Визначення сфери та топологічне твердження, що її можна вивернути навиворіт, тобто всі внутрішні точки сфери показати на поверхні, а зовнішні точки приховати всередину, не проколюючи її, і не роблячи надломів. Історія вивертання сфери та парадокс Смейла.
Моя курсова робота присвячена парадоксу Смейла - твердження, що сферу можна вивернути навиворіт. Сфера - це множина точок, рівновіддалених від початку координат на відстань . Вивернути навиворіт, в топології, означає всі внутрішні точки показати на поверхні сфери, а зовнішні точки сховати всередину сфери.
Протягом багатьох років ніхто навіть замислитись не міг над тим, що сферу можна вивернути навиворіт. Це здається неможливим. Звичайно, як можна сферу вивернути навиворіт, не пошкодивши її? Простим людям важко таке збагнути, але математики можуть все.
В цій роботі буде описано як саме можна вивернути сферу, весь процес також будуть демонструвати малюнки, ще ми дізнаємось про історію вивертання сфери та основні топологічні твердження, а також ознайомимося з математиками, які працювали в топології, і внесли свій вклад в Смейловий парадокс.
Смейл працював над вивертанням сфери саме в топологічному просторі, тому ми наголошуємо саме на цей розділ математики.
Як на мене, тема моєї курсової роботи більше, ніж цікава. Вона доводить ще раз те, що математика це не лише числа, які діляться на множини і над якими можна виконувати якісь операції, а й логічне доведення якихось неймовірних речей .
Мало хто й замислювався над тим, що над тілом, яке має обєм можна зробити, те що запропонував американський математик - Стівен Смейл.
1. Відомості з топології
Топологія - це розділ математики, який вивчає властивості геометричних обєктів, які не змінюються під час деформації.
Першочергово топологічні задачі виникли в математичному аналізі, при вирішенні таких завдань, як: ліміт послідовності, різноманітних видів лімітів функцій однієї змінної, лімітів функцій багатьох змінних, лімітів векторних функцій.
Другим важливим стимулом для розвитку топології було вивчення різноманітних видів поняття неперервності.
Загальна топологія виникла в результаті вивчення найбільш загальних властивостей геометричних просторів, таких як метричні та топологічні.
Метрикою на будь - якій множині Х називається числова не відємна функція ?(x,y) , яка залежить від пари елементів x,y Х, для яких виконуються наступні аксіоми: а) ?(x,y)=0 тоді і тільки тоді, коли x=y (аксіома тотожності);
б) ?(x,y)= ?(y, x) (аксіома симетрії);
в) для будь - яких трьох елементів x,y,z X справедлива така нерівність ?(x,y) ?(x,z) ?(z,y) (нерівність трикутника).
Нехай на множині Х задана топологія, якщо задане деяке сімейство підмножин множини Х, так званих відкритих множин (множина, кожна точка якої входить внеї разомз деяким околом), для яких виконуються наступні умови: а) вся множина Х, і разом з нею порожня множина є відкритими множинами;
б) обєднання будь - якого сімейства і перетину кінцевого числа відкритих множин є відкритими множинами.
Множина Х із заданою на ній топологією називають топологічним простором, елементи множини Х називаються точками простору Х. Доповненнями до відкритих множин називають замкнутими множинами. В топологічному просторі Х виконуються ті ж самі умови для замкнутих множин, що і для відкритих.
В топологічних просторах відтворюються безліч понять метричних просторів. Околом точки x топологічного простору Х називають будь - яку відкриту множину, яка містить точку x. Відкрита множина, яка містить підмножину У, називається околом множини У. Точкою дотику множини У Х називається точка x, для якої кожний її окіл має порожній перетин з множиною У.
