Метод оценки объема случайной выборки по критерию погрешности ее математического ожидания, анализ кривой изменения его относительного приращения. Применение результатов при моделировании и анализе стохастических систем автоматического управления.
АВТОМАТИЗАЦІЯ ПРОЦЕСІВ ТА УПРАВЛІННЯ 79 Долгин, доцент, канд. техн. наук Севастопольский национальный технический университет ул.Наиболее важным из параметров можно считать математическое ожидание, которое входит в выражение многих статистических законов распределения. По определению [1,2] математическое ожидание mx t дискретно распределенной случайной величины x можно оценить, имея выборку, состоящую из n элементов mx( )= 1 axi , i=1 n t n где xi - значение случайной величины в момент времени ti (xi = x(ti )). Приведенное выражение позволяет вычислить математическое ожидание mx t с некоторой погрешностью. Получить точное значение требуемого объема выборки не представляется возможным ввиду случайного характера изменений самой величины x , но можно найти значение mx t с погрешностью, не превышающей заданного значения, с некоторой доверительной вероятностью P . (x задачи необходимо иметь реализацию, анализ которой позволяет получить желаемый результат [1, 2], что предполагает применение итерационной процедуры, в процессе которой необходимо задать объем выборки, вычислить математическое ожидание и дисперсию статистической совокупности, затем уточнить параметры с новым массивом данных до тех пор, пока не будет обеспечена требуемая точность.Таким образом, по заданной погрешности d в соответствии с (2) можно оценить требуемый объем выборки, положив k = n n =1 d, (3) так как при росте числа реализаций значение математического ожидания существенно изменяться не будет, оставаясь в пределах погрешности d. На рисунке 1 изображен для примера процесс изменения математического ожидания Mx при изменении объема выборки для равномерного закона распределения случайной величины в диапазоне a,b ; a = 30; b =150. На рисунке 2 изображен график границы погрешности GMO, построенный по формуле (2) при переменной k , изменяющейся в диапазоне 1, n . График GMX изображает относительные приращения математического ожидания Mk Mk 1 M0 , где MO - теоретическое значение математического ожидания, при увеличении текущего объема выборки k (k = 1,n ). Как видно из графиков, кривая изменения относительного приращения математического ожидания GMX не выходит за пределы границы (кривая GMO), рассчитанной по формуле (2), что обеспечивает высокую достоверность результата определения требуемого объема выборки (4) при заданной погрешности d оценки математического ожидания статистической совокупности.Найдем изменение дисперсии за один шаг, обозначив DDK = Dk 1 Dk , (7) где Dk = 1 axi mk - дисперсия выборки, состоящей из k элементов xi (i =1...k); i=1 k 1 k mk 1 - дисперсия выборки, содержащей k 1 элементов xi i =1...k 1); Преобразуем выражение (8) разложив разность квадратов математических ожиданий mk mk 1 = (mk mk 1)(mk mk 1). При оценке дисперсии выборки с числом элементов n абсолютное значение границы относительной погрешности определения дисперсии Dn не превосходит величины en ? n 1 mn Dn , (10) где mn и Dn - математическое ожидание и дисперсия выборки соответственно.Вычисленное по формуле (4) значение N совпало с полученным по формуле (3) и составило N = n =100, что свидетельствует об эффективности рассмотренного метода, позволяющего непосредственно оценить требуемый объем выборки без вычисления ее статистических параметров.
Список литературы
1. Вентцель Е.С. Теория вероятностей / Е.С. Вентцель. — М.: Высш. шк., 1999. — 576 с.
2. Решение задач надежности и эксплуатации на универсальных ЭЦВМ / Б.П. Креденцер, М.М. Ластовченко, С.А Сенецкий и др., под ред. Н.А. Шишонка. — М.: Сов радио, 1967. — 400 с.
3. Братан С.М. Построение подсистемы динамической диагностики для оценки непосредственно наблюдаемых параметров при чистом и тонком шлифовании // Ресурсозберігаючі технології виробництва та обробки тиском матеріалів у машинобудуванні: зб. наук. пр. — Луганськ, 2004. — С. 182-191.
Поступила в редакцию 09.11.2011 г.
Долгін В.П. Оцінка необхідного об"єму вибірки
Викладено метод оцінювання необхідного об"єму випадкової вибірки за критерієм похибки математичного очікування.
