Простейшие вычисления в системе Mathcad, построение графиков функций и проведение символьных вычислений. Применение Mathcad в математическом анализе. Решение дифференциальных уравнений. Механизм и основные этапы аналитического решения исследуемых задач.
В данной работе попытаюсь познакомиться с данным математическим пакетом и его применением для решения некоторых заданий. Mathcad - программное средство, среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчетов, предоставляющая пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами, снабженная простым в освоении графическим интерфейсом. Для того чтобы выполнить простые расчеты по формулам, необходимо проделать следующее: · определить место в документе, где должно появиться выражение, щелкнув мышью в соответствующей точке документа; Чтобы ввести встроенную функцию в выражение: · Определите место в выражении, куда следует вставить функцию. Чтобы упростить выражение с помощью меню: q Введите выражение. q Выделите выражение или его часть, которую нужно упростить. q Выберите команду Символы / Упрощение.По итогам проделанной работы можно сделать следующий вывод: использование системы MATHCAD для решения типовых задач является наиболее приемлемым по сравнению с методом решения тех же задач вручную, потому как применение данного пакета дает ощутимый выигрыш во времени, а также исключены ошибки, возникающие в результате, к примеру, интегрирования или дифференцирования сложных функций, и ошибки, возникающие при численном решении некоторых задач (погрешность округления). Следует отметить еще одно преимущество Mathcad по сравнению с другими расчетными пакетами - Mathcad не требует особой компьютерной и математической подготовки для решения задач средней сложности.
Введение
Одна из задач ЭВМ - автоматизация труда, повышение эффективности научных исследований. Основная особенность ЭВМ - ориентация на применение пользователями, не владеющими языками программирования. Такой подход позволяет преодолевать языковой барьер, отделяющий человека от машины. С этой целью разрабатываются пакеты прикладных программ, рассчитанные на широкие круги специалистов. К подобным пакетам относится MATHCAD.
Система MATHCAD - современная универсальная и массовая математическая система для всех пользователей, позволяющая выполнять как численные, так и аналитические решения. Система имеет удобный математически ориентированный интерфейс и превосходные средства графики. Система настолько гибка и универсальна, что может оказать неоценимую помощь в решении математических задач как школьнику, постигающему основы математики, так и инженеру, который использует математические методы для решения прикладных задач.
В данной работе попытаюсь познакомиться с данным математическим пакетом и его применением для решения некоторых заданий. Для этого попытаюсь решить следующие задачи: 1. сбор и анализ литературы;
2. выявление основных возможностей системы;
3. подбор задач для решения;
4. решение выбранных задач математически;
5. решение выбранных задач с помощью пакета MATHCAD;
6. сравнение решений.
Таким образом, данная курсовая работа будет состоять из нескольких структурных частей: теоретической части, где будут описаны достоинства и возможности MATHCAD, а также основные приемы работы с данным программным средством, и практической части. Причем практическая часть будет включать два метода решения выбранной задачи: ручной, с использованием правил математики, и с использованием ЭВМ, в частности пакета MATHCAD. В заключении будет сделан вывод о преимуществах использования того или иного метода решения. дифференциальный уравнение mathcad математический
1. Работа с пакетом Mathcad
Mathcad - программное средство, среда для выполнения на компьютере разнообразных математических и технических расчетов, предоставляющая пользователю инструменты для работы с формулами, числами, графиками и текстами, снабженная простым в освоении графическим интерфейсом.
Сразу после запуска система готова к созданию документа с необходимыми пользователю вычислениями. Верхняя строка системы содержит указание на имя системы и текущего открытого окна. Следующая строка содержит позиции главного меню.
При работе с документами в Mathcad обычно не требуется обязательное использование возможностей меню, т.к. основные пункты дублируются кнопками быстрого управления. Они выводятся на экран с помощью соответствующих опций позиции Просмотр главного меню.
Чаще всего используются панели инструментов Стандартная (дублирует наиболее распространенные команды и операции) и Форматирование (для выбора типа и размера шрифтов и способа выравнивания текстовых комментариев).
Для ввода математических знаков в Mathcad используются удобные перемещаемые наборные панели со знаками (рис. 1), которые служат для вызова заготовок - шаблонов математических знаков (цифр, знаков арифметических операций, матриц, знаков интегралов, производных и т.д.).
Рис. 1. Панели математических символов
Рис. 2. Кнопки панели Математика
Простейшие вычисления в системе Mathcad
Для того чтобы выполнить простые расчеты по формулам, необходимо проделать следующее: · определить место в документе, где должно появиться выражение, щелкнув мышью в соответствующей точке документа;
· ввести левую часть выражения;
· ввести знак равенства =.
Приведем пример. Для вычисления синуса какого-нибудь числа достаточно ввести с клавиатуры выражение типа sin (1/4)=. После того, как будет нажата клавиша со знаком равенства, с правой стороны выражения появится результат: .