Топологія - це порівняно молода наука. Як і вся математика вона виникла з потреб життя. Вперше із суто топологічною задачею зустрівся математик Леонард Ейлер, розвязавши задачу «про сім мостів». Формулювання задачі: «Місто Кенігсберг в Пруссії розташоване на берегах річки Переголя, рукави якої ділили місто на чотири частини, в тому числі й два острови - Кнайпгоф і Ломзе, що поєднувалися сімома містами: Бакалійним, Зеленим, Гноєвим, Кузенним, Деревяним, Високим і Медовим. Необхідно знайти такий маршрут через місто, щоб кожним мостом проходити рівно один раз»
Розвязання: По-перше, Ейлер осягнув, що вибір маршруту всередині кожної з ділянок суходолу (островів, або берегів ріки) не має значення. Важлива лише послідовність перетину мостів. Це дозволило йому переформулювати задачу в абстрактних термінах (які лягли в основу теорії графів), виключивши усі ознаки окрім списку ділянок суходолу і мостів, що сполучають їх. В сучасних термінах, він кожну з ділянок суходолу замінив на абстрактну «вершину», а кожен міст на абстрактне «ребро», яке слугувало лише для відображення факту сполучення пари вершин (ділянок суходолу) цим мостом. Отримана математична структура називається графом (не порожня множина точок і множина відрізків, обидва кінці яких належать заданій множині точок).
Через те, що важлива лише інформація про звязки, форма в якій граф зображений на малюнку не має значення, якщо при цьому не змінюється сам граф. Тільки існування (або відсутність) ребра між кожною парою вершин має значення. Наприклад, не має значення чи ребра намальовані як прямі або криві, або праворуч чи ліворуч від іншого зображений вузол.
Наступним спостереженням Ейлера було те, що (окрім кінцевих вершин прогулянки), коли хтось потрапляє до вершини через міст, обовязково її покидає через міст. Інакше кажучи, впродовж кожного маршруту в графі, кількість входів в некінцеві вершини дорівнює кількості виходів з них. Тепер, якщо кожний міст пройден рівно один раз, вірно наступне, для кожної ділянки суходолу (окрім початкової і кінцевої), кількість мостів до цієї ділянки парна (половина з них буде пройдена за напрямком до ділянки, а половина з ділянки). Однак всі чотири ділянки суходолу в початковій задачі мають непарну кількість мостів (одна 5, а інші по 3). Через те, що лише дві ділянки можуть слугувати як початкова і кінцева точки ймовірного маршруту, задача пройтися усіма мостами рівно по одному разу призводить до протиріччя.
Сучасною мовою, Ейлер показав, що можливість пройти через граф, пройшовши кожне ребро рівно один раз, залежить від степенів вершин. Степінь вершини це кількість ребер, що торкаються її. Аргументи Ейлера показали, що необхідною умовою прогулянки бажаного виду через граф є звязність графа (між будь-якою парою вершин цього графа існує шлях) і відсутність або наявність рівно двох вершин непарного степеня. Ця умова виявилась і достатньою, що стверджував Ейлер і пізніше довів Карл Гьєхолзер. Такий шлях називається ейлерів шлях( в неорієнтованому графі це шлях, що проходить кожне ребро рівно один раз). Далі, якщо присутні дві вершини непарного ступеня, тоді Ейлерів шлях почнеться з однієї з них і закінчиться в іншій. Через наявність чотирьох вершин непарного ступеня, історична задача не має розвязку.
Іншим формулюванням задачі є запит на шлях, який проходить усіма ребрами і початкова та кінцева точки якого збігаються. Такий шлях називається ейлерів цикл(ейлерів шлях, що починається і завершується в одній вершині). Такий шлях існує тоді і тільки тоді, коли граф звязний і не містить вершин непарного степеня. Всі ейлерові цикли є ейлеровими шляхами, але не навпаки.
Це одиничний випадок такої топологічної задачі, насправді їх досить багато, для того, щоб відчути і осмислити топологію.
Математична спільнота високо відзначила внесок топологів до розвитку математики. За період з 1936 по 2006 роки, одна з найвидатніших відзнак у математиці, Медаль Філдса, була присуджена 48 математикам, 9 з них за дослідження саме в топології, але в роботах ще декількох із лауреатів топологічні методи грали важливу роль (Ларс Альфорс - 1936р., Жан-Пьер Серр - 1954р., Рене Том - 1958р., Джон Милиор - 1962р., Александр Гротендик - 1966р., Майкл атия - 1966р., Стівен Смейл - 1966р., Сергій Новіков - 1970р., Уильям Терстон - 1982р., Майкл Фридман - 1986р., Едвард Виттен - 1990р., Григорій Перельман - 2006р.)
2. Американський математик Стівен Смейл
Стівен Смейл (англ. Stephen Smale; народився 15 липня 1930) - американський математик, який очолював факультет математики Каліфорнійського університету в Берклі в 1960-61 і 1964-1995 роках, отримав премію Філдса 1966 року.
