Измерения физических величин. Определение характеристик движения тела вокруг неподвижной оси. Ознакомление с устройством и работой электронного осциллографа. Наблюдение фигур Лиссажу. Исследование явления интерференции света, его практическое применение.
САНКТ-ПЕТЕРБУРГСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ ГОСУДАРСТВЕННОЙ ПРОТИВОПОЖАРНОЙ СЛУЖБЫ Методические рекомендации по изучению дисциплины специальность - «Пожарная безопасность» (Санкт-Петербургский университет ГПС МЧС России) Чумаченко Физика: методические рекомендации по изучению дисциплины по специальности - «Пожарная безопасность» / Под общей ред. Методические рекомендации по изучению курса для слушателей-заочников разработана в соответствии с Государственным образовательным стандартом высшего профессионального образования «Требования к обязательному минимуму содержания и уровню подготовки инженера» по специальности - «Пожарная безопасность», квалификационных характеристик инженера пожарной безопасности и опыта преподавания аналогичных дисциплин в вузах России.В процессе освоения учебной дисциплины «Физика» обучающийся формирует и демонстрирует общекультурные компетенции: · выявлять естественнонаучную сущность проблем, возникающих в ходе профессиональной деятельности, привлекать для их решения соответствующий физико-математический аппарат (ОК-4); · способность ориентироваться в причинно-следственном поле опасностей среды обитания, знанием свойств опасностей, содержания мероприятий и способов защиты аварийно-химических опасных веществ (ПК-10); Дисциплина «Физика» относится к базовой части математического и естественнонаучного цикла ООП по направлению 280705.65 «Пожарная безопасность» (квалификация (степень) - специалист) (С2). Изучение учебной дисциплины «Физика» опирается на учебные курсы дисциплин гуманитарного, социального и экономического цикла (С1) и на учебный В результате освоения учебной дисциплины «Физика» обучающийся должен демонстрировать способность и готовность в учебно-практической деятельности: · научно анализировать проблемы, процессы и явления в области физики, умение использовать на практике базовые знания и методы физических исследований;для заочной формы обучения (6 лет) Общая трудоемкость дисциплины в часах Общая трудоемкость дисциплины в зачетных единицах Аудиторные занятия (всего) Аудиторные занятия учебного курса физики для заочной формы обучения (6 лет) составляют 30 часов, из них лекции - 10 часов (33%), лабораторно-практические занятия - 20 часов (67%). В ходе изучения учебной дисциплины «Физика» обучающийся по заочной форме обучения (6 лет) выполняет 3 контрольных работы: одна-на первом курсе, две - на втором.(заочная форма обучения - 6 лет) 1 курс Количество часов по видам занятийВ.матем. т.4 - 6 Раздел 2 Электричество 52 2 4 В.матем. т.4, 5. В.матем. т.4, 5 Химия т.9, 10 В.матем. т.4, 5. В.матем. т.4, 5 2 курс Раздел 4 Колебания и волны 66 2 4Материальная точка, абсолютно твердое тело, сплошная среда. Число степеней свободы абсолютно твердого тела. Третий закон Ньютона и закон сохранения импульса. Механика (2.2,2.3). Самостоятельная работа. Механика (3.2). Самостоятельная работа.Колебания Амплитуда, круговая частота, фаза гармонического осциллятора. Амплитуда и фаза при вынужденных колебаниях. Колебания и волны (11.2, 11.3). Колебания и волны (12.2). Самостоятельная работа.Лабораторно-практическое занятие. Волновая оптика (15.2). Самостоятельная работа. Учебно-методическое обеспечение учебной дисциплины «Физика» а) Основная литература: 1. Физика для инженеров пожарной безопасности. Физика для инженеров пожарной безопасности.
План
СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Основным источником информации являются измерения. Только они дают базу знаний, на основе которой можно принять правильное решение по эксплуатации сложной современной техники, найти оптимальный комплекс мер по профилактике и тушению пожаров.
Результаты измерений, полученные или представленные с нарушением норм достоверности и точности, являются незаконными и непригодными для дальнейшего использования, поскольку использование их может привести к опасным и трагическим последствиям. Работникам пожарной охраны, которым при выполнении служебных обязанностей приходится выполнять измерения, необходимо строго соблюдать основные правила обеспечения достоверности и точности. Никакое измерение выполнить абсолютно точно нельзя, поэтому одной из основных задач при проведении эксперимента является оценка ошибок. Оценка погрешностей измерения и поиск возможности их уменьшения являются необходимыми этапами получения надежных результатов измерений.
При проведении измерения обычно получают конкретные сведения о той или иной физической величине. Физическая величина - одно из свойств физического объекта (физической системы, явления или процесса), общее в качественном отношении для многих физических объектов, но в количественном отношении индивидуальное для каждого их них.
Примерами таких свойств могут быть: масса любого материального тела, его габаритные размеры (длина, ширина и высота), скорость и ускорение движения, а также многие другие характеристики.
Как видно из определения, в нем присутствует указание на тот факт, что количество этих свойств индивидуальное, без указания их приближенных или конкретных величин. Этот термин носит, скорее всего, философский характер и отражает предмет разговора или обсуждения.
Для выполнения практических измерений этого недостаточно. Поэтому дополнительно применяют понятия, которые отражают количественную сторону свойств объектов. К ним относят размер физической величины и значение физической величины.
