Оценка показателей надёжности уникальных и малосерийных объектов - Лекция

Оценка показателей надежности по результатам наблюдения за эксплуатацией объектов, для которых измеряется наработка до отказа (между отказами).

План

1. Оценка показателей надежности по результатам наблюдения за эксплуатацией объектов, для которых измеряется наработка до отказа (между отказами)

Оценки законов распределения, функций плотности распределения, интенсивности отказов, показателей безотказности, интегральной интенсивности, вычисленные и построенные по статистическим данным, полученным по различным планам, указанным в табл. 1, называют непараметрическими.

Статистические данные, полученные по плану , представляют собой так называемые полные выборки. Это означает, что все числа в такой статистической выборке имеют одинаковый смысл наработок до отказа. При использовании других планов наблюдения такие выборки, как правило, получить не удается.

Методы оценки показателей надежности по полным выборкам хорошо разработаны. Статистический анализ удобно вести по упорядоченной в порядке возрастания совокупности наработок t(1)? t(2) ? t(3) ?…? t(N), которую называют вариационным рядом. Упорядоченные наработки t(1), t(2) ,t(3) ,…, t(N) называют порядковыми статистиками. Каждой порядковой статистике присваивают номер в вариационном ряду, который называют рангом. Так, например, у порядковой статистики t(k) ранг k.

При наличии полученной по результатам эксплуатации выборки реализаций наработок времени безотказной работы t(1), t(2) ,t(3) ,…, t(N) можно построить эмпирические зависимости основных показателей безотказности и затем известными в статистике методами проверить гипотезу о соответствии этих показателей теоретическому закону распределения случайных величин.

Эмпирические оценки получают следующим образом. Вся шкала наработок разбивается на k интервалов, для чего можно использовать формулу k = 1 3.3 lg N , (1) где N - количество объектов.

Затем для каждого из k интервалов определяется число объектов, исправных к началу этого j -го интервала

Nи(tj) = N - Nи(t <tj) - Not j, (2) где Nи(t <tj) - число объектов в выборке, не наработавших еще времени tj и продолжающих нормально эксплуатироваться ;

Not j - число объектов, отказавших до достижения величины наработки, равной tj.

На основании этих данных можно определить значение интенсивности отказов для каждого интервала наработок

, (3) где - число отказавших объектов в интервале наработки .

Вычисление удобно вести в таблице, пример которой показан ниже Таблица 1 Таблица для вычисления интенсивности отказов

Интервалы наработки … …

Число объектов , отказавших в интервале … …

Число объектов, исправных к началу j-го интервала наработки NИ(tj) NИ(t1)=N NИ(t2) … NИ(tj) … NИ(tk)

Интенсивность отказов в j-м интервале … …

Табл. 1 содержит достаточно информации для определения статистических оценок плотности распределения (частости отказов) и вероятности безотказной работы в каждом интервале

; . (4)

Расчет по формулам (3), (4) будет тем точнее, чем меньше размер интервалов Dtj , которые назначают примерно одинаковыми. При выборе интервалов, кроме формального определения их количества, следует учитывать, что расчет по изложенной методике возможен только в том случае, если в каждом интервале будет не менее одного отказа объекта. Иногда для получения результатов приходится назначать неравномерные интервалы наработок.

По таблицам с результатами расчетов поинтервальных значений характеристик надежности строятся ступенчатые графики эмпирических зависимостей этих характеристик от наработки. Такие зависимости для частостей появления случайных величин в определенном интервале называют гистограммами (см. рис.1).

В общем случае частости подсчитывается путем деления частоты на объем выборки.

Рис. 1. Гистограмма нормального распределения наработки до отказа (Т=1000 час, ST =300 час.)

Обычно графики статистических зависимостей сглаживаются для получения плавных кривых, причем в процессе сглаживания применяются те или иные приемы, имеющие цель уменьшить влияние грубых погрешностей случайного характера, связанных с объемом и достоверностью статистического материала. В современных математических пакетах программ для ПК имеется множество различных сглаживающих процедур.

Во многих практически важных случаях анализ изменения надежности по наработке целесообразно делать непосредственно по полученным эмпирическим закономерностям, не пытаясь подбирать для их описания теоретические распределения.