Він вступив до Мічиганського університету в 1948 році. Продовжив навчання в аспірантурі, де він отримав ступінь доктора філософії в 1957 році під керівництвом Рауля Ботта.
Як викладач Смейл почав свою карєру в коледжі при Чиказькому університеті. У 1958 році він вразив науковий світ відкриттям можливості «вивернути навиворіт» сферу в тривимірному просторі, згодом названої парадоксом Смейла. Крім цього він домігся великих успіхів у топології і вивченні динамічних систем.
У 1998 році він склав список з 18 завдань математики (Проблеми Смейла), які, на його думку, повинні бути вирішені в XXI столітті. Цей список складений у дусі проблем Гільберта: 1. Гіпотеза Рімана;
15. Існування і гладкість розвязування рівнянь Навє - Стокса;
16. Проблема Якобіана;
17. Розвязання систем алгебраїчних рівнянь;
18. Визначення границі штучного і людського інтелекту.
У 2007 році він був удостоєний премії Вольфа з математики. Зараз же є професором Технологічного інституту в Чикаго.
2.1 Парадокс Смейла
В цій статі ми наведемо класифікацію занурень другої сфери в евклідово n-вимірний простір , n>2 з точністю до регулярної гомотопії.
Нехай - різноманіття Штіфеля всіх 2 - реперів в . Якщо визначені 2 занурень f та g в , то визначений і інваріант ?(f,g) ( ).
Теорема: якщо f та g - занурення в , то вони є регулярно гомотопними тоді і тільки тоді, коли ?(f,g)=0. Крім цього, нехай дані занурення ( ) і занурення f: > . Тоді існує занурення g: > , таке, що ?(f,g)=0. Таким чином, існує взаємно однозначна відповідність між елементами ( ) і регулярними гомо топічними класами занурень в .
З цієї теореми випливає наступна: Теорема: будь - які 2 занурення в є регулярно гомотопними.
Те що це так, не є очевидним. Наприклад, не очевидно, що відображення одиничної сфери в є регулярно гомотопним тотожному відображенню на одиничній сфері.
Трійка складається із топологічних просторів та і відображення з в (оскільки необовязково є відображенням на). Трійка володіє СНР, якщо вона володіє властивістю накривної гомотопії в розумінні Серра. В цьому випадку ми називаємо або інколи просто простором.
Теорема: нехай трійка володіє СНР локально, тобто для кожної точки існує окіл , такий що ( володіє СНР. Тоді володіє СНР.
Гомоморфізм ( ) з простору в простір - це пара відображень : > та : таких, що наступна діаграма конгруенцій
v v
Якщо простори та співпадають і є тотожнім відображенням, ми будемо говорити про , як про гомоморфізм.
Відображення f: є слабо гомотопно еквівалентним, якщо 1) його звуження на кожну лінійно звязну компоненту індукує ізоморфізм гомотопних груп;
2) воно індукує взаємно-однозначну відповідність між лінійно звязними компонентами та .
Лема: якщо є простором, то складається із множини лінійно звязних компонент .
Лема: нехай ( ) є гомоморфізмом із простора в простір , так що є слабо гомотопно еквівалентними. Нехай , та = ( ). Тоді звуження на , : > є слабо гомотопно еквівалентними між та Ця лема випливає з попередньої.
Нехай і нехай є підпростором якщо виконуються наступні умови: для , (0)= . Нехай ( та звуження на також позначено через .
Тоді справедлива теорема.
Теорема: трійка ) володіє СНР.
Нехай є простором всіх відображень пар ( ) в (1, ) з компактною відкритою топологією, де є точка , (
Нехай є підпростором ", яке задовольняє умову: якщо , то (0)= . Відображення визначається звуженням на , тобто якщо , ( ) ( )= .
Лема: Трійка ( ) володіє СНР і є стягуючим.
Доведення: нехай є заданою гомотопією і покриває , де є деякий кінцевий многогранник. Покриваюча гомотопія : визначається наступним способом
, 0
= , Залишається показати, що є стягуючою. Нехай є сильною деформацією в точку . Потім визначимо за допомогою співвідношення
Легко побачити , що стягує в постійне відображення .
Лема: Гомотопна група зникає, тобто .
Доведення: Нехай дано , Ми покажемо, що гомотопне постійному відображенню. Нехай - кут між двома векторами репера , нехай є мінімальним з цих величин. Тоді існує окіл , такий що для з маємо
(1)
(2) для всіх . З існування такого випливає, що існує гомотопія , -1 з і така, що умов (1) і (2), які вказані вище, виконуються при заміні на і для значень з . Нехай і . Тоді визначимо , 0 1 за допомогою співвідношення .