2. Погрешности прямых измерений физических величин Изложение вопроса уместно начать с определения истинного и действительного значений физической величины и погрешности измерений, рассмотренных нами в первой главе.
20
Истинное значение физической величины - такое значение физической величины, которое идеальным образом характеризует в качественном и количественном отношениях соответствующую физическую величину. Ее обычно обозначают символом Хист.
Действитtrialе (или измеренное) значение физической величины - значение физической величины, полученное экспериментальным путем и настолько близкое к истинному значению, что в поставленной измерительной задаче может быть использовано вместо него. Ее принято обозначать символом Хизм.
Погрешность - отклонение результатов измерения от истинного значения измеряемой величины - обозначают символом DX (иногда
DХИЗМ). Следовательно, DX= Хист-Хизм.
Величина погрешности может быть выражена в тех же единицах измерения, что Хист и Хизм: [DX] = [Хист] = [Хизм].
В этом случае ее называют абсолютной погрешностью. Абсолютную погрешность, отнесенную к истинному или измеренному значению величины, называют относительной погрешностью и обозначают символом d. Выражают в долях от единицы или в процентах. Например: d = DX либо d = DX ?100%.
Х
Х изм изм
Погрешность - сложная величина, в общем виде она содержит следующие составляющие: методическую погрешность, возникающую изза несовершенства метода измерения, как правило, изза ограниченной точности формул и т. д.;
погрешности считывания и квантования, из них первые возникают изза субъективных особенностей оператора, выполняющего измерения, а вторые - в цифровых приборах и дискретных преобразователях;
погрешности обработки данных наблюдений (измерений). Некоторые из перечисленных погрешностей возникают случайно, например, при считывании показаний приборов, другие повторяются систематически (методическая и инструментальная погрешности) или изменяются по определенному закону. Следовательно, погрешности могут быть случайными и систематическими.
Наконец, следует выделить промахи - грубые ошибки, вызываемые неправильными действиями оператора или внезапным отказом прибора. В результат измерения их не засчитывают.
Структура погрешности измерения может быть разной, но наиболее распространенной является та, при которой полная (или суммарная)
21 погрешность DX одновременно учитывает случайную погрешность измерения DХСЛ и систематическую (приборную) погрешность измерения
DХСИСТ.
Вызвано это тем, что они наиболее значимы по величине, а другие погрешности не существенны и ими пренебрегают.
Систематическая погрешность измерения DХСИСТ состоит, в основном, из приборной погрешности и она заранее известна (приведена в паспорте на прибор или указана на самом приборе).
Случайная погрешность измерения DХСЛ заранее не может быть определена, о появлении и величине ее можно утверждать лишь с некоторой степенью уверенности, называемой доверительной вероятностью Р.
При выполнении конкретных расчетов букву Х заменяют на символ, присвоенный физической величине. Например, если измеряют диаметр, то вместо Х пишут d или D. При измерении длины Х заменяют на L или l и т. д.
Косвенные измерения могут быть осуществлены, если некоторая часть физических величин (на которых они базируются) все-таки будет определена методом прямых измерений. По этой причине, в первую очередь, будет рассмотрен метод оценки погрешности прямых измерений.
В главе поставлены и раскрыты два вопроса: 1. Сведения из теории вероятностей о характере распределения измеряемых величин.
2. Алгоритм оценки погрешностей прямых измерений физических величин.
3. Сведения из теории вероятностей о характере распределения измеряемых величин
Вероятность какого-либо события приблизительно равна частоте f(x) появления его и может быть рассчитана по зависимости: f (x)= n , m где m - количество появлений наблюдаемого события; п - число проведенных опытов.
Например, если из 100 выстрелов в цель попало 37 пуль, то f(x) = 100= 0,37.
37
Количество опытов п (в приведенном примере - количество выполненных выстрелов), при которых наблюдают событие m (попадание пули в мишень), должно быть достаточно большим. Только в этом случае можно будет судить о стабильности свойств этого и любого другого изучаемого явления, носящего вероятностный характер.
22
На основании этого допущения предполагают, что и при выполнении одного единственного выстрела численное значение f(x) = 0,37 сохранится.
Рассмотрим случай нескольких измерений n какой-либо физической величины Х, например, массы. При этом окажется, что ряд результатов совпадут друг с другом или будут очень близкими.
Если величину частоты f(x) появления некоторой величины Хі обозначить отрезком по оси ординат, то график можно представить следующим образом (рис. 1), где X - центр распределения.
Рис. 1. Распределение частоты f(x) появления отдельных событий Хі
При большом числе наблюдений (n®?) весь диапазон значений Х можно разбить на бесконечно малые интервалы dx и тогда данные рис. 1 предстанут в виде некоторой плавной кривой (рис. 2). Ее называют плотностью вероятности или нормальным законом распределения (распределение Гаусса) некоторой случайной величины Х.
Рис. 2. Распределение нормальное случайной величины Х
23
Разницу предельных значений (Xmax - Xmin = RX ) называют размахом результатов измерений. Рассеяние обусловлено обычно проявлением случайных причин при измерении и носит вероятностный характер.
Разницу значений отклонений от среднего (X - Xmax) и (X - Xmin ), называют рассеянием случайной величины Х. Для характеристики рассеяния служит основное отклонение, обозначаемое буквой s и рассчитываемое по уравнению: i=n a
2
-
(Xi X) s = i n .
