Анализ подходов к оценке точности результатов измерений. Статическая обработка результатов многократных измерений. Основные элементы конструкции гладкого микрометра, физические принципы его действия. Оценивание неопределенности результата измерения.
Разделение погрешности измерения на случайную и систематическую и построенные на таком разделении методы ее описания к началу 80-х годов стали подвергаться определенной критике: эти представления перестали удовлетворять требованиям, предъявляемым решаемыми в метрологии задачами. Для устранения этих сложностей к началу 90-х годов с участием ряда международных организаций - Международной организации законодательной метрологии, Международного комитета мер и весов, Международного бюро мер и весов, Международной организации по стандартизации и Международной электротехнической комиссии - был разработан документ, содержащий новую концепцию описания результатов измерений. Показания по шкалам гладкого микрометра отсчитывают в следующем порядке: - по шкале стебля читают отметку около штриха, ближайшего к торцу скоса барабана; - по шкале барабана читают отметку около штриха, ближайшего к продольному штриху стебля; - складывают оба значения и получают показание микрометра. Сравнив значения эксцесса и контрэксцесса, полученные в результате вышеприведенных предварительных расчетов статистических характеристик, с значениями из таблицы 1[1], можно предположить, что закон распределения соответствует треугольному распределению. В критерии согласия К.Пирсона (критерий ?2) за меру расхождения принимается величина ?2, опытное (расчетное) значение ?2q которой определяется формулой: , где m - число сравниваемых частот (число интервалов, на которые разбиты все результаты измерений величины х);В результате выполнения данной курсовой работы проведен ряд работ, помогающих углубить и закрепить полученные при изучении курса «Теоретическая метрология» знаний на практике.
Введение
В практической жизни человек постоянно имеет дело с измерениями. Каждый день существует необходимость в знании длины, объема, веса, времени и других величин.
Отраслью науки, изучающей измерения, является метрология. Слово «метрология» образовано из двух греческих слов: метрон - мера и логос - учение. Дословный перевод слова «метрология» - учение о мерах. Долгое время метрология оставалась в основном описательной наукой о различных мерах и соотношениях между ними.
Измерения являются одним из важнейших путей познания природы человеком. Они дают количественную характеристику окружающего мира, раскрывая человеку действующие в природе закономерности. Все отрасли техники не могли бы существовать без развернутой системы измерений, определяющих как все технологические процессы, контроль и управление ими, так и свойства и качество выпускаемой продукций.
Погрешность измерения - оценка отклонения величины измеренного значения величины от ее истинного значения. Погрешность измерения является мерой точности измерения. Поскольку выяснить с абсолютной точностью истинное значение любой величины невозможно, то невозможно и указать величину отклонения измеренного значения от истинного. Это отклонение принято называть ошибкой измерения.
Разделение погрешности измерения на случайную и систематическую и построенные на таком разделении методы ее описания к началу 80-х годов стали подвергаться определенной критике: эти представления перестали удовлетворять требованиям, предъявляемым решаемыми в метрологии задачами. Сложившаяся ситуация затрудняла развитие отдельных теоретических и прикладных вопросов метрологии, что и привело к возникновению различных инициатив, направленных на разрешение возникшей проблемы.
Одной из них была новая концепция представления результатов измерений, развиваемая по инициативе международных метрологических организаций. Ее суть состоит в следующем. Обработка результатов измерений во всех странах проводится с использованием аппарата теории вероятностей и математической статистики. Практически везде погрешности разделяются на случайные и систематические. Однако модели погрешностей, значения доверительных вероятностей и формирование доверительных интервалов в разных странах мира отличаются друг от друга. Это приводит к определенным трудностям при сличении результатов измерений, полученных в лабораториях разных стран. Для устранения этих сложностей к началу 90-х годов с участием ряда международных организаций - Международной организации законодательной метрологии, Международного комитета мер и весов, Международного бюро мер и весов, Международной организации по стандартизации и Международной электротехнической комиссии - был разработан документ, содержащий новую концепцию описания результатов измерений. Документ, названный «Руководством для выражения неопределенности в измерении», содержит правила для стандартизации, калибровки, аккредитации лабораторий метрологических служб.
Основными положениями документа являются: • отказ от использования таких понятий, как истинное и действительное значения измеряемой величины, погрешность, относительная погрешность, точность измерения, случайная и систематическая погрешности;
• введение нового термина «неопределенность» - параметра, связанного с результатом измерения и характеризующего дисперсию значений, которые могут быть обоснованно приписаны измеряемой величине;
• разделение составляющих неопределенности на два типа: А и В. Вновь вводимые группы неадекватны случайным и систематическим погрешностям. Разделение основано не на теоретических предпосылках, а на практических соображениях.
