Особые точки плоских кривых - Курсовая работа

Для исследования локальных свойств плоской кривой строят в некоторой точке касательную и нормаль. Касательной к плоской кривой в некоторой ее точке называется предельное положение секущей, когда две общие с кривой точки сечения, стремясь друг к другу, совпадут. Касательная определяет направление движения точки по кривой. Нормалью называется прямая, лежащая в плоскости кривой и перпендикулярная касательной в точке ее касания. При решении некоторых задач приходится проводить касательную к кривой, приводится прием построения касательной к кривой из точки, заданной вне кривой с помощью "кривой ошибок".Траектория брошенного камня, струя воды, лучи света, очертания цветов и листья растений, извилистая линия берега реки и моря и другие явления природы привлекали внимание наших предков и, наблюдаемые многократно, послужили основой для посте?енного установления понятия линии. Однако потребовался большой исторический ?ериод прежде чем люди стали сравнивать между собой формы кривых линий и отличать одну кривую от другой. Первые рисунки на стенах ?ещерного жилища, примитивные орнаменты, украшавшие домашнюю утварь, свидетельствуют о том, что люди научились уже не только отличать прямую от кривой, но и различать формы отдельных кривых и в их сочетаниях находить удовлетворение зарождающихся эстетических потребностей. Менехм определял эти кривые как сечения конуса плоскостью, ?ер?ендикулярной к его образующей. Метод координат не только создал общий, единообразный способ символического задания каждой кривой в виде соответствующего ей уравнения, он давал также неограниченную возможность беспредельно увеличивать количество изучаемых кривых, поскольку каждое произвольно записанное уравнение, связывающее между собой две ?еременные величины, представляло те?ерь, вообще говоря, новую кривую.1.Особой точкой М(х0,y0) плоской кривой F(x, y) = 0 называется такая точка, координаты которой удовлетворяют трем уравнениям При исследовании основных типов особых точек вводят обозначения Если D=0, TOM0-точка возврата первого рода рисунок 3 или второго рода рисунок 4 или точка самоприкосновения рисунок 5,или изолированная точка. Угловой коэффициент касательной к кривой в особой точке может быть найден из выражения Ск2 2Вк А=0.В случае изолированной точки касательных нет; в узловой точке - две различные касательные; в точке возврата или самоприкосновения-одна общая касательная к обеим ветвям кривой. Если кривая задана параметрическими уравнениями x= ?(t), y=? (?) и при t=t0 x"0= ?"(t)=0 и y"0=?" (y0)=0 имеет место особая точка.Пусть плоская кривая задана уравнением Рассмотрим взаимное расположение кривой Y и прямой L , проходящей через точку M . Точку M в этом случае называют особой. Точка M(x0,y0) плоской кривой Y , заданной уравнением F(x,y)=0 , называется особой, если ее координаты удовлетворяют системе уравнений: F=0, Fx=0, Fy=0 . Точка M(x0,y0) плоской кривой Y , заданной уравнением F(x,y)=0 , называется особой кратности k , если в этой точке все частные производные от многочлена F(x,y) порядка k-1 обращаются в ноль, но существует хотя бы одна производная k-го порядка, которая в ноль в данной точке не обращается.Разложим в ряд Тейлора в точке t0 функции x(t) и y(t) : (1 ) Пусть первая отличная от нуля в точке t0 производная x(t) имеет порядок n , а первая отличная от нуля в точке t0 производная y(t) имеет порядок m . В дальнейшем будем рассматривать кривые, задающиеся уравнениями x=x(t), y=y(t) , где x(t) и y(t) - многочлены от переменной t . Если у кривой Y : x=x(t), y=y(t) особая точка M(x0,y0) , где x0=x(t0), y=y(t0), не совпадает с началом координат, то необходимо сделать паралельный перенос: , y1(t) = y(t) - y(t0) т.е. рассмотреть новую кривую Y1 : x=x1(t), y=y1(t), у которой особой точкой уже будет начало координат. Разработать алгоритм нахождения "особых" точек плоских кривых заданных параметрическими уравнениями и определения видов "особых" точек.АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел математики, занимающийся изучением геометрических объектов, связанных с алгебраическими уравнениями, и их обобщениями. Простейший из таких объектов - плоская алгебраическая кривая, заданная уравнением f(x, y) = 0, где f(x, y) - многочлен от координат x и y. Алгебраическая геометрия в значительной мере занимается изучением действия таких преобразований на кривые и другие алгебраические многообразия, в частности, определением свойств, не изменяющихся при таких преобразованиях.

Содержание

Введение

1. История изучения плоских кривых

2. Особые точки плоских кривых

3. Особые точки кривых, заданных неявно

4. Особые точки кривых, заданных параметрически. Теорема для определения типа особой точки

5. Пример нахождения "особых" точек плоских кривых

Заключение

Список использованной литературы

Данная курсовая работа посвящена теме "Особые точки плоских кривых".

Наиболее распространенными являются плоские кривые линии. Для исследования локальных свойств плоской кривой строят в некоторой точке касательную и нормаль.

