Особливості поширення циліндричних хвиль в гіперпружних матеріалах з внутрішньою структурою - Автореферат

Частіше за все цікавляться зміною профіля хвилі, і така зміна описується за допомогою деякої нелінійності. У твердих тілах нелінійність враховується, головним чином, за допомогою моделей двох типів: 1. моделей, що описують гармонічні хвилі (навіть лінійні), коли дисперсійне співвідношення, що закладається в модель для цих хвиль, суттєво нелінійне; 2. класично нелінійних моделей твердого тіла, коли є нелінійними геометричні та визначальні співвідношення, і хвилі не обовязково гармонічні. В даній роботі композитний матеріал (матеріал з мікроструктурою) описується як класичною мікроструктурною теорією ефективних модулів, згідно з якою вільні (біжучі) хвилі поширюються без спотворень, так і некласичною мікроструктурною моделлю двофазної пружної суміші, для якої у випадку класичних вільних гармонічних хвиль характерне явище дисперсії, тобто, в суміші фазові швидкості цих хвиль нелінійно залежать від частоти або від довжини хвилі. Оскільки напрямок не досяг закінченого вигляду, тут вивчаються різні моделі і різні наближення, то дослідження циліндричних хвиль в матеріалах з мікроструктурою є ще недослідженим фрагментом і тому у даному підході є актуальним з точки зору розвитку теорії хвиль в матеріалах. Наукова новизна полягає у тому, що вперше розвязано задачу про розповсюдження радіальних поздовжних та крутильних циліндричних хвиль у квадратично та кубічно нелінійних пружних матеріалах, для чого було побудовано нові нелінійні хвильові рівняння і проведено їх аналіз; побудовано нові наближені аналітичні розвязки у вигляді ”гармонічних” хвиль і обґрунтовано коректність таких розвязків.У вступі розкрито сутність і стан наукової проблеми, обґрунтовано важливість і актуальність теми дисертації, викладено мету роботи та сформульовано основні положення, що виносяться на захист, практичне значення та наукову новизну результатів дисертаційної роботи. У першому розділі виконано огляд сучасного стану проблеми поширення хвиль у твердих тілах з використанням інформаційних систем Google i SCIENCEDIRECT, окреслено етапи розвитку теорії хвиль у композитних матеріалах, а також місце даної роботи серед проведених раніше досліджень і обґрунтовано вибір напрямку дослідження. Викладено основні положення з застосованих у дисертації теорії композитних матеріалів, теорії гіперпружних матеріалів, теорії нелінійних плоских хвиль в матеріалах з мікроструктурою, теорії двофазної пружної суміші. Отримані хвильові рівняння для чотирьох основних конфігурацій пружного середовища: конфігурації I, яка залежить від координат і не залежить від координати ; конфігурації II, залежної від координат і не залежної від координати , конфігурації з віссю симетрії ; конфігурації III, залежної тільки від кутової координати з віссю симетрії ; конфігурації IV, залежної тільки від координати з віссю симетрії . , та з урахуванням визначальних співвідношень , можна записати нелінійні рівняння руху через компоненти вектора переміщень, що дає можливість будувати розвязки цих рівнянь та проводити числове моделювання поширення хвиль.В дисертаційній роботі реалізовано основану на строгому підході нелінійної механіки континуума процедуру побудови нелінійних хвильових рівнянь, що описують поширення та взаємодію циліндричних гіперпружних хвиль. Для різних варіантів врахування фізичної та геометричної нелінійностей та для всіх чотирьох конфігурацій пружного середовища побудовано нелінійні хвильові рівняння через компоненти вектора переміщень, що дає можливість будувати розвязки цих рівнянь та проводити числове моделювання поширення хвиль. Для моделі Сіньйоріні гіперпружного середовища реалізовано принципову схему виведення нелінійних хвильових рівнянь, що описують поширення і взаємодію циліндричних хвиль. Для конфігурації IV, залежної тільки від координати , побудовано нелінійне хвильове рівняння через компоненти вектора переміщень в рамках кубічної нелінійності. Це дає змогу провести порівняльний аналіз поширення циліндричних хвиль при використанні двох різних моделей гіперпружного середовища - моделі Сіньйоріні та моделі Мернаґана.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ

В дисертаційній роботі реалізовано основану на строгому підході нелінійної механіки континуума процедуру побудови нелінійних хвильових рівнянь, що описують поширення та взаємодію циліндричних гіперпружних хвиль. Нелінійність вводиться метричними коефіцієнтами, тензором деформацій Коші-Гріна та потенціалом Мернагана і відповідає квадратичній нелінійності всіх основних співвідношень. Розглядаються чотири варіанти врахування фізичної та геометричної нелінійностей в хвильових рівняннях. Для різних варіантів врахування фізичної та геометричної нелінійностей та для всіх чотирьох конфігурацій пружного середовища побудовано нелінійні хвильові рівняння через компоненти вектора переміщень, що дає можливість будувати розвязки цих рівнянь та проводити числове моделювання поширення хвиль.

Для моделі Сіньйоріні гіперпружного середовища реалізовано принципову схему виведення нелінійних хвильових рівнянь, що описують поширення і взаємодію циліндричних хвиль. Для конфігурації IV, залежної тільки від координати , побудовано нелінійне хвильове рівняння через компоненти вектора переміщень в рамках кубічної нелінійності. Отримане рівняння дозволяє провести числове моделювання поширення циліндричної хвилі методами, що застосовувалися при аналізі хвиль в більш вивченій моделі Мернаґана. Це дає змогу провести порівняльний аналіз поширення циліндричних хвиль при використанні двох різних моделей гіперпружного середовища - моделі Сіньйоріні та моделі Мернаґана.

Показана процедура запису нелінійних хвильових рівнянь в циліндричних (ортогональних) координатах стосовно структурної теорії композитних матеріалів, основаної на моделі суміші двох пружних компонентів.

Методом послідовних наближень знайдено наближені розвязки нелінійних хвильових рівнянь на основі різних апроксимацій функції Ханкеля для радіальних циліндричних хвиль і проведене порівняння розвязків для квадратичної та кубічної апроксимації. Для крутильних циліндричних хвиль побудовано розвязки на основі функції Бесселя для ізотропних та трансверсально - ізотропних матеріалів.

Записано таблиці механічних сталих для волокнистих та гранульованих композитів.

Проведене компютерне моделювання поширення гіперпружних циліндричних хвиль, що включає побудову двовимірних та тривимірних графіків, що описують еволюцію радіальних та крутильних циліндричних хвиль.

На основі компютерного аналізу поширення циліндричних хвиль побудовано сценарії волюції профілів у залежності від параметрів початкової форми профіля та характерних розмірів матеріалу. Для плоскої поздовжньої хвилі основні етапи сценарію: Етап 1. Початковий профіль залишається зовні косинусоїдним, але графік нахиляється донизу під сталим кутом - максимальне додатне значення зменшується і максимальне відємне значення збільшується.

Етап 2. Вершина косинусоїди опускається і замість вершини утворюється плато, далі плато опускається ще і його середня частина опускається швидше, так що профіль з одногорбого стає двогорбим, частота повторення двогорбого профілю залишається тією ж, що і в початковому профілі. Починаючи з цього етапу, амплітуда зростає.

Етап 3. При збереженні попередньої частоти профіль формується більш чітко двогорбим зі збільшенням впадини до її дотику з віссю абсцис.

Етап 4. Впадина росте в сторону відємних значень і профіль стає схожим на косинусоїдальний з подвоєною частотою початкового профілю, тобто його другої гармоніки, але з нерівними амплітудами розмаху - відповідна впадині амплітуда дещо менша.

Етап 5. Остаточний розвиток еволюції приводить до профілю другої гармоніки - перша гармоніка перетворюється в другу.

Для циліндричної хвилі: Етап 1. Висхідна (знизу вгору) гілка графіка періодично затухаючих коливань з кожним новим циклом коливань все більше нахиляється до осі абсцис. Низхідна гілка практично незмінна.

Етап 2. Навколо точки перетину гілки, що нахиляється, утворюється ніби плато, яке надалі трансформується в синусоїду з малою і повільно зростаючою з ростом циклів амплітудою. Одночасно основна висхідна гілка стає все більше симетричною до низхідної, разом вони утворюють один новий цикл коливань, який наближається до циклу з подвійною початковою частотою.