З вибору випливає, що є регулярним. Тоді легко помітити, що повністю визначено і . Таким чином гомотопно константа.
Нехай є простором відображень у , починаючи від і нехай відображення, яке описує шлях до його кінцевої точки. Добре відомо, що володіє СНР і є стягуючою. Потім, що є простором .
Позначимо через підпростір . Нехай - звуження на , яке об означимо через . Тоді .
Лема: відображення є слабо гомотопно еквівалентним.
Розглянемо діаграму
v v
Тут буде тотожнім відображенням .
Легко перевірити, що ця діаграма комутує, не дивлячись на те, що не є звичайним включенням. Тоді з цього всього слідує, що є слобо гомотопно еквівалентним.
Нехай , і слабо гомотопно еквівалентним.
З точної гомотопної послідовності трійок і ми отримаємо.
Далі справедлива така теорема: .
В тому числі
.
Останнє твердження можна інтерпретувати, як визначення регулярних гомотопних класів з фіксованими граничними умовами на диску в .
Нехай f та g - занурення в . Ми можемо припустити Інваріант ( визначається наступним чином. Простір внутрішня частина являє собою топологічний диск, так що ми можемо припустити, що існує фіксоване поле 2 реперів, визначених на ньому. З цього поля індукують відображення в , яке узгоджене на границі простору . Потім за допомогою відображення ми отримаємо відображення сфери у . Гомотопний клас цього відображення, очевидно, не залежить від зробленого вибору. Ми об означимо цей клас через ( ) (ми можемо інтерпретувати базову точку , оскільки або є однозвязним, або )=0).
2.2 Історія вивертання сфери
Вивернути сферу навиворіт можна за допомогою безперервної деформації, що дозволяє поверхні пропустити через себе, але забороняє проколювати або розривати поверхню. Абстрактна теорема, доведена Смейлом в 1958 році, передбачає, що вивертання сфери можливе.
До Стівена Смейла також намагалися вивернути сферу такі вчені: Том Прентісс, Тонні Філліпс, Джим Блінн, Чапльз Пю та інші. Але лише Смейл зміг доступно викласти свої міркування.
Коли Смейл вперше оголосив, що він може довести реальність вивертання сфери, то йому ніхто не повірив. Але у доказі Смейла не знайшлося жодної логічної помилки. Математики переконалися, що теоретично можливо простежити доказ крок за кроком і знайти явний опис деформації, вивертаючої сфери. Але це було на стільки складно, що здавалося безнадійною справою. Протягом деякого часу після відкриття Смейла було відомо, що в принципі можна вивернути навиворіт сферу без рубця, але ніхто не мав ні найменшого уявлення, як це здійснити.
Але врешті - решт, математики з цим завданням впоралися.
Хоча доказ Смейла не складався з одних малюнків. Цікаво, що в його роботі їх взагалі немає - надто складні ті фігури, які в неявному вигляді містяться в його абстрактному аналітичному апараті. Їх не вдалося б зобразити самому винахідливому художнику - фантазія математиків разюча. Але, мабуть, ще більш разюча їх здатність передавати один одному найскладніші ідеї, не вдаючись до малюнків. Історія вивертання сфери - яскраве тому свідчення. Вона стала відомою широкій публіці завдяки французькому топологу Рене Тома, який дізнався про неї від свого колеги Бернара Морена, а той, у свою чергу - від американця Арнольда Шапіто, винахідника цієї «виворотки». Ось це особливо цікаво, якщо врахувати, що Бернар Морен сліпий.
2.3 Вивертання сфери
Вважається, щоб вивернути сферу, потрібно в ній зробити дірку і через неї вивернути сферу. Звичайно таке можливо, але сенс Парадокса Смейла полягає в тому, щоб вивернути сферу без пошкоджень її поверхні.
Так, звичайно, ми не можемо так зробити зі звичайною сферою, наприклад такою як баскетбольний мяч.
Нехай наша сфера зроблена із абстрактного еластичного матеріалу, який можна розтягувати, згинати і який може проходити сам через себе. Але при умові, що нам заборонено розривати, або проколювати цей матеріал, не знищивши його, ще його не можна повністю перегинати чи переламувати.
