметра матричнозначних мір з блочно-розкладною граничною матрицею повних мас мір. В ній досліджено перехідні явища, які виникають в асимптотиці матричнозначних функції відновлення та розвязку вказаного типу рівняння, коли разом зі зростанням часового аргумента параметр серії прямує до нуля. Досліджено також граничну поведінку деяких випадкових процесів, що допускають асимптотичне фазове укрупнення.

Основними результатами є такі: доведено існування масштабу часу, в якому асимптотика функції відновлення та розвязку рівняння багатовимірного відновлення є нетривіальними;

доведено нові теореми типу теореми Блекуела, елементарної та вузлової теорем відновлення про асимптотику приросту функції відновлення на інтервалі скінченної довжини, її поведінку на нескінченності та граничну поведінку розвязку такого рівняння;

встановлено асимптотику нормуючого множника, що визначає вище згаданий масштаб часу, у припущенні, що для дограничної матриці повних мас мір має місце асимптотичний розклад за деякою шкалою нескінченно малих величин;

для напівмарковського процесу, що допускає асимптотичне укрупнення множини станів, доведено існування масштабу часу, в якому існують нетривіальні границі перехідних ймовірностей, без припущення, що залежність вкладеного в напівмарковський процес ланцюга Маркова від параметра серії задано аналітично;

методом безпосереднього аналітичного аналізу рівняння багатовимірного відновлення доведено теорему усереднення в схемі асимптотичного фазового укрупнення для напівмарковської еволюції та теорему усереднення для випадкової еволюції, заданої рівнянням переносу на регенеруючому процесі.

Єлейко Я.І., Ніщенко І.І. Гранична теорема для матричнозначної випадкової еволюції // Вісник Львів. ун-ту. - 1999. - Вип. 53. - С. 102 - 107.

Єлейко Я.І., Ніщенко І.І. Про існування малого параметра для напівмарківського процесу // Мат. методи та фіз.-мех. поля. - 1998. - 41, № 4. - С. 95 - 98.

Ніщенко І.І. Про існування малого параметра для сімї напівмарківських випадкових еволюцій // Вісник Львів. ун-ту. - 2000. - Вип. 56. - С. 129 - 134.

Nishchenko I.I. Transition phenomena for many-dimensional renewal equation of special kind // Theory of Stochastic Processes. - 2000. - 6(22), № 1-2. - P 107 - 115.

Ніщенко І.І. Про асимптотичне зображення нормуючого множника для випадкової матричнозначної еволюції // Теорія ймов. та мат. стат. - 2001. - Вип. 64. - С. 129 - 135.

Yelejko Ya.I., Nishchenko I.I. Asyptotic behaviour of the mean value of random matrix-valued evoution // Тези міжнародної конференції “The Third Ukrainian - Scandinavian Conference in Probability Theory and Mathematical Statistics”. - Київ: Інститут математики НАН України. - 1999. - С. 162.

Yelejko Ya.I., Nishchenko I.I. The asymptotic properties and transition phenomena of random matrix-valued evolutions // Тези міжнародної конференції “Stochastic Analysis and its Appications”. - Львів. - 2001. - С. 86.