Оцінки тригонометричних рядів та їх застосування в задачах теорії наближення - Автореферат

Дослідження, представлені в дисертації, присвячені знаходженню умов інтегровності кратних тригонометричних рядів, встановленню оцінок інтегралів від модулів функцій, заданих кратними тригонометричними рядами, знаходженню умов збіжності в середньому кратних тригонометричних рядів Фурє, а також одержанню умов, при виконанні яких лінійні методи підсумовування рядів Фурє будуть регулярними в просторі неперервних функцій. Однією з важливих і разом з тим складних задач теорії тригонометричних рядів є задача про знаходження умов на коефіцієнти ряду, при виконанні яких даний тригонометричний ряд буде рядом Фурє інтегровної за Лебегом (надалі інтегровної) функції. Згідно з прийнятою термінологією під терміном «інтегровність ряду» будемо розуміти «інтегровність суми ряду», а під терміном «умови інтегровності ряду» - «умови, які забезпечують інтегровність суми ряду». Одними з найбільш загальних умов на коефіцієнти одновимірних тригонометричних рядів, при виконанні яких дані ряди будуть рядами Фурє, є умови, знайдені С.О. Під терміном «поліедральна (трикутна) частинна сума» будемо розуміти суму тих гармонік ряду, що містяться в множині, яка є гомотетом деякого фіксованого поліедра (трикутника), а під словами «кратний тригонометричний ряд з поліедральними (трикутними) частинними сумами» - кратний тригонометричний ряд, сума якого, якщо вона існує, є границею поліедральних (трикутних) частинних сум.Теляковський для нуль-послідовностей , які належать множині , довів, що ряд є рядом Фурє функції , а ряд є рядом Фурє функції тоді і тільки тоді, коли . Теляковський (1973 рік) визначив множину послідовностей і довів, що у випадку, коли коефіцієнти рядів і належать множині , ряд є рядом Фурє функції , а ряд є рядом Фурє функції тоді і тільки тоді, коли має місце(4), і справедливі оцінки Фомін (1978 рік) розширив множину до множини і показав, що при ряд є рядом Фурє, а умови (2) і (4) є достатніми для того, щоб ряд був рядом Фурє інтегровної функції. Тоді ряд (5) збігається майже скрізь на до деякої функції є рядом Фурє функції і справедлива оцінка Теляковський довів, що ряд (9) з коефіцієнтами з множини збігається в тоді і тільки тоді, коли , (11) а для того, щоб ряд (10) з коефіцієнтами з множини збігався в середньому, необхідно і достатньо, щоб виконувались умови (4) і(11).Знайдено умови типу Сідона-Теляковського інтегровності кратних тригонометричних рядів, встановлені оцінки від модулів сум кратних тригонометричних рядів, коефіцієнти яких задовольняють умови типу Сідона-Теляковського, і, як наслідок, доведено, що для довільної з рядом Фурє, сума якого є границею поліедральних частинних сум, ядра Валле Пуссена порядку з індексом , де , і , обмежені. Одержано умови Боаса-Теляковського інтегровності кратних тригонометричних рядів з трикутними частинними сумами, а також оцінки від модулів сум кратних тригонометричних рядів, коефіцієнти яких задовольняють умови Боаса-Теляковського, Фоміна, Сідона-Теляковського.

2. Основний зміст дисертації

1. Знайдено умови типу Сідона-Теляковського інтегровності кратних тригонометричних рядів, встановлені оцінки від модулів сум кратних тригонометричних рядів, коефіцієнти яких задовольняють умови типу Сідона-Теляковського, і, як наслідок, доведено, що для довільної з рядом Фурє, сума якого є границею поліедральних частинних сум, ядра Валле Пуссена порядку з індексом , де , і , обмежені.

