Рассмотрение обратной задачи Коши для параболического уравнения с коэффициентами, зависящими от малого параметра сингулярным образом. Осуществление оценки скорости сходимости решения исходной задачи к решению соответствующей усредненной задачи.
При низкой оригинальности работы "Оценка скорости сходимости в обратной задаче Коши для параболического уравнения с сингулярными коэффициентами", Вы можете повысить уникальность этой работы до 80-100%
Рассмотрена обратная задача Коши для параболического уравнения с коэффициентами, зависящими от малого параметра сингулярным образом. Используя вероятностное представление решения уравнения, найдена оценка скорости сходимости решения исходной задачи к решению соответствующей усредненной задачи.Это связано с тем, что, как правило, усредненное уравнение является значительно более простым для дальнейшего исследования. В [1] приведена оценка скорости сближения обратной задачи Коши для параболического уравнения с 1-периодическими коэффициентами и выписываемой в явном виде функцией, которая вычисляется через характеристики исходного уравнения и эргодические свойства некоторых вспомогательных процессов. Следует отметить, что в данной работе скорость сближения получена вероятностными методами, основанными на оценке скорости сближения решения стохастического уравнения с периодическими коэффициентами и решения соответствующего уравнения с постоянными коэффициентами. В работе [8] предложен метод построения доверительного интервала для неизвестного параметра коэффициента сноса, в основе которого лежала предварительно доказанная аналогичная оценка скорости сближения решений, но уже для случая решения, уходящего на плюс бесконечность с ростом времени.
Введение
Рассмотрим решение уравнения [1]
?u? (t,x) ? 1 ?2 ? x ??2u? (t,x) ??? x ??u? (t,x) ? f (t,x), u? (T,x) ??(x), 0?t ?T , (1) где функции f (t,x),?(x) ограничены f (t,x) ? K ? ??, ?(x) ? K ? ?? и липшицевы попеременной
2
2 t x x
? ?
? ? ? ?
? ? ? ?
? ?
? x, ? ?0 - малый параметр
Уравнения вида (1) возникают во многих приложениях и привлекали внимание многих известных исследователей [2-7], которые исследовали процедуру усреднения в задаче (1). Это связано с тем, что, как правило, усредненное уравнение является значительно более простым для дальнейшего исследования.
В [1] приведена оценка скорости сближения обратной задачи Коши для параболического уравнения с 1-периодическими коэффициентами и выписываемой в явном виде функцией, которая вычисляется через характеристики исходного уравнения и эргодические свойства некоторых вспомогательных процессов. Следует отметить, что в данной работе скорость сближения получена вероятностными методами, основанными на оценке скорости сближения решения стохастического уравнения с периодическими коэффициентами и решения соответствующего уравнения с постоянными коэффициентами.
В работе [8] предложен метод построения доверительного интервала для неизвестного параметра коэффициента сноса, в основе которого лежала предварительно доказанная аналогичная оценка скорости сближения решений, но уже для случая решения, уходящего на плюс бесконечность с ростом времени.
В данной работе этот метод применяется для исследования уравнения (1) с коэффициентами, обеспечивающими такое свойство.
Оценка скорости сходимости решений. Рассмотрим вспомогательное стохастическое дифференциальное уравнение
Далее, в условиях теоремы существует ограниченная сверху ? -гармоническая функция ?? (x), для которой x????? (x) ? ?? , для любых фиксированных ? ? 0, то в силу (11) имеем
L lim
? ?
? t?0
P inf?? (t) ? ?? ?1. С учетом последнего и (16) имеем: существует постоянная C ? 0, такая, что
?? (x) ?C ? ?? (17)
(следует отметить, что в (17) постоянная C ? 0, используя терминологию А.Ю. Веретенникова, контролируемая). С учетом (17) имеем
U? (x)?U? (y) ?C x ? y . (18)
Далее, воспользовавшись формулой Ито и соотношением (12) имеем при f (x) ??(x), f ?? ? 0 t/?3
? ?
? ?
? ?
? ?
?2 ? ?? ?x/? (s) ???ds ? LU (x) ? 0
? LU? (x)??2t/?2 DU? (dx/? (s)) ? ???/? (s)?DW(s)? x
?t,x ?s?? x? s? ??t,x ?s??d? ? s ? ??t,x ?s??DW ?), 0 ? t ? s ?T, W ( ) ??W ? ? ?. (27) t ? ? t ? ?
?
?
(
? ?
2
?
? ?
? ?
Наряду с (27) рассмотрим процесс s s
?
?t,x(s) ? x? ?? d? ? ?? DW ( ), 0 ? t ? s ?T, (28) t t
?
?
?
18 Золотая А. В.