Из него видно, чем больше число измерений n, тем рассеяние меньше, и, следовательно, результат более точный.
Аналитически нормальное распределение описывают зависимостью: f (X) = s 1 p expe- (X - Х)2 u. e e e e u u u u
2 s
2
Графическая интерпретация сущности этой зависимости представлена на рис. 3. Площадь под нормальной кривой, заключенная внутри промежутка от среднего значения до соответствующего количества основного отклонения (± s , ± 2s , ± 3s , ± 4s ), численно равна вероятности Р того факта, что действительное значение отклонения от среднего значения будет содержаться внутри указанных интервалов.
Рис. 3. Вероятность попадания измерений в заданный доверительный интервал
24
Теория вероятностей и накопленный опыт измерений показывают, что максимальные значения разницы (Xmax - X) и (Xmin - X) численно не превышают четырех основных отклонений 4s .
В этом случае численное значение вероятности Р того факта, что случайная величина Х будет находиться в заданном интервале, равно: P(-s < X - X < s) = 0,683;
P(-2s < X - X < 2s) = 0,954; P(-3s < X - X < 3s) = 0,997; P(-4s < X - X < 4s) =1,000.
Принято вероятность Р называть доверительной вероятностью, что означает гарантию попадания отдельного результата измерения в заданный интервал.
Из приведенных формул видно, что значения случайной величины Хі , отклоняющиеся в обе стороны от среднего значения X не более, чем на величину основного отклонения s, могут встретиться в 683 случаях на 1000 измерений. Аналогично для 2s - это составит 954 случая, для 3s - 997 случаев.
Эти данные показывают, что хотя значения случайной величины могут изменяться неограниченно, в действительности (рис. 2.3) они укладываются в утроенное значение основного отклонения (± 3s ). Выполнение большого количества измерений связано со значительными трудозатратами и поэтому неэкономично. В связи с этим интерес представляет получение достаточно достоверных, гарантированных с заданной доверительной вероятностью Р, и точных результатов при минимуме экспериментального материала.
Эту задачу решают на основе распределения Стьюдента. Сущность его состоит в том, что при переходе от n®? к достаточно малому их числу n = 2, …, 10, доля больших погрешностей возрастает, а доля малых уменьшается.
Последнее обстоятельство хорошо видно из сравнения распределений Гаусса и Стьюдента, представленных на рис. 4.
В силу отмеченных обстоятельств на практике используют распределение Стьюдента. Хотя сразу же необходимо заметить, что при 20-25 измерениях это распределение дает почти такие же результаты, что и нормальное распределение (распределение Гаусса).
25
.
Рис. 4. Графическая интерпретация распределений Гаусса и Стьюдента
В этом случае (как комtrialцию меньшего числа проведенных опытов) вместо основного отклонения s для его оценки применяют величину средней квадратической погрешности результата измерения среднего арифметического значения SX (ранее ее называли стандартным отклонением):
SX = a(Xi - X)2 n(n-1)
В отличие от нормального распределения, где величину отклонения принимают кратной целому числу s (± s , ± 2s , ± 3s , ± 4s ), в распределении Стьюдента вместо этих чисел применяют коэффициент TP,n . Иногда его называют коэффициентом (статистикой) Стьюдента.
Нижние индексы у символа коэффициента TP,n означают, что его значение зависит от величины требуемой доверительной вероятности результатов измерения Р и количества выполняемых опытов n.
Численные значения TP,n принимают из специальных таблиц (приложение 3) в зависимости от принятых значений Р и n.
Величину доверительной вероятности принимают не менее 0,95 (ибо всякое событие, вероятность которого менее этой величины, считают мало достоверным). С другой стороны, большее ее значение (Р=0,99; 0,999 и т. д.) должно быть заранее обосновано, исходя из важности социальной или экономической значимости выполняемых измерений.
Некоторое представление об этой операции можно получить из следующей таблицы: 26
Значения коэффициента Стьюдента
Требуемое значение доверительной вероятности Р Численные значения коэффициента Стьюдента
Тогда доверительный интервал, соответствующий принятой величине доверительной вероятности, будет равен: DXСЛ =TP,n S.
Таким образом, коэффициент Стьюдента TP,n увеличивает величину случайной ошибки, возникающей за счет уменьшения числа измерений.
В этом случае считают, что истинное значение измеряемой величины (без учета систематической погрешности технического средства измерения) будет находиться в интервале: X ± DXСЛ.
С учетом систематической погрешности технического средства измерения (DX = (DXСЛ)2 (DXСИСТ)2 ) результат измерения будет следующим: X ± DX; P ? 0,95.
4. Алгоритм оценки погрешностей прямых измерений физических величин
Как ранее отмечено, погрешности прямых измерений могут быть однократными (выполняют одно измерение) или - многократными (выполняют несколько измерений).
Однократные измерения применяют в том случае, если измеряемая величина и допускаемая ее погрешность заранее известны и их определение выполнено по аттестованной методике. Это своего рода контрольные измерения. Если разница между нормированным и измеренным значениями не превышает допускаемой погрешности, то результат считают положительным и полученное опытным путем значение используют при сертификации продукции.
Наиболее сложный случай возникает, когда значения физической величины и ее погрешности заранее не известны. В этом случае приходится прибегать к многократным измерениям.
Пусть в результате многократных измерений величины Х получено п результатов наблюдений: X1, X2, K, Xi, K, Xn.