Неопределенности типа А могут быть оценены статистическими методами на основе многократных измерений и описываются традиционными характеристиками центрированных случайных величин - дисперсией или СКО. Взаимодействие неопределенностей типа А описывается взаимным корреляционным моментом или коэффициентом взаимной корреляции.
Неопределенности типа В могут быть оценены любыми другими методами, кроме статистических. Они должны описываться величинами, аналогичными дисперсии или СКО, так как именно эти характеристики можно использовать для объединения неопределенностей типа В как между собой, так и с неопределенностями типа А.
Эти нововведения должны быть, по мнению МБМВ, распространены на практическую деятельность метрологов. Единое мнение метрологов на этот документ к настоящему времени еще не сформировано. Тем не менее, многие из метрологов склоняются к мнению, что понятие "неопределенность измерения" надо вводить в практику, но не вместо понятия "погрешность", а наряду с ним.
Целью курсовой работы является изучение различных подходов к оценке точности результатов измерений, получение практических навыков статической обработки результатов многократных измерений, закрепление знаний по основным разделам курса «Теоретическая метрология».
Задачами работы является изучение конструкции средства измерения, физического принципа, который положен в ее основу, изучение технических и метрологических характеристик средства измерений, получение навыков обработки результатов прямых многократных физических величин и оценивания неопределенности результата измерений.
1. Изучение конструкции и принципа действия гладкого микрометра типа мк-25
Основные элементы конструкции гладкого микрометра представлены на рисунке ниже и обозначены цифрами:
1. Скоба. Она должна быть жесткой, поскольку ее малейшая деформация приводит к соответствующей ошибке измерения.
2. Пятка. Она может быть запрессована в корпус, а может быть сменной у микрометров с большим диапазоном измерений (500 - 600 мм, 700 - 800 мм и т.д.).
3. Микрометрический винт, который перемещается при вращении трещотки 7.
4. Стопорное устройство. У микрометра на рисунке оно выполнено в виде винтового зажима. Используется для фиксации микрометрического винта при настройке прибора или снятии показаний.
5. Стебель. На него нанесены две шкалы: пронумерованная (основная) показывает количество целых миллиметров, дополнительная - количество половин миллиметров.
6. Барабан, по которому отсчитывают десятые и сотые доли миллиметра. Торец барабана также является указателем для шкалы стебля 5.
7. Трещотка для вращения микрометрического винта 3 и регулировки усилия, прикладываемого к измерительным поверхностям прибора.
8. Эталон, который служит для проверки и настройки инструмента. Не предусмотрен для некоторых моделей микрометров МК-25.
Рабочие поверхности микрометра разводят на величину чуть большую, чем размер измеряемой детали, иначе при работе можно ее поцарапать. Дело в том, что торцевые поверхности пятки и микрометрического винта имеют высокую твердость для устойчивости к истиранию.
Пятку слегка прижимают к детали и вращают микрометрический винт с помощью трещотки до соприкосновения его с измеряемой поверхностью. Трещотка служит для регулирования усилия натяга - делается обычно 3 - 5 щелчков. Положение микрометрического винта фиксируют с помощью стопорного устройства для того, чтобы не сбить показания при считывании значений со шкалы.
В процессе работы с микрометром его следует держать за скобу таким образом, чтобы была видна шкала стебля, и показания можно было снять на месте.
При измерении диаметра вала, измерительные поверхности нужно выставлять в диаметрально противоположных точках. При этом пятка прижимается к валу, а микрометрический винт, который медленно вращают трещоткой, последовательно выравнивается в двух направлениях: осевом и радиальном. После работы необходимо проверить точность инструмента с помощью эталона.
Результат измерения микрометром отсчитывается как сумма отсчетов по шкале стебля и шкале барабана. Следует помнить, что цена деления шкалы стебля равна 0,5 мм, а шкалы барабана - 0,01 мм. Шаг резьбы микропары (микровинт и микрогайка) равен 0,5 мм. На барабане нанесено 50 делений. Если повернуть барабан на одно деление его шкалы, то торец микровинта переместится относительно пятки на 0,01 мм (0,5 / 50 = 0,01 мм). Показания по шкалам гладкого микрометра отсчитывают в следующем порядке: - по шкале стебля читают отметку около штриха, ближайшего к торцу скоса барабана; - по шкале барабана читают отметку около штриха, ближайшего к продольному штриху стебля; - складывают оба значения и получают показание микрометра.