Подбирать теоретическое распределение случайных величин все же приходится для получения полной картины изменения надежности, так как приближенный метод расчета не позволяет оценить величину получаемой погрешности и, самое главное, не дает возможности прогнозировать надежность объекта за пределами рассматриваемого периода наблюдения. Если такое соответствие (или, как принято говорить, согласие) эмпирических и теоретических распределений доказано методами статистики, то дальнейшее исследование надежности проводят только по параметрам этого теоретического закона. Результаты анализа на основе хорошо изученного теоретического закона обладают значительной достоверностью.

Часто в распоряжении исследователя имеется ограниченный статистический материал, который позволяет получить выборочные оценки параметров распределения. Из математической статистики известно, что при достаточно большом объеме выборки выборочные характеристики стремятся к генеральным, отражающим свойства всей генеральной совокупности.

При обработке данных об отказах объектов в эксплуатации приходится решать два важных в методическом плане вопроса: насколько выборка статистически однородна и насколько она представительна (т.е. насколько точно отражает свойства генеральной совокупности).

Первый вопрос часто связан с условиями эксплуатации однотипных объектов, так как факторы внешней среды могут оказывать значительное влияние на показатели надежности. Всегда важно установить, можно ли объединять наработки до отказов объектов, введенных в действие в различные сроки и эксплуатирующихся в различных климатических зонах. Решение этого вопроса выполняется методами проверки статистических гипотез.

При проверке статистической гипотезы исходят из предположения о том, что исследуемая случайная величина (наработка до отказа) имеет выбранный закон распределения с доверительной вероятностью, которой задаются в соответствии с рекомендацией ГОСТ. Величину называют уровнем значимости. При отсутствии расхождения между статистическим и теоретическим законами справедливы следующие равенства

P(W*> W); ? = P(W* ? W) , (5) где W критическое (наибольшее допустимое) значение критерия;

W*- статистическое (вычисленное) значение критерия.

В случае если W*> Wto расхождение между экспериментальными данными и теоретическим законом получилось больше допустимого. Считается, что причина в неверном выборе теоретического закона. В данном случае гипотеза о виде закона отвергается. При этом вероятность ошибки (ошибки первого рода) равна (малая величина).

В случае если W*<= W , нет оснований отвергать гипотезу о том, что случайная величина подчиняется предполагаемому закону. Но одновременно нет оснований утверждать, что случайная величина подчиняется именно этому закону.

Существует много частных и общих критериев согласия статистического закона распределения случайной величины и теоретического закона. Во всех критериях согласия используется статистический критерий, который является неотрицательной величиной. Этот критерий сам является случайной величиной, распределенной по некоторому закону. Обычно закон распределения статистического критерия хорошо изучен, а его значения табулированы.

Наиболее часто для проверки статистических гипотез используется критерий согласия Пирсона.

На основе вариационного ряда наработок объектов до отказа рассчитывают параметры гистограммы частоты отказов, что позволяет вычислить критерий c2 (критерий «Хи-квадрат» Пирсона)

, (6) где li - количество отказов в i-й группе наблюдений;

Mi - математическое ожидание числа отказов в i-й группе наблюдений при принятой гипотезе о виде теоретического закона распределения (выравнивающее количество отказов); k - количество групп наблюдения.

В математической статистике показывается, что распределение величины, вычисленной по формуле (4), приближается при большом числе данных к распределению хи-квадрат с числом степеней свободы r = k - s - 1, где s - число независимо наложенных связей или условий (например, число оцениваемых параметров).

Для распределения c2 составлены специальные таблицы, а в соответствующих математических пакетах для ПК имеются стандартные процедуры вычисления всех параметров этого распределения.

Процедура использования критерия согласия c2 обычно такова. По формуле (5) оценивается мера расхождения между статистическими данными и оценкой их теоретического значения. Затем определяется число степеней свободы r и с помощью таблиц квантилей распределения c2 находится вероятность того, что величина, имеющая c2 распределение со степенями свободы r, превзойдет подсчитанное по (5) значение. Когда эта вероятность g1 мала, проверяемая гипотеза отбрасывается как неправдоподобная.

Если обозначить через табличное значение квантили распределения c2 со степенями свободы r, то в случае можно с вероятностью не менее g1 утверждать, что статистическая гипотеза может быть принята.

Рассмотрим на примере методику проверки согласия статистических данных с теоретическим законом распределения. Для этого воспользуемся выборкой (см. табл.2), на основе которой построена гистограмма на рис.2.