Подобным образом можно проводить и более сложные и громоздкие вычисления, пользуясь при этом всеми функциями, которые встроены в Mathcad. Чтобы ввести встроенную функцию в выражение: · Определите место в выражении, куда следует вставить функцию.
· Нажмите кнопку с надписью f(x) на стандартной панели инструментов.
· В списке Function Category появившегося диалогового окна выберите категорию, к которой принадлежит функция, - в нашем случае это категория Trigonometric.
· В списке Function Name выберите имя встроенной функции, под которым она фигурирует в Mathcad.
· Нажмите кнопку ОК - функция появится в документе.
Чтобы построить график функции f(x), следует: · сформировать вектор значений аргумента (в нашем примере х изменяется от -2p до 2p);
· задать вид функции одной переменной (y(x):=sin(x));
· нажать на панели График кнопку с нужным типом графика (в нашем случае ) и в появившейся заготовке графика определить значения, которые будут отложены по осям.
Система Mathcad позволяет строить графики, заданные в полярной системе координат, а также трехмерные графики.
Символьные вычисления
Символьные вычисления в Mathcad можно осуществлять в двух вариантах: 1. с помощью команд меню;
2. с помощью оператора символьного вывода ®, ключевых слов символьного процессора и обычных формул.
Первый способ более удобен, когда требуется быстро получить какой-либо аналитический результат для однократного использования, не сохраняя сам ход вычислений. Второй способ более нагляден, т.к. позволяет записывать выражения в традиционной математической форме и сохранять символьные вычисления в документах Mathcad. Кроме того, аналитические преобразования, проводимые через меню, касаются только одного, выделенного в данный момент, выражения. Соответственно, на них не влияют формулы, находящиеся в документе Mathcad выше этого выделенного выражения. Оператор символьного вывода, напротив, учитывает все предыдущее содержимое документа и выдает результат с его учетом.
Для символьных вычислений при помощи команд предназначено главное меню Символы, объединяющее математические операции, которые Mathcad умеет выполнять аналитически. Для реализации второго способа применяются все средства Mathcad, пригодные для численных вычислений и специальная математическая панель инструментов, которую можно вызвать нажатием кнопки Панель символов на панели Математика. На этой панели находятся кнопки, соответствующие специфическим командам символьных преобразований. Например, таким, как разложение выражения на множители, расчет преобразования Лапласа и другим операциям, которые в Mathcad нельзя проводить численно и для которых, соответственно, не предусмотрены встроенные функции.
Упрощение выражений - наиболее часто применяемая операция. Символьный процессор Mathcad стремится так преобразовать выражение, чтобы оно приобрело более простую форму. При этом используются различные арифметические формулы, приведение подобных слагаемых, тригонометрические тождества, пересчет обратных функций и др. Чтобы упростить выражение с помощью меню: q Введите выражение. q Выделите выражение или его часть, которую нужно упростить. q Выберите команду Символы / Упрощение.
Применение Mathcad в математическом анализе
Наиболее ярким проявлением возможностей символьного процессора в Mathcad являются аналитические вычисления пределов, производных, интегралов и разложений в ряд, а также решение алгебраических уравнений. Все эти операции при выполнении их с помощью меню Символы находятся в его подменю Переменные. Соответственно, требуется предварительное выделение в выражении переменной, относительно которой будет совершаться операция.
Чтобы аналитически продифференцировать выражение по некоторой переменной, выделите в нем эту переменную и выберите команду Символы/ Переменная / Дифференцировать.
В результате в следующей строке за выражением появится значение ее производной. Для того чтобы найти вторую производную, повторно примените эту последовательность действий, но уже к полученному результату дифференцирования. Так же находятся и производные высших порядков.
Для вычисления неопределенного интеграла от некоторого выражения по определенной переменной выделите в выражении переменную и выполните команду Символы/ Переменная / Интегрировать. Вычисленное аналитическое представление неопределенного интеграла появится ниже.
Чтобы вычислить определенный интеграл, следует напечатать его обычную математическую форму в документе. Чтобы получить результат интегрирования, следует ввести знак равенства или символьного равенства. В первом случае интегрирование будет проведено численным методом, во втором - будет найдено точное значение интеграла.
2. Решение дифференциальных уравнений
Дифференциальные уравнения - это уравнения, в которых неизвестными являются не переменные (т.е. числа), а функции одной или нескольких переменных.
Для численного решения дифференциального уравнения используется вычислительный блок Given/Odesolve. Данный вычислительный блок, реализующий численный метод Рунге-Кутты, состоит из трех частей: q Given - ключевое слово;
q Дифференциальное уравнение и начальные условия, записанные с помощью логических операторов, при чем дифференциальное уравнение должно быть линейно относительно старшей производной, а начальные условия должны иметь форму y(t)=b;
q Odesolve (t, t1) - встроенная функция для решения дифференциального уравнения относительно переменной t на интервале (t0, t1).