Касательной к плоской кривой в некоторой ее точке называется предельное положение секущей, когда две общие с кривой точки сечения, стремясь друг к другу, совпадут. Касательная определяет направление движения точки по кривой.

Нормалью называется прямая, лежащая в плоскости кривой и перпендикулярная касательной в точке ее касания.

При решении некоторых задач приходится проводить касательную к кривой, приводится прием построения касательной к кривой из точки, заданной вне кривой с помощью "кривой ошибок". Применение этого приема основано на том положении, что в искомой или заданной точке касания М длина хорды кривой равна нулю. Требуется провести через точку А касательную t к кривой случайного вида. Для этого проведем через точку А пучок прямых, пересекающих кривую. Полученные хорды делят пополам. Плавная кривая, проведенная через средние точки ("кривая ошибок"), в пересечении с заданной кривой определит искомую точку касания М.

Свойства точек кривой. Точка кривой, в которой можно провести единственную касательную, называется гладкой. Кривая, состоящая только из одних гладких точек, называется гладкой кривой. Точка кривой называется обыкновенной, если при движении точки по кривой направление ее движения и направление поворота касательной не изменяются. Точки, не отвечающие этим требованиям, называются особыми.

Актуальность темы: Одна из наиболее важных задач алгебраической геометрии - исследование пересечения двух или более алгебраических многообразий. Основной результат в этой области состоит в том, что у двух алгебраических плоских кривых, заданных уравнениями степеней m и n, не может быть более mn общих точек, если только нет общей кривой (принадлежащей им обеим).

Я выбрала именно эту тему, потому что считаю, что она требует более глубокого и досконального исследования.

Цели объекта и предмета исследования - Алгебраическая геометрия в значительной мере занимается изучением действия таких преобразований на кривые и другие алгебраические многообразия, в частности, определением свойств, не изменяющихся при таких преобразованиях.

В своем современном виде методы алгебраической геометрии применяются во многих областях математики: теории чисел, теории групп, топологии, теории дифференциальных уравнений и функциональном анализе. локальный секущий кривая касательная

Задачи: изучение геометрических объектов, связанных с алгебраическими уравнениями, и их обобщениями.

Объект исследования - алгебраическая геометрия

Предмет исследования - особые точки плоских кривых

Изучению подлежат свойства линий и их графики, топологический метод исследования кривых, имеющих наиболее сложные формы.

АЛГЕБРАИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ, раздел математики, занимающийся изучением геометрических объектов, связанных с алгебраическими уравнениями, и их обобщениями. Простейший из таких объектов - плоская алгебраическая кривая, заданная уравнением f(x, y) = 0, где f(x, y) - многочлен от координат x и y.

Одна из наиболее важных задач алгебраической геометрии - исследование пересечения двух или более алгебраических многообразий. Основной результат в этой области состоит в том, что у двух алгебраических плоских кривых, заданных уравнениями степеней m и n, не может быть более mn общих точек, если только нет общей кривой (принадлежащей им обеим).

Особая точка алгебраической плоской кривой характеризуется тем, что в ней может существовать более одной касательной. Число касательных называется кратностью точки.

Квадратичное преобразование - простейшее в общем классе бирациональных преобразований. Алгебраическая геометрия в значительной мере занимается изучением действия таких преобразований на кривые и другие алгебраические многообразия, в частности, определением свойств, не изменяющихся при таких преобразованиях. В своем современном виде методы алгебраической геометрии применяются во многих областях математики: теории чисел, теории групп, топологии, теории дифференциальных уравнений и функциональном анализе.

Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. - М.: Просвещение, 1987.,I,II ч.

Бобровская А. В. Обучение методу математического моделирования средствами курса геометрии педагогического института : Дисс. канд. пед. наук : СПБ., 1996.

Моденов П.С. Сборник задач по дифференциальной геометрии - М.: Учпедгиз, 1949.

1. Аминов Ю. А. Дифференциальная геометрия и топология кривых. - М.: Наука, 1987.

Белько И. В. и др. Сборник задач по дифференциальной геометрии. - М.: Наука, 1979.

Воробьев Е. М. Введение в систему "Математика" 1998.

Бураго Ю. Д., Залгаллер В. А. Введение в риманову геометрию. - СПБ.: Наука, 1994.

Дубровин Б. А., Новиков С. П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. Методы и приложения: В 3 т. - М.: УРСС, 2001.

Ефимов Н. В. Высшая геометрия. - М.: Наука, 1971.

Мищенко А. С., Фоменко А. Т. Курс дифференциальной геометрии и топологии. - М.: Изд-во Моск. ун-та, 1980.

Погорелов А. В. Дифференциальная геометрия. - М.: Наука, 1974.

Позняк Э. Г., Шикин Е. В. Дифференциальная геометрия: Первое знакомство. - М.: УРСС, 2003.

Рашевский П. К. Риманова геометрия и тензорный анализ. - М.: УРСС, 2003.

Розендорн Э. Р. Задачи по дифференциальной геометрии. - М.: Наука, 1971.

Размещено на .ru