Выборка отказов N=100 объектов по интервалам наблюдения

Таблица 2

Номер интервала 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Левая граница интервала, час 221 385 549 713 877 1041 1205 1369 1533

Число отказов в интервале 2 8 13 16 24 19 10 8 0

Рис.2. Гистограмма, построенная по данным табл. 2

Для значений наработок до отказа согласно табл.2. можно получить оценки математического ожидания (среднее значение) и среднеквадратического отклонения

, . (7)

Если разделить статистическую оценку среднеквадратического отклонения на Т*, то получим коэффициент вариации n*= s*/T* = 0.306 .

Гистограмма и вычисленные параметры распределения наработки до отказа определяют статистический закон надежности, который в некоторой степени отражает реальную оценку надежности объекта, но обладает существенными недостатками. Во-первых, неизвестна степень достоверности этого статистического закона, параметры которого являются функциями объема выборки. Во-вторых, отсутствует аналитическая форма представления вероятностного закона, что делает невозможным решать многие задачи оценки и прогнозирования показателей надежности. Для выявления теоретического закона надежности разработана определенная последовательность вычислений, которая называется процедурой статистической проверкой гипотез.

Первым шагом этой процедуры является принятие гипотезы о виде закона распределения случайной величины. Так, например, для рассматриваемого примера по величине коэффициента вариации (0.1 ? n*? 1.0) можно выдвинуть гипотезу о нормальном распределении случайных величин в исходной выборке. К этому же заключению можно прийти, анализируя внешний вид гистограммы на рис.2. Часто гипотезу о предполагаемом законе распределения выдвигают на основе близости по внешнему виду графика статистической плотности наработок до отказа (гистограммы) одному из известных законов распределения. Симметричный характер размещения количества отказов относительно центра свидетельствует в пользу нормального закона.

В общем случае только по виду гистограммы или по значению коэффициента вариации трудно выдвинуть правдоподобную гипотезу о законе надежности. Часто гистограммы различных законов похожи между собой. Иногда рекомендуют при симметричной гистограмме и коэффициенте проверять, прежде всего, гипотезу нормального закона, и если она не подтвердится, то проверять гипотезу закона Вейбулла.

При несимметричной гистограмме и коэффициенте вариации n* ?1.0 принимают гипотезу экспоненциального закона. В случае, когда гистограмма явно несимметрична, а коэффициент вариации отличается от единицы, рекомендуется проверить гипотезу распределения Вейбулла. Еще раз отметим, что двухпараметрические законы и, особенно закон Вейбулла, обладают большими аппроксимирующими возможностями. Это означает, что путем корректировки параметров этих законов часто удается подобрать непротиворечивую гипотезу о законе надежности.

Приняв в приведенном выше примере гипотезу нормального закона, найдем в каждом выделенном интервале математическое ожидание соответствующее этому закону (см. табл.3). Полученные значения количества отказов называются выравнивающими численностями. Расчет производится по формуле lj =pj?N , (8) где pj= F(tj) - F(tj-1) вероятность появления отказов в j-м интервале или иначе выравнивающая вероятность;

F(tj),F(tj-1) - функции распределения нормального закона на левых границах j и j-1 интервалов.

Значения функций распределения F(tj),F(tj-1) находятся из таблиц математической статистики.

Если закон распределения случайной величины подобран правильно, то статистические численности отказов и выравнивающие численности получатся близкими, т.е. соответствующие строчки в табл.2. и 3. будут примерно равными. Однако близость указанных величин, как отмечалось выше, следует проверять по статистическим критериям.

Таблица 3 Выравнивающие численности отказов в интервалах наблюдения

Номер интервала 1 2 3 4 5 6 7 8 9

Математическое ожидание числа отказов для нормального закона lj , при M=958.3; s=284.8 1 6 12 20 23 20 12 6 0

С использованием данных табл.1 и 2 можно вычислить по формуле (5) значение критерия согласия хи-квадрат Пирсона, который в данном случае равен c2 = 3.643.По таблице квантилей c2 - распределения с доверительной вероятностью g = 0.95 при r = 9 - 2 - 1 = 6 квантиль равен 12.592. Число независимых параметров s принято в данном случае равным 2, так как нормальный закон характеризуется двумя параметрами: математическим ожиданием и среднеквадратическим ожиданием. Сравнивая расчетное и табличное значения критерия хи-квадрат Пирсона, видим, что c2 ? . Это позволяет утверждать, что различие между исследуемой выборкой и теоретической моделью в виде нормального закона распределения статистически незначимо. Следовательно, гипотезу о нормальном законе распределения полученной по результатам наблюдения выборки наработок до отказа можно считать доказанной. Более подробно о процедурах статистического оценивания и проверки согласия по различным критериям сказано в многочисленной литературе по математической статистике.