2. Определение результата многократного измерения физической величины
2.1 Определение точечных оценок закона распределения результатов измерения
Исходными данными является массив результатов многократных измерений длины с помощью гладкого микрометра типа МК в таблице 1.
Определяем среднее арифметическое значение массива экспериментальных данных :
(2.1) где n - количество отсчетов в массиве экспериментальных данных.
В качестве оценки центра распределения среднее арифметическое значение применяется для класса распределений, близких к нормальным. Но для симметричных экспоненциальных островершинных распределений наиболее эффективной является оценка медианы.
Медиана - это такое значение признака, которое разделяет ранжированный ряд распределения на две равные по числу результатов измерения части. Для нахождения медианы нужно отыскать значение признака, которое находится на середине упорядоченного ряда.
В моем случае n=100 - четное, следовательно, медиану можно найти по формуле:
(2.2)
Для равномерного, трапецеидального распределений целесообразно определять оценку центра размаха.
Определим несмещенную оценку дисперсии и среднее квадратическое отклонение (СКО) , с целью оценки рассеяния массива экспериментальных данных относительно среднего арифметического значения.
(2.4)
(2.5)
Дисперсия выражает мощность рассеяния относительно постоянной составляющей, имеет размерность квадрата случайной величины. СКО имеет размерность случайной величины и является действующим значением рассеяния этой величины.
Оценка СКО среднего арифметического определяется по формуле: (2.6)
Для оценки асимметрии ЗРВ, определим оценку третьего центрального момента, характеризующую несимметричность распределения (т.е. скошенность распределения: когда один спад крутой, а другой - пологий):
(2.7)
Третий центральный момент его оценка имеет размерность куба случайной величины, поэтому для относительной характеристики применяется безразмерный коэффициент асимметрии А:
(2.8)
Достоверность оценки величины асимметрии определяется с помощью параметра, характеризующего его рассеяние:
(2.9)
Если выполняется условие , то можно считать, что закон распределения величины симметричный (в нашем случае), если же , то нужно учесть несимметричность закона распределения величины.
Чтобы оценить протяженность закона распределения величины, определяем оценку четвертого центрального момента:
(2.10)
Четвертый центральный момент имеет размерность четвертой степени случайной величины, поэтому для удобства чаще применяется относительная величина, которая называется эксцессом и определяется по формуле (2.11).
= (2.11)
Эксцесс распределения для разных законов может иметь значение от 1 (для дискретного двухзначного) до ? (для распределения Коши).
Для классификации распределений по их форме удобнее использовать оценку контрэксцесса , изменяющуюся от 0 до 1 и определяемую по формуле:
(2.12)
Сравнив значения эксцесса и контрэксцесса, полученные в результате вышеприведенных предварительных расчетов статистических характеристик, с значениями из таблицы 1[1], можно предположить, что закон распределения соответствует треугольному распределению.
2.2 Исключение грубых погрешностей
Вопрос о том, содержит ли результат наблюдений грубую погрешность, решается общими методами проверки статистических гипотез. Проверяемая гипотеза состоит в утверждении, что результат наблюдения не содержит грубой погрешности, то есть является одним из значений измеряемой величины. Пользуясь определенными статистическими критериями, пытаются опровергнуть выдвинутую гипотезу. Если это удается, то результат наблюдений рассматривают как содержащий грубую погрешность, и его исключают.
Для выявления грубых погрешностей задаются вероятностью q (уровнем значимости) того, что сомнительный результат действительно мог иметь место в данной совокупности результатов измерений.
Границы цензурирования тгр •Sx выборки зависят не только от объема n, но и от вида распределения. Назначая ту или иную границу, необходимо оценить уровень значимости q=1 - P, то есть вероятность исключения какой-либо части отсчетов, принадлежащих обрабатываемой выборке.
Приближенный расчет коэффициента тгр при уровне значимости q<1/ (n 1): , (2.13) где Е - эксцесс распределения;
n - число результатов наблюдений.
Принимаем уровень доверительной вероятности Р= 0,99.
После расчета параметра для выбранной доверительной вероятности определяем верхнюю и нижнюю границы предельных значений отсчетов выражениями: (2.14)
(2.15)
Таким образом все отсчеты попадают в рассчитанный интервал, следовательно, массив данных не содержит промахов.
2.3 Определение закона распределения вероятности результатов измерений
Определив оценки основных начальных и центральных моментов и показателей формы, можно предварительно определить характер кривой плотности распределения вероятности.
По величине оценки эксцесса можно оценить степень заостренности кривой распределения плотности вероятности. т.к в нашем случае:
(2.16) то можно считать, что закон распределения плотности вероятности близок к нормальному.