При этом приtrialо техническое средство измерения с приборной (систематической) погрешностью DХСИСТ.
27
.
Необходимо с доверительной вероятностью Р?0,95 определить измеренное значение величины Х и ее доверительный интервал.
По этим данным вычисляют среднее арифметическое значение, которое считают наилучшим приближением к истинному значению измеряемой величины: Хизм = X = X1 X2 K Xn . n
Приведенных данных достаточно для вычисления среднеквадратической погрешности результата измерений этого среднего арифметического значения:
SX = a(Xi - X)2 n(n-1)
С помощью таблицы (приложение 3) по численным значениям Р и n находят величину TP,n и вычисляют доверительный интервал отклонения случайной величины от измеренного значения: DXСЛ = tp,n SX .
Поскольку при проведении экспериментов обычно выполняют не более 5-10 измерений, то величины случайной и приборной (систематической) погрешностей близки друг к другу и обе они в равной степени определяют точность измерений. Поэтому суммарная погрешность измерения DX должна быть определена с учетом этого обстоятельства: DX = (DXСЛ)2 (DXСИСТ)2 .
Однако при вычислении DX предварительно целесообразно сравнить между собой величины случайной (DХСЛ) и систематической (приборной) DХПР погрешностей. Можно отбросить, как незначительную, ту из погрешностей, которая меньше другой в три и более раз: если DXПР > 3, то DX = DXСЛ; если DXПР >3, то DX = DXПР. сл
DX
D
X сл
Если приведенные неравенства не выполняются, то обе погрешности значимы и за суммарную погрешность принимаем: DX = DXСЛ DXПР .
2 2
Так как DXПР - максимальная погрешность прибора, то можно утверждать, что доверительный интервал в этом случае оценивается с вероятностью, по крайней мере, не меньшей, чем 0,954, если DXСЛ оценивается этой же вероятностью.
28
Полученный результат измерения обычно представляют в следующем виде: X ± DX; P ? 0,95.
Возможны и другие формы представления полученного результата, но в любом случае принято указывать не относительную, а абсолютную погрешность.
Полученные численные значения среднеарифметического результата измерения и его погрешности следует представить в соответствии с действующими правилами (стандарт СТ СЭВ 543-77), суть которых сводится к следующему: 1. Погрешность должна содержать не более двух значащих цифр. При этом значащими цифрами считают все цифры от первой слева, не равной нулю, до последней цифры, в том числе, считая нули, которыми заканчивается число. Нули, следующие из множителя 10n, во внимание не принимают.
Примеры определения количества значащих цифр в числах: 12,0 имеет 3 значащих цифры (включая нуль);
30 имеет 2 значащих цифры (включая нуль);
(120?103) имеет 3 значащих цифры (включая нуль и не считая множителя 103);
(0,514?102) имеет 3 значащих цифры (не считая нуль слева и множителя 102);
0,0056 имеет 2 значащих цифры (не считая двух нулей слева).
2. Нельзя вычислять искомую величину до пяти, шести, а иногда и более значащих цифр. Следует понимать, что эта точность иллюзорна.
Если хотя бы одна из величин, в каком-либо сложном выражении задана с точностью до двух значащих цифр (не считая нулей впереди), то нет смысла вести вычисление результата с точностью более, чем до двух значащих цифр. Иначе говоря, численное значение результата не должно содержать большего количества цифр, чем в числе, заданном с наименьшей точностью.
Следует помнить, что точность результата не является самоцелью, а зависит от практической потребности в ней (удобства производства и эксплуатации любой продукции).
3. Количество разрядов в числах результата и погрешности должно быть одинаково.
Примеры правильных и неправильных записей: 17,0± 0,2 - правильно (количество разрядов после запятой одинаковое);
17,01± 0,2 - неправильно (количество разрядов после запятой неодинаковое: результат измерения имеет точность до сотых, а погрешность до десятых);
29
17,0± 0,22- неправильно (количество разрядов после запятой неодинаковое: результат измерения имеет точность до десятых, а погрешность до сотых).
4. Следует различать записи приближенных чисел по количеству значащих цифр.
Пример: 2,4 и 2,40.
В первом случае (2,4) верны только цифры целых и десятых, т. е. возможны и другие значения истинного числа, в том числе: 2,38; 2,43.
Во втором случае (2,40) верны целые, десятые и сотые. Истинные значения могут иметь следующие значения: 2,403 и 2,398, но не 2,421 или 2,382.
5. При вычислениях неизбежны округления чисел до нужного количества значащих цифр или разрядов.
Основные правила выполняемых при этом операций сводятся к следующему: округление чисел до желаемого количества значащих цифр следует выполнять сразу, а не по этапам.
Например, необходимо число 565,46 округлить до 3-х значащих цифр. Правильным будет результат 565.
Если же округления проводить поэтапно, то получим следующее: на первом этапе 565,46 округлим до 565,5. Затем 565,5 до 566. Из полученного результата и сравнения его с первоначальным значением видно, что он оказался завышенным;
округление чисел до желаемого количества разрядов следует выполнять по правилам математики.
6. Целые числа округляют по тем же правилам, что и дробные. Например, число 12456 надо округлить до двух значащих цифр. Правильным будет результат 12?103.
5. Задачи и вопросы для самоконтроля
Дайте определения понятиям абсолютной и относительной погрешности измерений. В каких единицах они измеряются?
