Основы цифровой фильтрации - Курсовая работа

ОСНОВЫ ЦИФРОВОЙ ФИЛЬТРАЦИИФильтрация случайных сигналовВ одномерной дискретной линейной системе связь между входом и выходом (входной и выходной дискретными последовательностями значений сигнала - отсчетами), задается линейным оператором преобразования L: y[k?t]= L{x[k?t]}. Оператор, представленный правой частью данного уравнения, получил название цифрового фильтра (ЦФ), а выполняемая им операция - цифровой фильтрации данных (информации, сигналов).Такой фильтр называется нерекурсивным цифровым фильтром (НЦФ). Интервал суммирования по n получил название "окна" фильтра. Окно фильтра составляет N 1 отсчет, фильтр является односторонним каузальным, т.е. причинно обусловленным текущими и "прошлыми" значениями входного сигнала, и выходной сигнал не опережает входного. Техника выполнения фильтрации не отличается от техники выполнения обычной дискретной свертки двух массивов данных (рис. Процесс вычисления является основной операцией цифровой фильтрации, и называется сверткой в вещественной области массива данных x[k] с функцией (оператором) фильтра bn (массивом коэффициентов фильтра).Фильтры, которые описываются полным разностным уравнением (2), принято называть рекурсивными цифровыми фильтрами (РЦФ). В вычислении текущих выходных значений участвуют не только входные данные, но и значения выходных данных фильтрации, вычисленные в предшествующих циклах расчетов. Рекурсивные фильтры называют также фильтрами с обратной связью, положительной или отрицательной в зависимости от знака суммы коэффициентов am. По существу, полное окно рекурсивного фильтра состоит из двух составляющих: нерекурсивной части bn, ограниченной в работе текущими и "прошлыми" значениями входного сигнала (при реализации на ЭВМ возможно использование и “будущих” отсчетов сигнала) и рекурсивной части am, которая работает только с "прошлыми" значениями выходного сигнала. Реакция РЦФ на конечный входной сигнал может иметь бесконечную длительность, в отличие от реакции НЦФ, которая всегда ограничена количеством членов bk (окном фильтра).Если на вход фильтра подать единичный импульс (импульс Кронекера), расположенный в точке k = 0, то на выходе фильтра мы получим его реакцию на единичный входной сигнал, которая однозначно определяется оператором преобразования: y[k] = L[d(0)] = bn * d(0 - n) = h[k]? bn. Функция h[k], которая связывает вход и выход фильтра по реакции на единичный входной сигнал, получила название импульсного отклика фильтра (функции отклика). Если произвольный сигнал на входе фильтра представить в виде линейной комбинации взвешенных импульсов Кронекера x[k] = d0 x[k - n], то, с использованием функции отклика, сигнал на выходе фильтра можно рассматривать как суперпозицию запаздывающих импульсных реакций на входную последовательность взвешенных импульсов: y[k] = h[n] ?d0 x[k - n]) ? h[n] x[k - n]. Импульсная функция для НЦФ при известных значениях коэффициентов bn, как это следует из выражения (1), специального определения не требует: h[n] ? bn. Если выражение для системы известно в общей форме (2), определение импульсной реакции производится подстановкой в уравнение системы импульса Кронекера с координатой k = 0 при нулевых начальных условиях.Применяя Z-преобразование к обеим частям равенства (1), c учетом сдвига функций (y(k-m) o zm Y(z)), получаем: Y(z) am zm = X(z) bn zn, (9) где X(z),Y(z)-соответствующие Z-образы входного и выходного сигнала. Отсюда, полагая a0 = 1, получаем в общей форме функцию связи выхода фильтра с его входом - уравнение передаточной функции системы в Z-области: H(z) = Y(z)/X(z) = bn zn (1 am zm). При проектировании фильтров исходной, как правило, является частотная передаточная функция фильтра H(?), по которой вычисляется ее Z-образ H(z) и обратным переходом в пространство сигналов определяется алгоритм обработки данных. цифровой импульсный фильтр При подаче на вход фильтра единичного импульса Кронекера d, имеющего Z-образ d(z) = zn = 1, сигнал на выходе фильтра будет представлять собой импульсную реакцию фильтра y[k] ? h[k], при этом: H(z) = Y(z)/?(z) = Y(z) = Z{y[k]} = h[k] zk, (14) т.е. передаточная функция фильтра является Z-образом ее импульсной реакции. Если функция H(z) представлена конечным степенным полиномом, что, как правило, характерно для нерекурсивного фильтра, то обратное Z-преобразование осуществляется элементарно идентификацией коэффициентов по степеням z.Фильтр называется устойчивым, если при любых начальных условиях реакция фильтра на любое ограниченное воздействие также ограничена. Критерием устойчивости фильтра является абсолютная сходимость отсчетов его импульсного отклика: |h[n]| <?. Анализ устойчивости может быть проведен по передаточной функции. В устойчивой системе значение H(z) должно быть конечным во всех точках z-плоскости, где |z| ? 1, а, следовательно, передаточная функция не должна иметь особых точек (полюсов) на и внутри единичного круга на z-плоскости. Полюсы H(z) определяются корнями многочлена знаменателя передаточной функции (10).

Содержание

1. Общие понятия

2. Нерекурсивные фильтры

3. Рекурсивные фильтры

4. Импульсная реакция фильтра

5. Передаточные функции фильтров

6. Устойчивость фильтров