2.4 Построение гистограммы
Для уточнения формы ЗРВ прибегают к построению гистограмм. Гистограмма представляет собой ступенчатый график, состоящий из прямоугольников, у которых основаниями служат частные интервалы ?хі на оси абсцисс, а площади равны частотам вариантов, попадающих в эти интервалы.
Для выполнения задания предлагается два варианта выбора числа интервалов группирования экспериментальных данных.
1).Необходимо определить число интервалов, на которые будет разбита гистограмма, используя формулы:
(2.17)
(2.18) где n - число отсчетов.
3,4705
7,8875
2). Число интервалов может быть выбрано из таблицы 2.
Таблица 2 ? Рекомендуемое число интервалов для построения гистограмм в зависимости от числа отсчетов
Число отсчетов Рекомендуемое число интервалов
40 - 100 7 ? 9
101 - 500 8 ? 12
501 - 1000 10 ? 16
1001 - 10000 12 ? 22
При выборе конкретного числа интервалов группирования рекомендуется учитывать следующее: 1) если предполагается, что закон распределения плотности вероятности симметричный, с явно выраженной модой, то желательно, чтобы количество интервалов т было нечетным (так как при четном т и островершинном или двухмодальном симметричном распределении в центре гистограммы оказываются два равных по высоте столбца и середина кривой распределения плотности вероятности принудительно делается более плоской), если же несимметричный закон распределения плотности вероятности, то требования к нечетности количества интервалов не предъявляются;
2) интервалы должны быть равной длины (исключением могут быть первый и последний);
3) центральный интервал (при нечетном количестве интервалов) желательно располагать в середине размаха экспериментальных данных симметрично относительно середины;
4) если гистограмма оказывается явно двухмодальной, число интервалов может быть увеличено в 1,5 ? 2 раза таким образом, чтобы на каждую моду приходилось бы примерно т интервалов;
5) в каждом интервале должно быть не менее 5 отсчетов (выполнение этого требования обязательно при проверке соответствия ЗРВ экспериментальным данным по критерию согласия К. Пирсона);
6) для получения гистограммы, наиболее близкой к реальному закону распределения вероятности, целесообразно построить несколько гистограмм, которые отличались бы друг от друга количеством интервалов (при этом варьирование количества интервалов должно быть в пределах рекомендуемых). Из построенных таким образом гистограмм выбирается для дальнейшего анализа гистограмма, которая отвечает максимальному числу признаков, установленных в результате предварительного анализа;
7) если какое-либо значение отсчета попадает на границу интервала группирования, то рекомендуется разделить количество этих отсчетов пополам на два соседних интервала.
Т.к. количество замеров напряжения равно 100 (четное), количество интервалов принимаем равным 9.
Определить длину интервала ?x по формуле
(2.19) где m - число интервалов гистограммы.
Определение количества значений, попавших в каждый интервал, и подсчет частоты m= 9 представлены в таблице 3.
Таблица 3- Подсчет частоты интервалов гистограммы
№ интервала Границы интервала Середина интервала Подсчет частот Частота, N
1 10,122-10,141 10,1315 3 1,561
2 10,141-10,160 10,1505 7 3,642
3 10,160-10,180 10,1700 11 5,723
4 10,180-10,199 10,1895 17 8,845
5 10,199-10,218 10,2085 22 11,446
6 10,218-10,237 10,2275 14 7,284
7 10,237-10,256 10,2465 13 6,764
8 10,256-10,276 10,266 7 3,642
9 10,276-10,295 10,2855 6 3,122
Итого 100
Построить гистограмму распределения, нанося по оси абсцисс границы интервалов, а по оси ординат - шкалу для частот. Для каждого класса строят прямоугольник с основанием, равным ширине интервала, и с высотой, соответствующей частоте попадания данных в этот интервал или частоты (относительному количеству отсчетов, приходящихся на данный интервал).
На рисунке 2, соответствующем таблице 3, ось абсцисс разбита на 9 интервала длиной ?x=0,01922.
Данные для построения диаграммы при m=7 представлены в таблице 4.
№ интервала Границы интервала Середина интервала Подсчет частот Частота, N
1 10,122-10,147 10,1345 3 1,214
2 10,147-10,171 10,1590 12 4,856
3 10,171-10,196 10,1835 20 8,094
4 10,196-10,221 10,2085 26 10,522
5 10,221-10,246 10,2335 22 8,903
6 10,246-10,270 10,2580 9 3,642
7 10,270-10,295 10,2825 8 3,238
Итого 100
На рисунке 3, соответствующем таблице 4, - на 7 интервалов: ?x = 0,02471.