Етап 3. Новий цикл коливань з малою амплітудою поступово збільшує амплітуду з ростом циклів до величини, порівняної з амплітудою основного нового циклу. При цьому частота малого циклу коливань також прямує до подвоєної початкової частоти.

Етап 4. Новий основний і малий цикли коливань асимптотично зближуються за частотою і амплітудою, показуючи перетворення початкової першої “гармоніки” в її другу “гармоніку” з тими зауваженнями, що обидві гармоніки не є гармоніками в класичному розумінні. Цей етап характерний зупинкою у спаданні амплітуди і поступовим її зростанням. Хвиля із затухаючої перетворюється в хвилю, яка накопичує енергію.

1. Рущицький Я.Я., Симчук Я.В. Квадратично нелінійне хвильове рівняння для циліндричних гіперпружних осесиметричних хвиль, що поширюються в радіальному напрямку // Доповіді НАН України. - 2005, №10. - С. 45-52.

2. Рущицький Я.Я., Симчук Я.В. Теоретичний та числовий аналіз квадратично нелінійних циліндричних осесиметричних хвиль, що поширюються в композитах мікро і нанорівня // Доповіді НАН України. - 2006, № 3. - С. 54-62.

3. Rushchitsky J., Cattani C., Symchuk J. Evolution of the initial profile of hyperelastic cylindrical waves in fibrous nanocomposites // Збірник праць Ін-ту математики НАН України, 2006. - 3. - № 4. - С. 63-69.

4. Рущицкий Я.Я., Симчук Я.В. О высших приближениях при анализе нелинейных цилиндрических волн в гиперупругой среде // Прикл. механика. - 2007. - 43, № 4. - С. 36-45.

5. Рущицкий Я.Я., Симчук Я.В. О моделировании цилиндрических волн в нелинейно деформируемых композитных материалах // Прикл. механика. - 2007. - 43, № 6. - С. 63-72.

6. Terletska K.V., Symchuk J.V. Application of Wavelet-Frames to Modeling Evolution of Solitary Waves in Composites.// Book of Abstracts of X International Scientific Kravchuk Conference. - Kyiv, 2004. - P. 195.

7. Terletska K.V., Symchuk J.V. Modeling of Solitary Impulses in a Composite Material Using Wavelet Analysis // Book of Abstracts of Conference Modern Problems of Mathematics and Informatics. - Lviv, 2004. - P. 126.

8. Symchuk J., Cattani C., Rushchitsky J. To Nonlinear Modelling the Cylindrical Waves in Fibrous Nanocomposites // Thesis of Conference Reports of International Conference on Dynamical System Modelling and Stability Investigation. - Kyiv, 2005. -P. 364.

9. Cattani C., Rushchitsky J., Symchuk J. Evolution of the Initial Profile of Hyperelastic Cylindrical Waves in Fibrous Nanocomposites // Book of abstracts of International Workshop on Free Boundary Flows and Related Problems of Analysis. -Kyiv, 2005. - P. 10.

10. Rushchitsky J., Cattani C., Symchuk J. To evolution of the profile of hyperelastic cylindrical waves in fibrous nanocomposites // Abstracts of GAMM 2006. Berlin, 27-31 March, 2006. - P. 374-375.

11. Симчук Я.В., Михальов І.І. Пружні вейвлети та їх застосування до задач про поширення поодиноких хвиль // XXI міжнародна наукова конференція ім. М. Кравчука. - Київ, 2006. - С. 248.

12. Rushchitsky J., Cattani C., Terletska E., Symchuk J. Elastic wavelets and their application to problems of solitary wave propagation // Rendiconti di Accademia di Messina Comput. 2007

13. Хотенко І.М., Хотенко О.О., Симчук Я.В. Кубічно нелінійні крутильні гіперпружні хвилі в ізотропних циліндрах // Thesis of Conference Reports of International Conference on Dynamical System Modelling and Stability Investigation, Kyiv, 2007. - P. 340.

14. Хотенко І.М., Хотенко О.О., Симчук Я.В. Квадратично нелінійні крутильні гіперпружні хвилі в ізотропних циліндрах // Book of abstracts of Bogolubov readings 2007 Dedicated to Yu. A. Mitropolskii on the occasion of his 90th birthday, Zhitomir, 2007. - P. 102-103.