В каких случаях можно пренебречь систематической или случайной погрешностями при вычислении суммарной ошибки измерения?
Что понимают под количеством измерений и степенью свободы?
В чем принципиальное сходство и разница между распределениями ошибок по нормальному закону и по Стьюденту?
Что понимают под доверительной вероятностью и доверительным интервалом результата измерения?
В чем состоит алгоритм определения коэффициента Стьюдента при выполнении расчетов погрешности измерения?
Каков порядок округления результатов расчета погрешности измерений?
30
Какие рекомендуются формы представления результатов расчета погрешности измерения?
Раскройте сущность правила определения количества значащих цифр в числе.
До какого количества значащих цифр рекомендуется округлять погрешность измерений?
Порядок согласования количества разрядов в числах, соответствующих рассчитываемой величине и ее погрешности.
Сущность нормального закона и распределения Стьюдента применительно к ошибкам измерений.
Понятия о доверительном интервале измеряемой физической величины и доверительной вероятности нахождения ее в этом интервале.
Что понимают под точностью, погрешностью и доверительностью результатов измерений?
Какое значение измеряемой величины следует принять за истинное, если оно заранее неизвестно? Как его найти?
Какой физический смысл заложен в русской пословице «Семь раз отмерь, один раз отрежь»?
Перепишите следующие ответы в наиболее наглядном виде с нужным числом значащих цифр: а) измеренная высота = 5,033±0,04329 м; б) измеренное время = 19,5432±1 с;
в) измеренный заряд = -3,21?10-19±2,67?10-20 Кл;
г) измеренная длина волны = 0,000000563±0,00000007 м; д) измеренный импульс =3,267?103±42 гсм. с
Студент измеряет плотность жидкости пять раз и получает результаты в см3 : 1,8; 2,0; 2,0; 1,9; 1,8. Что вы могли бы предположить о наилучшей оценке и погрешности измерений, основываясь на результатах измерений? г а) Калькулятор студента показывает результат 123,123. Если студент решил, что это число в действительности имеет только три значащие цифры, оцените каковы его абсолютная и относительная погрешности. б) Сделайте то же для числа 0,123123. в) Сделайте то же для числа 321,321. г) Лежит ли относительная погрешность в интервале, ожидаемом для случая трех значащих цифр?
Посетитель средневекового замка решает определить глубину колодца, измеряя время падения брошенного в него камня. Он определяет, что время падения равно t = 3,0±0,5 с. Какой вывод он сделает о глубине колодца?
31
ПОГРЕШНОСТИ КОСВЕННЫХ ИЗМЕРЕНИЙ ФИЗИЧЕСКИХ ВЕЛИЧИН
Некоторые величины не могут быть определены непосредственно с помощью технических устройств (по ряду причин, которые здесь не рассматриваются) и их значения приходится рассчитывать на основе известной зависимости между этой величиной и величинами, определяемыми из опыта. Такие измерения принято считать косвенными
При выполнении косвенных измерений необходимо оценить как результат измерения некой величины W, так и его абсолютную погрешность DW.
Допустим, что определяемая величина W является функцией других измеряемых величин, например, X, Y, Z …, полученных в результате прямых измерений, т. е. W = f (X, Y, Z …).
При этом можно поступать двояким образом. Но как бы мы не поступали, если измерения выполнены и обработаны правильно, то результат расчета должен быть одинаковым.
1. Способ определения абсолютной погрешности по аналогии с прямыми измерениями
Он фактически повторяет метод прямых измерений, рассмотренный в главе 2, что видно из следующих действий: 1. Выполнить n наблюдений. В каждом наблюдении определить величины Xi, Yi, Zi , …, где i - номер наблюдения и по рабочей формуле вычислить i = f (Xi, i,Zi,...).
W
Y
2. В качестве оценки результата измерений выбрать величину: W = 1 AW . i=1 n i n
3. Найти среднее квадратичное отклонение SW результата расчета: SW = n(n-1) i=1( i -Wизм )2 .
1 a n
W
4. Определить доверительный интервал DW отклонения искомого значения величины W по формуле: DW =TP,n SW , где TP,n - коэффициент Стьюдента.
5. Записать результат расчета в виде: W =W ± DW, P ? 0,95.
В этом случае величину доверительной вероятности Р определяют, исходя из правил, рассмотренных в главе 2.
32
2. Способ определения абсолютной погрешности на основе использования первых производных от функции
1. Получить оценки результатов прямых измерений определяющих величин и их погрешностей: X = X ± DX; Y =Y ± DY; Z = Z ± DZ, K.
2. По результатам прямых измерений X , Y, Z вычислить W : W = f (X,Y,Z,K).
3. Найти оценку погрешности DW, основываясь на рабочей формуле W = f (X, Y, Z …) и используя формулу погрешности, связывающую DW с погрешностью прямых измерений: DW = F (DX,DY,DZ,...).
При расчете величины DW возможны случаи, когда искомая величина является функцией одной или нескольких переменных. Рассмотрим их в этой последовательности.
Случай одной переменной. Напомним, что согласно правилам математического анализа для любой функции W= f(X) и любого достаточно малого приращения аргумента DX (рис. 1) можно записать: DW
DX = f "(W), где f "(W) - первая производная от функции W(X).
Из этого следует, что приращение функции DW равно: DW = f "(W) DX.