По виду гистограмм можно предположить, что результат измерения подчиняется треугольному одномодальному закону распределения вероятности.
Рисунок 2 - Гистограмма, построенная по данным таблицы 3
Рисунок 3 -Гистограмма, построенная по данным таблицы 4
Далее по полученной гистограмме строится полигон. Построение осуществляется путем соединения середин верхних оснований каждого столбца гистограммы прямыми. Полигон распределения изображен на рисунке 4.
Рисунок 4 - Полигон распределения
2.5 Аппроксимация гистограммы и полигона распределения аналитической функцией плотности вероятности
Случайная величина не имеет белее полного описания, чем аналитическая кривая плотности распределения. Поэтому идентификация формы распределения сводится к выбору аналитической модели, которая не противоречит данной выборке экспериментальных данных.
Для подбора аналитического выражения аппроксимирующей функции плотности распределения вероятности должно быть выдвинуто предположение о ее виде. После чего необходимо сгладить полученный на основе гистограммы полигон распределений, представив его в виде более плавной кривой, и сравнить полученную экспериментальную кривую с теоретической кривой плотности распределения вероятности.
Значение экспериментальной плотности вероятности попадания отсчетов в m интервал в зависимости от x определяются величиной . Полученные результаты относят к середине интервала.
Значением теоретической плотности распределения вероятности получаются по теоретической зависимости, которая должна быть близка по форме к экспериментально полученному полигону и описывается аппроксимирующим аналитическим выражением.
Представим аналитическое выражение аппроксимирующей функции по треугольному ЗВР в следующем виде:
Параметра определим как минимальное значение массива экспериментальных данных, a=10,122.
Параметр b определим как максимальное значение экспериментальных данных, b=10,295.
10,122<x<10,210, 10,210<x<10,295
Проверку правильности расчетов целесообразно провести исходя из: 1) среднеарифметическое значение экспериментальной и аппроксимирующей кривых, должны быть равны.
2) площадь под аппроксимирующей кривой должна быть близка к единице.
Среднее арифметическое значение экспериментальной функции, рассчитанное по массиву результатов измерений
Среднее арифметическое значение аппроксимирующей функции вычисляется как: 10,0043
Значения теоретической и экспериментальной плотности распределения вероятности записаны в таблице 5 и представлены на рисунке 4.
Таблица 5
№ интервала Середина интервала, Подсчет частот, Ni(экс)Экспериментальная плотность распределения вероятности, Рэкс(х)= Теоретическая плотность распределения вероятности,Ртеор(х)
1 10,1315 3 1,561 1,27 0,024
2 10,1505 7 3,642 3,81 0,073
3 10,1700 11 5,723 6,42 0,123
4 10,1895 17 8,845 9,03 0,173
5 10,2085 22 11,446 11,57 0,222
6 10,2395 14 7,284 7,42 0,142
7 10,2465 13 6,764 6,49 0,125
8 10,266 7 3,642 3,87 0,074
9 10,2855 6 3,122 1,27 0,024
Итого 94 Ср. 5,68
Рисунок 2.3 - Экспериментальный полигон распределения и аппроксимирующая функция плотности (для гистограммы на рисунке 2.1)
Таким образом, выполняются два условия: 1) средние арифметические значения экспериментальной и аппроксимирующей кривых должны быть равны, 2) площадь под аппроксимирующей кривой должна быть близка к единице, в качестве аппроксимирующей функции можно принять рассмотренное аналитическое выражение.
2.6
Использование критериев согласия при идентификации формы распределения результатов измерения
В качестве способа оценки близости распределения выборки экспериментальных данных к принятой аналитической модели закона распределения обычно рекомендуется использование так называемых критериев согласия.
Критерии согласия позволяют оценить вероятность того, что полученная выборка не противоречит сделанному предположению о виде закона распределения рассматриваемой случайной величины. Для этого выбирается некоторая величина и, являющаяся мерой расхождения статистического и теоретического законов распределения, и определяется такое ее значение ua, чтобы Р(и?иа)=?, где ? - достаточно малая величина (уровень значимости), значение которой устанавливается в соответствии с существом задачи. Если значение меры расхождения uq, полученное на опыте, больше ua, то отклонение от теоретического закона распределения считается значимым и предположение о виде закона распределения должно быть отвергнуто (вероятность отвергнуть правильное предположение о виде закона распределения в этом случае не больше ?). Если значение uq?иа, то отклонение считается не значимым, то есть данные опыта не противоречат сделанному предположению о виде закона распределения.
