Некоторые аспекты истории числовых комбинаторных задач. Комбинаторный анализ как самостоятельная математическая дисциплина. Пример задач разной сложности. Анализ задачи о магическом шестиугольнике Адамса, история ее решения. Парадокс дней рождения.
«В таком огромном человеческом улье, - заметил как-то Шерлок Холмс по поводу Лондона, - возможны любые комбинации событий и фактов, возникает масса незначительных, но загадочных и странных происшествий...»Требуется в квадрате 3X3 так расставить девять цифр, чтобы суммы трех цифр в любом ряду по горизонтали, вертикали или диагонали были равны между собой. Квадрат Ло Шу (рис.1) является единственным решением этой задачи, не считая решений, получающихся из него при поворотах и отражениях. Луллий был совершенно убежден в том, что каждая область знания сводится к нескольким основным принципам; изучая все возможные их комбинации, исследователь может открывать новые истины. Например, сколькими разными способами можно разменять доллар, если у вас есть неограниченное число монет достоинством в полдоллара, четверть доллара, десять центов, пять центов и один цент? Ответ к задаче о том, как разменять один доллар: существуют 292 различных способа размена одного доллара (например: разменять один доллар двумя монетами по полдоллара) .4 показан самый простой способ расположения чисел для этой задачи. Поскольку магическая постоянная должна быть целым числом, мы доказали, что магического шестиугольника «второго порядка» (порядок равен числу ячеек, прилегающих к стороне шестиугольника) не существует. Перейдем к следующему примеру - шестиугольнику третьего порядка, состоящему из 19 ячеек. Сложив числа от 1 до 19, мы получим в сумме 190, то есть число, делящееся без остатка на 5 (число рядов, параллельных любому допустимому направлению). В то время считалось, что магическим шестиугольникам наверняка посвящена обширная литература, а Адамс просто нашел одно из сотен возможных решений задачи о шестиугольнике третьего порядка.Парадокс дней рождения - утверждение, гласящее, что если дана группа из 23 или более человек, то вероятность того, что хотя бы у двух из них дни рождения (число и месяц) совпадут, превышает 50 %. Для группы из 60 или более человек вероятность совпадения дней рождения хотя бы у двух ее членов составляет более 99 %, хотя 100 % она достигает, только когда в группе не менее 367 человек (с учетом високосных лет). Такое утверждение может показаться противоречащим здравому смыслу , так как вероятность одному родиться в определенный день года довольно мала, как и вероятность того, что двое родились в конкретный день. В данном примере для расчета вероятности того, что в группе из n человек как минимум у двух дни рождения совпадут, примем, что дни рождения распределены равномерно , то есть нет високосных лет , близнецов , рождаемость не зависит от дня недели, времени года и других факторов. Однако неравномерность распределения может лишь увеличить вероятность совпадения дней рождения, но не уменьшить: если бы все люди рождались только в 3 дня из 365, то вероятность совпадения дней рождения была бы очень высокой.Играя, например, в шахматы, вы решаете комбинаторную задачу о том, как, следуя правилам игры, наилучшим образом разместить некоторое число элементов (шахматных фигур) на доске размером 8X8 клеток, чтобы один выделенный элемент (король противника) не мог избежать мата. Композитор, создавая новую мелодию, также решает комбинаторную задачу: он должен распределить элементы некоторого множества (в данном случае множества нот); так, чтобы мелодия доставляла слушателям эстетическое удовольствие. Комбинаторными задачами в самом широком смысле этого слова наполнена вся наша повседневная жизнь: рассаживая гостей за столом, решая кроссворды, играя в карты, составляя какие-либо расписания, открывая сейф с наборным замком, набирая номер на телефонном диске, мы решаем комбинаторную задачу. Вставляя ключ в отверстие замка, мы с помощью механического устройства (ключа) решаем комбинаторную задачу о нахождении того соотношения длин маленьких стерженьков, при котором цилиндр замка начнет вращаться. ): «Если у каждого правила есть исключения, то каждое правило должно иметь хотя бы одно исключение, кроме этого» …а это не исключение к правилу, которое утверждает, что у каждого правила есть исключения?Рис.1. Рис.2. Как сложить полоску из двух, трех и четырех марок.
План
Содержание
Введение
1. Комбинаторные задачи
2. Комбинаторный анализ
3. Парадокс дней рождения
Заключение
Приложения
Введение
«В таком огромном человеческом улье, - заметил как-то Шерлок Холмс по поводу Лондона, - возможны любые комбинации событий и фактов, возникает масса незначительных, но загадочных и странных происшествий...»*
Стоит заменить «человеческий улей» на «множество элементов произвольной природы», и высказывание великого сыщика станет неплохим описанием комбинаторной математики. (*А. Конан-Дойль, Голубой карбункул, Собр. соч. в 8 т., 1966, том 1, стр. 402.)
1.
Парадоксы комбинаторики
Вывод
То, чем занимается комбинаторный анализ, можно назвать распределением элементов (отдельных предметов) по группам в соответствии с некоторыми заранее поставленными условиями. Играя, например, в шахматы, вы решаете комбинаторную задачу о том, как, следуя правилам игры, наилучшим образом разместить некоторое число элементов (шахматных фигур) на доске размером 8X8 клеток, чтобы один выделенный элемент (король противника) не мог избежать мата. Композитор, создавая новую мелодию, также решает комбинаторную задачу: он должен распределить элементы некоторого множества (в данном случае множества нот); так, чтобы мелодия доставляла слушателям эстетическое удовольствие. Комбинаторными задачами в самом широком смысле этого слова наполнена вся наша повседневная жизнь: рассаживая гостей за столом, решая кроссворды, играя в карты, составляя какие-либо расписания, открывая сейф с наборным замком, набирая номер на телефонном диске, мы решаем комбинаторную задачу. Вставляя ключ в отверстие замка, мы с помощью механического устройства (ключа) решаем комбинаторную задачу о нахождении того соотношения длин маленьких стерженьков, при котором цилиндр замка начнет вращаться.
Еще несколько удивительных парадоксов: O Парадокс Эпименида : Критянин говорит: «Все критяне - лжецы»
O Парадокс исключений (англ. ): «Если у каждого правила есть исключения, то каждое правило должно иметь хотя бы одно исключение, кроме этого» …а это не исключение к правилу, которое утверждает, что у каждого правила есть исключения?
O Прикажите слуге не слушаться Вас. Не слушаясь Вас, он ослушается приказа, так как он исполняет его, слушаясь Вас.
O Запрещено запрещать.
O Быть убежденным в том, чтобы не иметь никаких убеждений.
O Советую Вам не слушать моих советов.
O Закон Бенфорда : Во многих списках чисел из произвольных реальных источников, большинство чисел начинаются с цифры 1.
O Парадокс лифта (англ. ): Лифты чаще всего ходят в одном направлении - от середины здания вниз к подвалу и вверх к чердаку
O Задача спящей красавицы : Вероятностная задача, которая может иметь в качестве ответа 1/2 или 1/3 в зависимости от того, с какой стороны рассматривать вопрос.
O Парадокс ценности : Почему вода стоит дешевле алмазов, хотя потребность человека в ней гораздо больше, чем в алмазах?
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