Итак, чтобы найти погрешность DW величины W = f (X), следует вычислить производную f "(W) и умножить ее на погрешность DX.
Рис. 1. График функции одной переменной W (X)
Случай нескольких переменных. Для этого введено понятие частной погрешности величины по аргументу: 33
? c
? c D
D
X Y
.
K
=
? c
K.
D c ? c ?
D
Y
X
DW = ¶X DX.
¶f
¶f
Здесь ¶X - так называемая частная производная от f(W) по Х, она вычисляется так, будто в исходной формуле все аргументы (кроме Х) постоянные величины. Измерения отдельных физических величин (и их погрешности) считаются независимыми. Поэтому можно считать независимыми их частные погрешности и применять закон сложения погрешностей: DW = e ¶f DX o2 ? ¶f DY o2 K. c ?
? o c e
? o
¶
X
¶
X
Заметим также, что на основе этого выражения, предварительно возведя его в квадрат и поделив на W2 = f 2 , можно определить относительную погрешность DW величины W:
Так как получаем
?DW o2 ? 1 ¶f o2 ? 1 ¶f o2 e W o e f ¶X o e f ¶Y o
1 ¶f DX = ¶ln f , то для относительной погрешности f ¶X ¶X
DW = W = ?¶ln f DX o2 ?¶ln f DY o2 K. 4. Записать результат расчета в виде: D
W
? o c e
? o c e
¶
Y
¶
X
W ± DW, P ? 0,95.
В этом случае величину доверительной вероятности Р, как и в первом способе, определяют, исходя из прежних правил, рассмотренных в главе 2.
Поскольку зависимости искомой функции от нескольких аргументов бывают очень сложными, то и сама процедура нахождения их частных производных, а затем и абсолютной погрешности, тоже не проста. Их устранение возможно на основе расчета абсолютной погрешности по величине относительной погрешности, что и представлено далее.
3. Способ определения абсолютной погрешности на основе ее относительной величины
Возведя предыдущее выражение
DW = ? ¶f o2 ? ¶f o2 e¶X o e¶X o
34
в квадрат и поделив на W2 = f 2 , можно определить относительную погрешность DW величины W: 2 2 2
1 1 ? ? o
¶ ¶ f f o
D
W c ?
? o e W o = c f ¶X DX ? c f ¶Y DY ? K. Поскольку DW = DW , e o e o
W то DW = W = e f ¶X DX o2 ? f ¶f DY o2 K.
1 c ? ? o
D ¶
W f
¶
1 c e
? o
Y
Зная из математики, что 1 ¶f DX = ¶ln f , относительную f ¶X ¶X погрешность можно выразить следующим образом
DW = W = ?¶ln f DX o2 ?¶ln f DY o2 K.
D
W
? o c e
? o c e
¶
Y
¶
X
Этот прием позволяет упростить процедуру расчета, поскольку достаточно знать правила нахождения первых производных не от всех возможных функций, а только от логарифмической функции. Поскольку известно, что в случае линейной функции
¶ln f 1 ¶ln f 1
= =
, , ¶X ? ¶? ? то получим
2 2
D
W
1 1 c ? o o ?
DW = W = c X DX ? EY DY ? K, здесь Х, Y - среднеарифметические значения. o o e
Если логарифмируемые функции будут степенными, то необходимо учесть этот факт введением показателя степени, т. е. умножить производную на его значение. Тогда получим: DW = DW = e X DX o2 ?Y DY o2 K, где a и b - показатели степени соответствующих функций.
W c ? ? o a b c e
? o
Таким образом, из последнего уравнения следует, что для нахождения относительной погрешности косвенных измерений достаточно знать средние значения и абсолютные погрешности величин, определенных в процедуре прямых измерений. Затем найдем абсолютную погрешность: DW =W DW .
Заметим, что этот прием справедлив для тех случаев, когда искомая функция представлена произведением соответствующих аргументов с некоторыми показателями степени.
35
W
Рассмотрим пример применения рассмотренного способа.
Пусть известно, что некоторая величина Q связана с другими величинами зависимостью: 2
U
Q = R t.
В ходе прямых измерений получены значения U , DU , R, DR, t, Dt. Найти Q и DQ .
Численное значение Q находим подстановкой средних значений
U , R, t в исходное уравнение.
Далее находим относительную погрешность DQ, пользуясь ранее полученной формулой: DW = DW =
2 2 e X DX o EY DY o K. c ? c ? ? o ? o a b
В этом уравнении величины Х, Y и другие следует заменить на конкретные значения согласно поставленной задаче, тогда получим: 2 2 2 DQ = EU DU o et Dto e RDRO .
2 1 1 c ? ? o c ? ? o c ? ? o
Подставив в это уравнение значения U , DU , R, DR, t, Dt, найдем d Q и затем DQ .
Следует обратить внимание на соблюдение правила размерностей физических величин при их сложении. Они должны быть представлены либо все в абсолютных единицах, либо все в относительных единицах. Смешение их недопустимо, результат будет неправильным.
4. Задачи и вопросы для самоконтроля
1. Курсант измеряет две величины a и b и получает a = 11,5±0,2 см и b = 25,4±0,2 см. Затем он вычисляет произведение q=ab. Получите его ответ и приведите абсолютное значение погрешности, а также погрешность в процентах.