Проверку гипотезы о характере распределения с помощью критерия согласия можно вести и в другой последовательности: по значению uq, определить вероятность ?q=Р(и?uq). Если полученное значение ?q?, то отклонения незначимые. Значения ?q, весьма близкие к 1 (очень хорошее согласие), могут указывать на недоброкачественность выборки (например, из первоначальной выборки без основания выброшены элементы, дающие большие отклонения от среднего).
В различных критериях согласия в качестве меры расхождения статистического и теоретического законов распределения принимаются различные величины.
Рассмотрим алгоритм вычисления критерия Пирсона (?2) и критерия Колмогорова (?).
В критерии согласия К.Пирсона (критерий ?2) за меру расхождения принимается величина ?2, опытное (расчетное) значение ?2q которой определяется формулой: , где m - число сравниваемых частот (число интервалов, на которые разбиты все результаты измерений величины х);
Ni - частота (количество отсчетов, попавших в i-тый интервал);
п - количество отсчетов в исходном массиве результатов измерений;
Рі - вероятность попадания случайной величины х в i-тый интервал.
При закон распределения ?2q независимо от вида закона распределения случайной величины х стремится к закону ?2 - распределения с к = т- r-1 степенями свободы, где r - число параметров теоретического закона распределения, вычисляемых по данной выборке (r=2 для нормального и равномерного распределения, для остальных - r=1).
Экспериментальные значения интегральной функции ?2 следует сравнить с теоретическим значением ?2 распределения Пирсона.
Для применения критерия Пирсона в общем случае необходимо, чтобы объем выборки n и количество разрядов mi были достаточно велики (практически считается достаточным, чтобы было n?50-60, mi ?5-8).
Критерий согласия К. Пирсона ?2 позволяет провести сравнение двух моделей и в том случае, когда для них используется разное число столбцов.
В таблице 2.7 представлены промежуточные вычисления критерия Пирсона.
Таблица 6 - промежуточные вычисления по алгоритму
Середина интервала, Частота, Плотность в серединах интервалов,Ртеор(х)Теоретическая частота, 1 10,1315 3 1,27 2,44 0,1285
2 10,1505 7 3,81 7,32 0,0140
3 10,1700 11 6,42 12,33 0,1435
4 10,1895 17 9,03 17,36 0,0075
5 10,2085 22 11,57 22,24 0,0026
6 10,2395 14 7,42 14,26 0,0047
7 10,2465 13 6,49 12,47 0,023
8 10,266 7 3,87 7,44 0,0260
9 10,2855 6 1,27 2,44 5,1941
100
5,54
Рассчитанное значение (при к=11-3, р=0,95), , значит можно принять гипотезу о том, что результат измерений подчиняется треугольному закону распределения вероятности.
2.7 Определение доверительных границ случайной погрешности результата измерения
Точечные оценки параметров дают оценку в виде числа, наиболее близкого к значению неизвестного параметра. Такие оценки используют только при большом числе измерений. Чем меньше объем выборки, тем легче допустить ошибку при выборе параметра. Для практики важно не только получить точечную оценку, но и определить интервал, называемый доверительным, между границами которого с заданной доверительной вероятностью Р (хн <x<хв)=1-q находится истинное значение оцениваемого параметра (q - уровень значимости, хн, хв - нижняя и верхняя границы интервала).
В тех случаях, когда распределение случайных погрешностей не является нормальным (как в данном), часто пользуются распределением Стьюдента с приближением, степень которого остается неизвестной.
В данном случае (треугольное распределение) =тгр. Половина длины доверительного интервала Dp = TГРSX/ называется доверительной границей погрешности результата измерений.
Следовательно, с помощью распределения Стьюдента можно найти вероятность того, что отклонение среднего арифметического от истинного значения измеряемой величины, обусловленное влиянием случайных факторов, находится в доверительных границах (без учета знака):
2.8 Определение доверительных границ неисключенной систематической погрешности результата измерения
Неисключенная систематическая погрешность результата образуется из составляющих, в качестве которых могут быть неисключенные систематические погрешности метода, средств измерений, а также вызванные другими источниками.
В качестве границ составляющих неисключенной систематической погрешности принимают, например, пределы допускаемых основных и дополнительных погрешностей средств измерений, если случайные составляющие погрешности пренебрежимо малы.
При суммировании составляющих неисключенной систематической погрешности результата измерения неисключенные систематические погрешности средств измерении каждого типа и погрешности поправок рассматривают как случайные величины. При отсутствии данных о виде распределения случайных величин их распределения принимают за равномерные.