При проверке гипотезы экспоненциального закона вероятность наличия отказов в пределах определенного интервала наблюдения находят согласно зависимости

, (9) где Dtj - j -й интервал наработок (наблюдения), j =1,…,k;

k - количество интервалов наблюдения.

В случае проверки гипотеза о распределении Вейбулла необходим дополнительный этап нахождения параметров масштаба и формы этого закона. Оценка параметров производится следующим образом. Сначала определяется параметр формы b: при n*?1.0 b =0.96707224 16.24125?exp(0.0558258 - 6.1325054?n*), (8) а при n* > 1.0 по уравнению b =0.2405184 0.7908285?exp(0.636202 - 0.7747214?n*). (9) С помощью этого параметра находится коэффициент

, (10) где - гамма-функция, определяемая по таблицам математической статистики или с помощью математических пакетов для персональных компьютеров.

Параметр масштаба a рассчитывают по формуле

(11)

Вычисленные параметры позволяют найти плотность распределения Вейбулла

, (12) и вероятность наличия отказов в определенном интервале наработок

, (13) где Dtj = tj 1 - tj - интервал наблюдения, j = 1,…,k;

k - количество интервалов.

Число отказов в рассматриваемом интервале определяется умножением объема выборки N на вероятность (13)

. (14)

Распределение Вейбулла обладает большой гибкостью, что объясняет его широкое применение для описания процессов приработки технических объектов (b1).

Опыт анализа безотказности технических объектов различного назначения показывает, что расширять набор проверяемых гипотез больше указанных выше трех обычно нет необходимости. Это связано с тем, что двухпараметрические законы распределения и особенно закон Вейбулла обладают большими аппроксимационными возможностями и позволяют отобразить практически любую статистику путем подбора соответствующих параметров формы и масштаба. Так, например, при параметре формы b равном единице в распределении Вейбулла последний превращается в экспоненциальный закон, а при некотором промежуточном значении b большем единицы закон Вейбулла близок к нормальному.

Заключительной операцией после проверки и подтверждения согласия межу эмпирическими данными и выдвинутой гипотезой о теоретическом законе распределения является уточнение параметров полученного закона. Для этого имеется ряд методов, например, метод максимального правдоподобия. В результате уточнения статистические оценки параметров распределения (в частности, для нормального закона - это математическое ожидание и среднеквадратическое отклонение) корректируются. После корректировки они будут соответствовать параметрам закона распределения для генеральной совокупности данных.

Как следует из рассмотренного примера и из смысла проведения наблюдения по плану , получение теоретического закона надежности на основе обработки эксплуатационных данных сравнительно несложно только при наличии полностью определенных выборок.

В то же время в данной задаче существует еще одна важная проблема, которая связана с объемом выборки. Многие статистические критерии работоспособны лишь при объеме выборки не менее 50. Это значительно ограничивает применение изложенного выше метода, так как на практике получить в эксплуатации полностью определенную выборку наработок до отказа объектов большого объема удается не всегда. Особенно это сложно для высоконадежных, или выпускаемых малой серией, или уникальных объектов. Поэтому приведенная выше методика получения теоретического закона надежности применяется чаще всего для оценки показателей надежности отдельных элементов сложных технических систем, например, насосов, теплообменников, гидравлической и воздушной арматуры и т.п., для которых регистрируется наработка до отказа.

Однако и среди большого множества наблюдаемых однородных элементов за период контроля могут встретиться не отказавшие ни разу устройства. Наработку таких устройств следует также учитывать при оценке надежности. Выборка, состоящая из наработок до отказа и наработок работоспособных на момент контроля элементов, называется не полностью определенной или усеченной. Для получения оценок надежности по таким выборкам применяются специальные методики, некоторые из которых будут изложены ниже.

2. Оценка показателей надежности уникальных, высоконадежных и малосерийных объектов

Уникальные объекты - это обычно изделия ответственного назначения, выпускаемые в единственном или в весьма малом числе экземпляров. Их особенностями являются: - невозможность или экономическая нецелесообразность натурных испытаний на надежность;

- невозможность подобрать прототипы (в целом или по узлам);

- важность функций, выполняемых объектом;

- большой ущерб, наносимый отказом;

- высокие требования к надежности.