2. Курсант получил следующие результаты измерения: a = 5±1 см; b=18±2 см; с = 12±1 см; t = 3,0±0,5 с; т = 18±1 г. Вычислите следующие величины, их погрешности и относительную погрешность в процентах: a b c; a b-c; 4a; b (где цифры 4 и 2 не содержат погрешности) и mb.
2 t
3. Если найдено, что t = 8,0±0,5 с, то каковы значения и погрешности t2, 1 и 1 ?
3 t t
4. Посетитель средневекового замка решает определить глубину колодца, измеряя время падения брошенного в него камня. Он
36 определяет, что время падения равно t = 3,0±0,5 с. Какой вывод он сделает о глубине колодца?
5. Частная производная ¶q от q(x, y получается x
¶ дифференцированием функции q по х, когда y считается постоянным.
¶q q
¶
Найдите частные производные ¶x и ¶y для трех функций: а) q(x, y)=x y, б) q(x, y) = xy, в) q(x, y) = x2y2.
37
ВАРИАНТЫ ИНДИВИДУАЛЬНЫХ ЗАДАНИЙ
При выполнении индивидуальных заданий следует руководствоваться следующими указаниями: 1. Номер варианта индивидуального задания соответствует двум последним цифрам служебного удостоверения обучаемого (или зачетной книжки - для лиц, не имеющих специального звания).
2. Численные значения рассчитываемых физических величин, необходимые для выполнения индивидуального расчетно-графического задания, принимают из соответствующих таблиц в зависимости от номера варианта, принятого согласно п. 1.
3. Индивидуальные задания выполнить в отдельной тетради, четким разборчивым почерком, при этом в тетради должны быть поля, а страницы пронумерованы.
4. Графики выполнить на миллиметровой бумаге и вклеить в тетрадь с выполненным заданием.
5. При использовании уравнений, табличных значений и других справочных данных должны быть: · ссылки на источник заимствования (название источника и автор, страница, номер уравнения, номер таблицы и др.);
· разъяснения по выполняемым операциям (исходное уравнение, математические преобразования, подстановка расчетных значений вместе с единицами измерения, ответ в виде числа, его погрешности, единицы измерения и доверительной вероятности).
6. Выполненное задание должно быть представлено преподавателю на проверку в установленный срок.
Задача 1
Проведены испытания однотипных противопожарных преград и измерены (во времени) значения предела их огнестойкости T. Результаты представлены в табл. 1.1.
Найти среднее значение предела огнестойкости и случайную ошибку. Систематической ошибкой пренебречь. Доверительная вероятность указана в табл. 1.
Из табл. 1 выбрать для обработки результаты измерений в соответствии с табл. 3.
38
Таблица 1 Результаты измерений значения предела огнестойкости
Номера измерений Т, ч
1 2 3
1,43 1,45 1,40
4 5
1,42 1,30
6 7 8 9 10
1,48 1,50 1,60 1,47 1,34
Таблица 2 Исходные данные для обработки
Первая цифра номера варианта Доверительная вероятность
0 1
0,95 0,99
2 3
0,95 0,99
4 5
0,999 0,95
6 7
0,99 0,99
8 9
0,999 0,95
Таблица 3 Исходные данные для обработки
Вторая цифра номера варианта
Номера измерений согласно табл. 1.1
0 1 2 3 4 5
1?9 1?8 2?10 2?9 1?7 2?8
6 7 8 9
3?9 3?10 4?10 4?9
Задача 2
Для определения необходимости зарядки свинцового аккумулятора ареометром измерена плотность электролита r. Результаты измерения представлены в табл. 1.
Найти среднее значение и полную ошибку измерения. Доверительная вероятность и систематическая ошибка указаны в табл. 2.
Из табл. 1 и 2 выбрать для обработки результаты измерений в соответствии с табл. 3.
Таблица 1 Результаты измерений плотности электролита
Номера измерений r, кг/м3
1 2
1830 1670
3 4 5
1750 1720 1610
6 7 8 9 10
1700 1770 1740 1690 1730
Первая цифра номера варианта Систематическая ошибка, кг/м3
Доверительная вероятность
Исходные данные для обработки
0 1 2 3 4 5 6
0,2 0,5 0,1 1,0 2,0 0,2 0,5
0,95 0,99 0,95 0,99 0,999 0,95 0,95
Таблица 2
7 8 9
0,1 1,0 2,0
0,99 0,999 0,95
39
Вторая цифра номера варианта
Номера измерений согласно табл. 2.1
Исходные данные для обработки 0 1 2 3 4 5 6
1?7 2?8 3?9 3?10 4?10 1?9 1?8
Таблица 3
7 8 9
2?10 2?9 4?9
Задача 3
Измерена вязкость h машинного масла с помощью вискозиметра Геплера. Измерялось время t падения свинцового шарика диаметра d в масле, находящемся в широкой и длинной тр убе при прохождении шариком расстояния h. Определить среднее значение вязкости масла и ее погрешность Dh.
Вязкость вычисляют по формуле: h= 2(r-rж ) gd2t , 9 4h где g=9,81 м - ускорение свободного падения; r=(12300±10) кг3 - плотность свинца; rж=(900±50) кг3 - плотность масла; h=(0,55±0,05) м
2 с см см
- расстояние, проходимое шариком за время t.