Границы неисключенной систематической погрешности ? результата измерения вычисляют путем построения композиции неисключенных систематических погрешностей средств измерений, метода и погрешностей, вызванных другими источниками. При равномерном распределении неисключенных систематических погрешностей эти границы (без учета знака) можно вычислить по формуле:
(2.22) где - граница i-той неисключенной систематической погрешности;
k - коэффициент, определяемый принятой доверительной вероятностью.
Коэффициент k принимают равным 1,4 при доверительной вероятности Р=0,99. Допустимая погрешность микрометра ±0,002 мм.
2.9 Определение границ погрешности результата измерения
В случае, если отношение , то неисключенными систематическими погрешностями по сравнению со случайными пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата ?=?.
Если , то случайной погрешностью по сравнению с систематическими пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата ?=?. (2.23)
В случае, если указанные неравенства не выполняются, то границу погрешности результата измерения следует вычислить по формуле: , где К - коэффициент, зависящий от соотношения случайной и неисключенной систематической погрешностей;
- оценка суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения.
Оценку суммарного среднего квадратического отклонения результата измерения вычисляют по формуле:
Коэффициент К вычисляют по эмпирической формуле:
.
Оценим границы погрешности результата измерения с учетом полученных данных из прошлых подразделов: (2.23)
Таким образом делаем вывод, что случайной погрешностью пренебрегают и принимают, что граница погрешности результата ?=?.
Окончательный результат измерения микрометра МК-25 можно представить в следующем виде: Х=(10,2106±0,002) мм; Р=0,99.
3. Оценивание неопределенности результата измерения
Оценить неопределенность результата при определении разрывной нагрузки хлопчатобумажной ткани по основе по ГОСТ 3813.
В процессе испытания получены следующие результаты: Таблица 3.1 - Исходные данные
№ п/п Разрывная нагрузка по основе, Н
1 точ. Проба 2 точ. проба 3 точ. проба
1 150,0 161,0 146,0
2 153,0 148,0 170,0
3 149,0 150,0 142,0
4 147,0 152,0 158,0
5 151,0 148,0 150,0
Условия проведения испытаний: температура 18°С, влажность 65%;
Оборудование: линейка металлическая, разрывная машина РТ - 250.
3.1 Измерительная задача
Сущность метода заключается в получении значения разрывного удлинения по шкале при растяжении полоски ткани на разрывной машине. Испытание проводят в соответствии с моделью измерения, описанной в ГОСТ 3813-72 «Материалы текстильные. Ткани и штучные изделия. Методы определения разрывных характеристик при растяжении».
Отбор проб происходит по ГОСТ 20566.
Точечные пробы перед испытанием выдерживают в климатических условиях по ГОСТ 10681: относительная влажность воздуха - (65 ± 2) %;
температура воздуха - (20 ± 2) °С.
В этих же условиях проводят испытания.
Из каждой точечной пробы вырезают элементарные пробы в виде полосок: не менее пяти по основе и пяти по утку размером (50?200) мм. Элементарные пробы предварительно размечают так, чтобы одна элементарная проба не являлась продолжением другой. Продольные нити элементарной пробы должны быть параллельны соответствующим нитям основы или утка точечной пробы. Первую элементарную пробу в направлении основы размечают на расстоянии не менее 50 мм от кромки точечной пробы. Элементарные пробы в направлении утка размечают на расстоянии не менее 50 мм от края точечной пробы, распределяя их последовательно по длине.
Для проведения испытания применяют разрывные машины, обеспечивающие постоянную скорость опускания нижнего зажима (маятникового типа), или постоянную скорость деформации, или постоянную скорость возрастания нагрузки; относительную погрешность показаний разрывной нагрузки не более ± 1% от измеряемой величины; среднюю продолжительность разрыва (30 ± 5) с.
3.2 Математическая модель измерения
За разрывную нагрузку точечной пробы принимают среднеарифметическое значение всех измерений по основе или утку. Вычисления производят с погрешностью до 0,0001 Н и округляют до 0,001 Н.
Элементарные пробы зажимают в зажимах разрывной машины с предварительным натяжением в зависимости от поверхностной плотности, в нашем случае Р=1,96(0,2) Н.
Средняя разрывная нагрузка вычисляется по формуле: , (3.1)
где - сумма значений разрывной нагрузки, Н;
n- число испытаний.
В таблице 3.1 перечислены все входные величины с указанием применяемых условных обозначений и единиц измерений, в которых они будут оцениваться.
Таблица 3.2- Перечень входных величин
№ Величина Единица измерения Определение или описание
1 Н Поправка на неточность показаний разрывной машины
2 Н Поправка на вариационный разброс результатов определения разрывной нагрузки по всем точечным пробам
3 мм Поправка на ширину пробы.