Для таких объектов характерным видом отказов являются параметрические отказы, а типичные процессы, их вызывающие, связаны с коррозией, старением и износом. Основным методом получения информации об отказах уникальных объектов служит физическое моделирование и испытание моделей с последующим пересчетом показателей на натурный образец. Моделирование на математических моделях является основным способом прогнозирования надежности высоконадежных и малосерийных объектов.

Статистический материал о надежности уникальных, высоконадежных, а также малосерийных объектов по результатам наблюдения в эксплуатации обычно невелик по объему, содержит наработки до отказа (между отказами) и наработки не отказавших на момент контроля объектов. Как уже отмечалось, такую выборку называют неполной или усеченной.

Определение вида и оценка параметров закона распределения наработок до отказа (или на отказ) по усеченной выборке выполняется приближенными и точными методами. Точный метод дает возможность решать общую задачу идентификации закона распределения по случайно цензурированной выборке. Понятие «цензурированная выборка» используется в математической статистике для того, чтобы подчеркнуть особый характер вариационного ряда данных, содержащего наработки до отказа (между отказами) и наработки не отказавших на момент контроля объектов.

Если момент контроля (цензурирование справа) является случайным, то смешанная выборка называется случайно цензурированной справа. Так как моменты начала эксплуатации различных объектов могут не совпадать (цензурирование слева) и также быть случайными, то в общем случае выборка может быть одновременно случайно цензурированной слева.

Эксплуатационная информация о надежности многих объектов совпадает со структурой случайно цензурированной выборки. Действительно, сведения о работе предприятия, ведомства или отрасли за определенный период содержат наработку как отказавших, так и не отказавших объектов. Кроме того, на некоторых объектах эксплуатация была прекращена до наступления момента контроля по причине, которая не связана с их надежностью. Это может быть, например, общая сезонная профилактика или вывод объекта в резерв по причине невостребованности. Начало ввода в действие объектов за отчетный период также может быть случайным.

Если моменты окончания эксплуатации по причинам не связанным с надежностью, не совпадают, то выборка называется многократно цензурированной. При одновременном прекращении эксплуатации работоспособных объектов получается однократно цензурированная выборка.

Таким образом, всегда существуют эксплуатационные цензурирующие факторы, и выборки с многократным случайным цензурированием являются самым распространенным видом эксплуатационной информации.

Одной из простых и удобных непараметрических методик оценки показателей надежности по случайно цензурированной выборке является методика восстановления эмпирической функции распределения случайных величин. Она базируется на естественном и подтверждаемом практикой предположении о независимости случайных наработок до отказа и до цензурирования.

С использованием условия независимости случайных наработок до отказа и до цензурирования получены выражения, связывающие функции и плотности распределения наработок до отказа (безусловные функции Fot(t) и fot(t) ) и плотности распределения наработок до цензурирования Fc(t) и fc(t) с условными плотностями распределений наработок отказавших и неотказавших объектов. Условность распределений заключается в том, что при наблюдении могут быть зафиксированы только те отказы, которые произошли на объектах, не остановленных по причинам, не связанным с надежностью. Это означает, что в случайно цензурированной выборке отказов содержится всегда меньше, чем могло быть в полностью определенной выборке такого же объема. Опуская вывод, запишем конечные выражения для случая, когда объем цензурированной выборки N ? 30. Это позволяет не группировать исходные данные, а расположить их в порядке возрастания и обработать полученный вариационный ряд. Для практического использования в этом случае удобна сравнительно простая рекуррентная формула

, (15) где i - порядковый номер наработки в общем вариационном ряду наработок до отказа и до приостановки наблюдений, i = 1,2,…,N; di =1, если i - номер наработки до отказа; di = 0, если i - номер наработки до приостановки наблюдений.

FOT 0 = 0.

Формула (15) применима также и для полностью определенных выборок. В этом случае она превращается в традиционное выражение .

Для сглаживания получаемых по формуле (15) значений эмпирической функции распределения можно использовать один из известных приемов, например, метод сглаживания с помощью скользящей медианы, экспоненциальное сглаживание и другие, реализованные в современных математических пакетах для ПК.

Покажем на примере реализацию метода восстановления для случайно цензурированной выборки, показанной в табл.4.

Результаты вычисления показаны на рис.3, где слева изображена восстановленная функция распределения, а справа эта же функция после сглаживания методом наименьших квадратов по правилу к- ближайших соседей в среде Mathcad (Процедура supsmooth( vx,vy) ). Видно, что сглаживание в данном случае не очень существенно корректирует график функции. Горизонтальные участки на графике (рис.3.а)) соответствуют приостановкам работы объектов, а скачки моментам отказов.