Результаты измерения величины t с помощью секундомера, систематическая погрешность которого равна 0,2 с, представлены в табл. 1. Значения d и Dd заданы в табл. 2. Из табл. 1 и 2 выбрать для обработки данные в соответствии с табл. 3.
Таблица 1 Результаты измерений c помощью секундомера
Номера измерений t, с
1 2 3
13,9 12,4 12,3
4 5
14,1 15,2
6 7 8 9 10
11,2 12,9 15,1 12,1 13,1
Таблица 2 Исходные данные для обработки
Первая цифра номера варианта Доверительная вероятность d, мм Dd, мм
0 1
0,99 0,95
3,4 3,6 0,1 0,2
2 3 4 5
0,99 0,999 0,999 0,95
3,4 3,1 3,2 3,0 0,3 0,4 0,5 0,6
6 7 8 9
0,99 0,999 0,999 0,99
3,6 3,5 4,3 3,5 0,7 0,5 0,4 0,1
40
Вторая цифра номера варианта
Номера измерений согласно табл. 3.1
Исходные данные для обработки 0 1 2 3 4 5 6
1?9 1?8 2?10 2?9 1?7 2?8 3?9
Таблица 3
7 8 9
3?10 4?10 4?9
Задача 4
Определить объем и погрешность определения объема нефтепродукта, находящегося в цилиндрическом резервуаре, если измерены диаметр резервуара и высота уровня жидкости. Результаты измерений представлены в табл. 1.
Систематическая ошибка измерения геометрических размеров задана в табл. 2. Расчеты выполнить для доверительной вероятности, указанной в табл. 2. Из табл. 1 и 2 выбрать для обработки результаты измерений в соответствии с табл. 3.
Таблица 1 Результаты измерений размеров резервуаров
Номера измерений
Диаметр, м Высота, м
1 2 3
4,74 6,63 7,59 5,92 5,92 7,39
4 5
8,54 10,44 7,39 8,86
6 7 8
12,37 15,25 19,06 8,86 11,78 11,84
9 10
22,80 34,20 11,86 11,94
Таблица 2 Исходные данные для обработки
Первая цифра номера варианта
Систематическая ошибка, 10-2 м
Доверительная вероятность
0 1 2
1 2 3
0,95 0,99 0,95
3 4 5
10 8 6
0,999 0,95 0,99
6 7
5 4
0,999 0,95
8 9
3 2
0,99 0,999
Таблица 3 Исходные данные для обработки
Вторая цифра 0 номера варианта
Номера измерений 1?9 согласно табл. 4.1
1 2 3 4 5
1?8 2?10 2?9 1?7 2?8
6 7 8 9
3?9 3?10 4?10 4?9
41
Численные значения коэффициента Стьюдента в зависимости от числа степеней свободы и доверительной вероятности
Число Доверительная вероятность Р степеней 0,95 0,99 0,999 свободы (n-1) Численные значения коэффициента Стьюдента t
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ХАРАКТЕРИСТИК ДВИЖЕНИЯ ТЕЛА ВОКРУГ НЕПОДВИЖНОЙ ОСИ
1. Цель работы
Экспериментальная проверка соотношения между угловым ускорением и моментом силы. Определение момента инерции тела.
2. Краткие теоретические сведения
Твердым телом называется система материальных точек, расстояние между которыми не меняется при движении.
При вращательном движении твердого тела все точки тела совершают движение по окружностям, центры которых лежат на одной прямой, называемой осью вращения.
Угловая скорость w равна производной углового перемещения (угла поворота ) dm 2 g l по времени dt w = dj/dt. (1)
Угловая скорость одинакова для всех точек твердого тела. Линейная скорость v зависит от положения точки относительно оси вращения v = w r, (2) где r - радиус-вектор точки, проведенный от центра вращения или перпендикулярно оси вращения.
Угловое ускорение e определяет скорость изменения угловой скорости e = dw/dt. (3)
Уравнение кинематики вращательного движения при равноускоренном движении: w = w0 et; (4) j = j0 w0 t et2/2. (5)
Моментом силы относительно точки называется векторное произведение радиус-вектора r приложения силы на вектор силы F
M = r F. (6) Моментом силы относительно оси z называют проекцию момента силы любой точки, лежащей на оси, на ось z: Mz = (r F)z, (7)
43 или Mz = x Fy - y Fx, (8) где Fx, Fy - проекции силы F на оси ; x, y - координаты точек приложения силы.
Моментом инерции i-того элемента массы D m относительно оси вра
Список литературы
13 основная [2, 3, 4]; дополнительная [8, 9].
Тема 7. Постоянный электрический ток
Условие существования тока. Законы Ома и Джоуля и Ленца. Сторонние силы. Э.Д.С. гальванического элемента. Правила Кирхгофа. Электрический ток в металлах. Классическая теория электропроводности металлов. Квазистационарные токи.
Термоэлектрические явления. Электрический ток в газах и жидкостях.
Рекомендуемая литература: основная [2, 3, 4]; дополнительная [8, 9].
РАЗДЕЛ 3. Магнетизм
Тема 8. Магнитное поле
Магнитное поле и его характеристики. Закон Био-Савара-Лапласа. Действие магнитного поля на движущийся заряд. Сила Лоренца. Проводник с током в магнитном поле. Теорема о циркуляции вектора магнитной индукции. Поток вектора магнитной индукции. Явление электромагнитной индукции. Закон Фарадея. Правило Ленца. Энергия магнитного поля.