Следует не забывать о том, что вставлять логические операторы следует при помощи панели булевских операторов, а символ производной в виде штриха можно ввести с помощью сочетания клавиш Ctrl F7.
Приведем пример решения дифференциального уравнения первого порядка с заданным начальным условием .
В данном примере построен график функции, являющейся решением дифференциального уравнения.
3. Аналитическое решение
Задача 1
Провести полное исследование функции и построить ее график:
Решение: 1. Найдем область определения функции. Данная функция определена для .
2. Точки пересечения с осями координат. x=0, y=-1
3. Исследуем функцию на четность и нечетность: функция не четная и не нечетная, так как
.
4. Для нахождения наклонных асимптот вычисляем пределы
Т.е. данная функция не имеет и наклонных асимптот.
5. Находим первую производную функции
Определим интервалы монотонности из неравенств y’ > 0 и y’ < 0.
Имеем
, т.е. функция убывает на .
, т.е. функция возрастает на .
6. Найдем вторую производную и определим промежутки выпуклости и вогнутости.
, т.е. кривая вогнута .
, т.е. кривая вогнута .
7. График функции имеет вид.
Задача 2
Вершины пирамиды находятся в точках A, B, C и D. Вычислить: а) площадь, указанной грани; б) площадь сечения, проходящего через середину ребра L и две вершины пирамиды; в) объем пирамиды ABCD.
A (-4, 6, 3), В (3, - 5, 1), С (2, 6, -4), D (2, 4, -5); a) ACD; б) L = AD, В и С.
Решение: Т.к A (-4, 6, 3), В (3, - 5, 1), С (2, 6, -4), D (2, 4, -5), то АС=с-а, AD=d-а а) Т.к площадь грани треугольника можно найти по формуле б) найдем точку и получим в) Найдем объем. Объем пирамиды находится по формуле
Задача 3
Найти неопределенный интеграл (результаты интегрирования проверить дифференцированием).
Решение:
Проверка: .
Задача 4
Вычислить (с точностью до двух знаков после запятой) длину дуги:
Решение:
Задача 5
Вычислить значения частных производных для данной функции в точке с точностью до двух знаков после запятой.
Задача 6
Найти частное решение (частный интеграл) дифференциального уравнения: ,
3. Листинг индивидуальных заданий
Задание 6.4-2.2
Задание 2.2-2.7
Задание 8.1-4.1
Задание 9.2-2.1
Задание 10.1-3.10
Задание 11.1-4.1
Вывод
По итогам проделанной работы можно сделать следующий вывод: использование системы MATHCAD для решения типовых задач является наиболее приемлемым по сравнению с методом решения тех же задач вручную, потому как применение данного пакета дает ощутимый выигрыш во времени, а также исключены ошибки, возникающие в результате, к примеру, интегрирования или дифференцирования сложных функций, и ошибки, возникающие при численном решении некоторых задач (погрешность округления).
Следует отметить еще одно преимущество Mathcad по сравнению с другими расчетными пакетами - Mathcad не требует особой компьютерной и математической подготовки для решения задач средней сложности. Если с пакетом Mathcad долго не работать, то навыки работы с ним не забываются и при необходимости можно сразу приступить к решению возникшей расчетной задачи. «Конкуренты» же Mathcad, реальные и мнимые требуют непрерывного тренажа, иначе восстановить навыки будет довольно трудно. Однако иногда возникают проблемы при решении более сложных задач. Причина этого: незнание правил работы с пакетом и синтаксиса программы. Но при наличии соответствующей литературы этот недостаток является устранимым.
Считаю, что поставленная цель и задачи работы были достигнуты.
2. Бутенков, С.А. Методические указания к использованию системы MATHCAD в практических занятиях по курсу высшей математики. - Таганрог: ТРТУ, 1995. - 450 с.
3. Дьяконов, В.Г. MATHCAD 7. 0. в математике, физике и в Internet / В.Г. Дьяконов, И.В. Абраменкова. - М.: Ноллидж, 1999. - 352 с.
6. Сборник индивидуальных заданий по высшей математике ч. 1, ч. 2 / под ред. А.П. Рябушко - Мн.: Вышэйшая школа, 1990 г.
7. Плис, А.И. MATHCAD: Математический практикум для экономистов и инженеров/ А.И. Плис, Н.А. Сливина. - М.: Финансы и статистика, 2000. - 656 с.: ил.
8. Черняк, А.А. Математика для экономистов на базе MATHCAD / А.А. Черняк, В.А. Новиков, О.И. Мельников, А.В. Кузнецов.-СПБ.: БХВ-Петербург, 2003. - 496 с.: ил.