Исходные данные и результаты восстановления функции распределения по малой случайно цензурированной выборке

Таблица 4

№ Наработка, ч Состояние di

1 150 Отказ 0,0385 1 0,0342

2 200 Отказ 0,0769 1 0,0597

3 250 Приостановка 0,0769 0 0,0834

4 300 Отказ 0,1171 1 0,1049

5 350 Приостановка 0,1171 0 0,1246

6 400 Отказ 0,1510 1 0,149

7 500 Приостановка 0,1510 0 0,1661

8 550 Приостановка 0,1510 0 0,1896

9 600 Отказ 0,2058 1 0,2153

10 700 Отказ 0,2525 1 0,2435

11 800 Отказ 0,2993 1 0,2724

12 800 Приостановка 0,2993 0 0,30

13 800 Приостановка 0,2993 0 0,3286

14 850 Отказ 0,3532 1 0,3608

15 900 Отказ 0,4071 1 0,3939

16 900 Приостановка 0,4071 0 0,4283

17 950 Отказ 0,4664 1 0,4659

18 1000 Отказ 0,5256 1 0,5051

19 1000 Приостановка 0,5256 0 0,5412

20 1050 Отказ 0,5934 1 0,5807

21 1100 Приостановка 0,5934 0 0,6203

22 1150 Отказ 0,6747 1 0,6688

23 1150 Приостановка 0,6747 0 0,7241

24 1200 Отказ 0,7832 1 0,7886

25 1200 Приостановка 0,7832 0 0,8585

26 1250 Отказ 1,0 1 0,9284

Удовлетворительные результаты дает простейшая формула сглаживания

. (16)

Восстановленную функцию распределения, полученную рассмотренным выше методом, можно использовать для анализа надежности, однако лучше ее по возможности проверить на согласие с каким - либо теоретическим законом. Для этого можно использовать, например, критерий Колмогорова6,7. Для некоторых объектов, особенно на начальном этапе их эксплуатации, бывает достаточно иметь эмпирическую функцию распределения вида, показанного на рис.4.5.

По эмпирической функции распределения можно получить статистические оценки всех показателей надежности, для чего следует использовать формулы. Эти оценки можно сравнивать с нормируемыми показателями надежности, которые указываются в нормативно-технической документации. Погрешность, получаемая при использовании статистических оценок вместо действительных показателей надежности, в границах данного метода обработки случайно цензурированных выборок, не оценивается. а) б)

Рис.3. Функции распределения наработки до отказа, полученные по случайно цензурированной выборке: а) восстановленная функция; б) восстановленная функция распределения и она же после сглаживания

Заключение

Рассмотренные методы оценки показателей надежности по результатам наблюдения в эксплуатации применимы главным образом к однотипным элементам (реже к объектам), которые эксплуатируются в примерно одинаковых условиях. Вычисленные таким образом показатели характеризуют надежность определенного множества объектов или их элементов, то есть являются по существу среднестатистическими показателями. Такие показатели трудно использовать для характеристики надежности одного конкретно взятого объекта, даже если он принадлежит данному множеству.

Более информативными являются индивидуальные оценки надежности для каждого конкретного объекта. Для вычисления индивидуальных показателей необходимы другие методики и, главное, нужны нормы для этих показателей применительно к отдельному объекту. В настоящее время пока нет нормативных документов по введению индивидуальных показателей надежности и нет соответствующих рекомендаций по способам их вычисления. частость статистический пирсон цензурированный

Список литературы

1. Шор Я.Б. Статистические методы контроля качества и надежности. - М.: Советское радио. 1962 .

2. Эренберг А. Анализ и интерпретация статистических данных/ Пер. с англ. - М.: Финансы и статистика. 1981.

3. С.А. Айвазян и др. Прикладная статистика. Основы моделирования и первичная обработка данных. Справочное издание. - М.: Финансы и статистика. 1983 .

4 ГОСТ 27.504 -84. Надежность в технике. Методы оценки показателей надежности по цензурированным выборкам/ Государственный комитет СССР по управлению качеством продукции и стандартам. - М.: 1984.

5. Прогнозирование надежности тракторов. /В.Я. Анилович и др/ Под общ. ред. В.Я. Аниловича. -М.: Машиностроение, 1986.

Размещено на .ru