ISSN 1817-2237. Вісник Донецького національного університету. Сер. А: Природничі науки. - 2014. - № 2
В силу того, что W ?????W( /?2) - стандартный винеровский процесс, то можно утверждать, что меры, порожденные в пространстве C?0,T? процессом ?t,x(s) и процессом ????2,x/? ?s/?2?, будут
?
?
?
?
/ t совпадать, а поэтому справедливо [10, стр. 167] представление решения задачи (1) в виде u? (t,x) ? M????t/?2,x/? (T /?2)?? M t f ?s,??t/?2,x/? ?s/?2 ??ds . (29) Теорема 2. Пусть выполнены условия
T
?
?
? ? ? ?
? ? ? ?
? x?????x??? ? 0, xlim??exp? 2? ????u?du?dz ? ??, ??x? ? K ? ??, ??x????y? ? K x ? y , ? ?x?? ? ?y? ? K x ? y , 2
0 0 x z
K
? ?
? ?
? ?
? ? lim
?? x????2 ?x?? ?2 ? 0, 0? ?0 ? ?2 ?x?? K2 ? ?? и к тому же условие lim f (t,x)? f (t, y) ? L x? y , ?(x)??(y) ? L x ? y , (30) тогда справедлива оценка u? (t,x)?u(t,x) ? ?? C?KT ? 2K T ?? ? C?KT ? 2K T ??L?1?T?, (31) где u?t,x? решение задачи
Заключение. Усредненное уравнение является значительно более простым, его решение можно выписать в явном виде, поэтому вопросы о точности аппроксимации решения исходной задачи решением усредненной, весьма актуальны как с теоретической, так и с практической точек зрения. Применение чисто вероятностных методов для обоснования метода усреднения, нахождения решения усредненного уравнения и оценке скорости сближения представляют как теоретический, так и практический интерес.
Список литературы
1. Бондарев Б. В. Оценка скорости сходимости в обратной задаче Коши с быстро осциллирующими периодическими коэффициентами / Б. В. Бондарев, С. М. Козырь // Труды Института прикладной математики и механики НАН Украины. - 2008. - Т. 17. - С. 15-25.
2. Bensoussan A. Asymptotic analysis for periodic structures / A. Bensoussan, J.-L. Lions, G. Papanicolau. - North-Holland Publishing Company, 1978. - 700 p.
3. Бахвалов Н. С. Осреднение процессов в периодических средах. Математические задачи механики композиционных материалов / Н. С. Бахвалов, Г. П. Панасенко. - М: Наука, 1984. - 352 с.
4. Усреднение и G-сходимость дифференциальных операторов / В. В. Жиков, С. М. Козлов, О. А. Олейник, Ха Тьен Нгоан // Успехи математических наук. - 1979 - Т. 34, вып. 5 - С. 65-33.
5. Махно С. Я. Стохастические уравнения. Предельные теоремы / С. Я. Махно. - К.: Наукова думка, 2012. - 432 с. 6. Фрейдлин М. И. Задача Дирихле для уравнения с периодическими коэффициентами, зависящими от малого параметра / М. И. Фрейдлин // Теория вероятностей и ее применения. - 1964. - Т. 9, № 1. - С. 133-139.
7. Хасьминский Р. З. О принципе усреднения для параболических и эллиптических дифференциальных уравнений и марковских процессов с малой диффузией / Р.З. Хасьминский // Теория вероятности и ее применения. - 1963. - Т. 8. - С. 3-25.
8. Золотая А. В. Оценка неизвестного параметра в системах со слабым сигналом / А. В. Золотая // Прикладна статистика. Актуарна та фінансова математика. - 2014. - № 1. - С 80-89.
9. Гихман И. И. Стохастические дифференциальные уравнения / И. И. Гихман, А. В. Скороход. - К.: Наукова думка, 1968. - 554 с.
10. Скороход А. В. Марковские процессы и вероятностные приложения в анализе / А. В. Скороход // Итоги науки и техники том. Современные проблемы математики. Фундаментальные направления ВИНИТИ. - 1989. - Т. 43. - С. 147-188.
Поступила в редакцию 28.05.2014 г.
TRIALE
Розглянута зворотна задача Коші для параболічного рівняння з коефіцієнтами, залежними від малого параметра сингулярним чином. Використовуючи ймовірнісне представлення рішення рівняння, знайдена оцінка швидкості збіжності рішення початкової задачі до рішення відповідної усередненої задачі.
Ключові слова: зворотна задача Коші, щільність мір, швидкість зближення.
SUMMARY
We consider the inverse Cauchy problem for a parabolic equation with coefficients depending on a small parameter singular manner. Using a probabilistic representation of solutions of the equation, we found an estimate for the convergence rate of the original problem to the solution of the corresponding homogenized problem.
Keywords: inverse Cauchy problem, the density measures, the rate of convergence.
20 Золотая А. В.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