2. Одержано умови Боаса-Теляковського інтегровності кратних тригонометричних рядів з трикутними частинними сумами, а також оцінки від модулів сум кратних тригонометричних рядів, коефіцієнти яких задовольняють умови Боаса-Теляковського, Фоміна, Сідона-Теляковського.

3. Отримано необхідні умови збіжності в середньому кратних рядів Фурє і кратних рядів Тейлора функцій з простору Харді.

4. Одержано необхідні умови збіжності в середньому інтегралів Фурє.

5. Знайдено умови збіжності в середньому кратних рядів Фурє.

6. Одержано досить загальні і зручні для перевірки умови, при яких лінійні методи підсумовування рядів Фурє є регулярними в просторі неперервних функцій.

1. Задерей П.В., Пелагенко Е.Н., Иващук О.В. Об условиях типа Сидона-Теляковского интегрируемости кратных тригонометрических рядов // Укр. мат. журн. - 2008. - Т. 60, № 5. - С. 604 - 610.

2. Задерей П.В., Іващук О.В., Пелагенко О.М. Про необхідні умови збіжності в середньому кратних рядів Фурє // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Збірник праць Ін-ту математики НАН України. - К.: Ін-т математики НАН України, 2007. - Т 4, № 1. - С. 128 - 133.

3. Задерей П.В., Пелагенко О.М. Необхідні умови збіжності в середньому інтегралів Фурє сумовних функцій // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Збірник праць Ін-ту математики НАН України. - К.: Ін-т математики НАН України, 2007. - Т 4, № 1. - С. 134 - 142.

4. Пелагенко О.М. Про збіжність в середньому кратних рядів Фурє // Вісник КНУТД. - 2007. - Т. 5. - С. 44 - 47.

5. Задерей П.В., Капітоненко О.М. Необхідні умови збіжності в середньому кратних рядів Фурє і Тейлора // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Збірник праць Ін-ту математики НАН України. - К.: Ін-т математики НАН України, 2005. - Т 2, № 2. - С. 117 - 124.

6. Задерей П.В., Капітоненко О.М., Товкач Р.В. Про регулярність лінійних методів підсумовування рядів Фурє в просторі неперервних функцій // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Збірник праць Ін-ту математики НАН України. - К.: Ін-т математики НАН України, 2005. - Т 2, № 2. - С. 125 - 134.

7. Задерей П.В., Капитоненко Е.Н., Нестеренко О.Б. Необходимые условия сходимости в среднем кратных рядов Тейлора из классов Харди // Проблеми теорії наближення функцій та суміжні питання: Збірник праць Ін-ту математики НАН України. - К.: Ін-т математики НАН України, 2004. - Т 1, № 1. - С. 171 - 177.

8. Задерей П.В., Пелагенко О.М. Умови Боаса-Теляковського інтегровності кратних тригонометричних рядів // XIV Всеукраїнська наукова конференція «Сучасні проблеми прикладної математики та інформатики», присвячена 90-річчю з дня народження проф. О.М. Костовського: Матеріали конференції. - Львів, 2007. - С. 64 - 65.

9. Пелагенко О.М. Умови типу Сідона-Теляковського // Міжнародна математична конференція ім. В.Я. Скоробагатька: Тези доповідей. - Дрогобич, 2007. - С. 218.

10. Задерей П.В., Капітоненко О.М. Необхідні умови збіжності в середньому інтегралів Фурє // Міжнародна наукова конференція «Математичний аналіз і диференціальні рівняння та їх застосування»: Тези доповідей. - Ужгород, 2006. - С. 37 - 38.

11. Задерей П.В., Капитоненко Е.Н., Нестеренко О.Б. Необходимые условия сходимости в среднем кратных рядов Тейлора из классов Харди // Конференція «Функціональні методи в теорії наближень, теорії операторів, стохастичному аналізі і статистиці ІІ», присвячена памяті А.Я. Дороговцева (1935 - 2004): Тези доповідей. - Київ, 2004. - С. 46.

Размещено на .ru