3.3 Результаты измерений
В соответствии с методикой проведения испытаний получены следующие результаты измерений и проведено определение их статистических характеристик.
Рассчитаем следующие статистические характеристики: Среднее квадратическое отклонение:
Стандартная неопределенность по типу А:
3.4 Анализ и количественная оценка входных величин и их неопределенности
Результаты анализа входных величин представлены в таблице 3.3.
Таблица 3.4 - Анализ входных величин
1 2
Поправка на ширину пробы, , мм.Тип оценивания неопределенности: В
Вид распределения: равномерное
Значение оценки: 50 мм
Интервал, в котором находится значение входной величины: ± 0,1мм
Стандартная неопределенность: Отклонение обусловлено шириной пробы. В соответствии с ГОСТ 3813. Линейная зависимость между разрывной нагрузкой и шириной пробы.
Входная величина: неточность показаний разрывной машины, НТИП оценивания неопределенности: В
Вид распределения: равномерное
Значение оценки: 151,7 Н
Интервал, в котором находится значение входной величины: ± 1%
Стандартная неопределенность: =0,875 Н
Поправка на неточность показаний разрывной машины РТ-250 связана с неточностью показаний разрывной машины, оценивается на основании данных производителя. Отклонение по паспорту 1%.
Входная величина: вариационный разброс результатов определения разрывной нагрузки по всем точечным пробам, , НТИП оценивания неопределенности: А Вид распределения: нормальное
Значение оценки:151,7 Н
Интервал, в котором находится значение входной величины: Стандартная неопределенность: 1,71 Н
Обусловленная определением значения как среднеарифметического значения по всем точечным пробам. Определяется оценкой СКО полученного значения.
3.5 Коэффициенты корреляции
Все входные величины рассматриваются как некоррелированные
3.6 Коэффициенты чувствительности
Так как все входные величины рассматриваются как некоррелированные, принимаем коэффициенты чувствительности равные
= 1; = 1; =1
3.7 Бюджет неопределенности
Бюджет неопределенности представлен в таблице 3.4
Таблица 3.5 - Бюджет неопределенности
Величина Единица измерения Значение оценки Интервал Тип неопределенности Вид распределения вероятностей Стандартная неопределенность, Н Коэффициент чувствительности Вклад неопределенности Процентный вклад
Н 151,7 ± 1% В Равномерное 0,875 1 0,875 31,70
Н 151,7 - А Нормальное 1,71 1 1,71 61,96 мм 50 0,1 В Равномерное 0,175 1 0,175 6,34
Расширенную неопределенность Up(Р) получаем умножением суммарной стандартной неопределенности на коэффициент охвата k=2 в предположении нормального закона распределения измеряемой величины при уровне доверия 95%.
Up(Р)=k· Uc(Р)=2·1,929=3,858 (Н (6)
3.9 Полный результат измерения
Up(Р) = 151,7 ± 3,858 ( (7)
Вывод
В результате выполнения данной курсовой работы проведен ряд работ, помогающих углубить и закрепить полученные при изучении курса «Теоретическая метрология» знаний на практике. Решены задачи по изучению принципа действия средства измерения, определен закон распределения величины и оценена неопределенность результата измерения, что позволяет оценить качество измерений, используя различные подходы, известные современной науке.
Список литературы
1. Петюль И.А., Махонь А.Н. Теоретическая метрология: методические указания к выполнению курсовой работы для студентов специальности 1-54 01 01 -04 «Метрология, стандартизация и сертификация (легкая промышленность)»/И.А.Петюль, А.Н. Махонь.-Витебск: ВГТУ,2013.- 63 с.
2. Пелевин В.Ф. Метрология и средства измерений: учебное пособие/ В.Ф.Пелевин.-Минск: Новое знание; М.:ИНФРА-М,2013. -272с.
3. ГОСТ 3813-72.Материалы текстильные. Ткани и штучсные изделия. Методы определения разрывных характеристик при растяжении. Введ. 01.01.73.- Москва: Государственный комитет СССР по стандартам,1973. -12с.
4. ГОСТ 20566-75 «Ткани и штучные изделия текстильные. Правила приемки и метод отбора проб», ИПК Издательство стандартов, Москва 3с.
5. ГОСТ 10681-75.Материалы текстильные. Климатические условия для кондиционирования и испытания проб и методы их определения. - Введ. 01.01.78.- Москва: Государственный комитет СССР по стандартам,1979. -30с.
6. Термометры стеклянные ртутные электроконтактные типа ТПК. Паспорт/ Клинское производственное объединение «Термоприбор».
Размещено на .ru
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