А зараз продемонструємо цей складний процес вивертання сфери.
І ось перше що приходить в голову.
Треба стискати протилежні сторони до центру, поки вони не пройдуть одна крізь одну (І). Внутрішня, пофарбована поверхня (ІІ) проступає з двох протилежних країв. Продовжимо цей процес «витягування» внутрішньої поверхні до тих пір, поки колечко, утворене частиною зовнішньої поверхні (ІІ), зовсім не зникне. Нажаль при такому процесі колечко утворює тугу петлю (ІІІ), яку доводиться затягнути. У результаті виходить рубець (IV), через що наш матеріал, з якого виготовлено сферу, «само знищиться» (диференціальна топологія розглядає тільки так звані «гладкі поверхні», у яких немає ніяких кутів і зламів).
Отже, завдання полягає в тому, щоб вивернути сферу навиворіт таким чином, щоб позбавляючись від колечка, не отримати рубця. І тут нам знову здається, що завдання нерозвязне . Але дивимось далі.
На цих картинках показано, як можна вивернути сферу навиворіт, і при цьому не порушити вимог диференціальної топології. Спочатку треба зблизити протилежні сторони сірої сфери (А), продавлюючи їх одна крізь одну. Тоді з двох сторін проступає пофарбована поверхня (В). Потім треба розтягнути один із забарвлених шматків (С) таким чином, щоб отримати поверхню, що нагадує сідло на двох «ногах» (О). Ці дві ноги перекручують проти годинникової стрілки і отримують поверхню Е. Вона ж показана знову (Р) « у розрізі» за допомогою стрічок, які зображують поперечні перетини.
Далі немає сенсу зображати отримувані на кожному етапі поверхні, оскільки вони занадто складні. Але можна, якщо завгодно, розглянути стрічки на всіх 10 рівнях і подумки домалювати. Один етап (Н2) ми все таки вирішили показати - просто, щоб можна було собі уявити, який тип фігур, що утворюються. Поверхня G зявляється після стиснення і обертання на 90 сідла поверхні Р.
Ще кілька кроків. А саме: між етапами I і J два однакові за формою ноги проходять одна крізь одну. У кожного перетину поверхні на етапі Jє два сірі боки, звернені один до одного. Між етапами J і К внутрішній шар розширюється, а зовнішній стискається; виходить поверхня К - абсолютно така ж, як J, але тільки кольори помінялись місцями.
Далі всі дії ідуть у «зворотному напрямку». Можемо скласти про них уявлення, розглядаючи картинки І, Н, С і так далі. Треба тільки міняти місцями кольори стрічок на кожній картинці. Закінчення цього другого ряду картинок ми наводимо. Поверхня L відповідає поверхні F, L2 - Е, і так далі.
Пофарбована сфера (поверхня Р) відповідає сірій сфері (поверхні А). Отже, деформація виконана і рубця немає. Сама можливість цього трюку була вперше доведена С. Смейлом, а всі послідовні етапи деформації придумав А. Шапіто.
Висновки
Отже, ми можемо вивернути сферу навиворіт, не проколюючи її, і не роблячи надломів. Ми це вже побачили, уявили, відчули і зрозуміли.
Ця робота дала нам змогу відчути глибокість математичної науки. Тепер ми знаємо, що сферу можна вивернути навиворіт, але при умові, що вона створена з абстрактного матеріалу, який не можна проколювати, надломувати, прорізати.
Звичайно краще і зрозуміліше можна біло б відчути глибокість Смейлового парадоксу, переглянувши відео (зазначено в літературі).
Але я хотіла показати своєю курсовою роботою, яка все таки цікава і багатогранна наука математика. Вивертання сфери, це один із n - ої кількості доказів цього.
Ще ми дізналися, що математики отримують премії, одна з яких згадується в цій роботі, Медаль Філдса - найпрестижніша відзнака в математиці і надається молодим математикам, яким менше за 40 років, за значний вклад в науку. Сума нагороди складала 15000 доларів США. Засновником був канадський математик Джон Чарлз Філос.
Література
1. Smale, Stephen A classification of immersions of the two - sphere. Trans. Amer. Math. Soc 90 1958. 281 -с. 290.
2. Франсис, Дж. Книжка с картинками по топологии, как рисовать математические картинки. Москва: Мир, 1991. Глава 6. Выворачивания сферы наизнанку.
