Основы физики - Курс лекций

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ И НАУКИ ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮКроме того, силы, линии действия которых пересекаются в одной точке, называются сходящимися, а силы, линии действия которых параллельны друг другу, - параллельными. Если данная система сил эквивалентна одной силе, то эта сила называется равнодействующей данной системы сил. Внешними называются силы, которые действуют на это тело (или на тела системы) со стороны других тел, а внутренними - силы, с которыми части данного тела (или тела данной системы) действуют друг на друга. Если на свободное абсолютно твердое тело действуют две силы, то тело может находиться в равновесии тогда и только тогда, когда эти силы равны по модулю (F1=F2) и направлены вдоль одной прямой в противоположные стороны (рис. Таким образом, вектор, изображающий силу F, можно считать приложенным в любой точке на линии действия силы (такой вектор называется скользящим).Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) - значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени. Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение. Второй закон (основной закон динамики) устанавливает, как изменяется скорость точки при действии на нее какой-нибудь силы, а именно: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы. Из определения следует, что радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Oz той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела. Элементарной работой силы , приложенной в точке М, называется скалярная величина DA=Fds,где F - проекция силы F на касательную М? к траектории точки М, направленную в сторону перемещения этой точки (или проекция на направление скорости точки М); ds - модуль элементарного перемещения точки М. направлена в сторону движения (сила ускоряет движение); работа отрицательна, когда составляющая направлена противоположно направлению движения (сила замедляет движение).

Кинематикой называется раздел механики, в котором изучаются геометрические свойства движения тел без учета их инертности (массы) и действующих на них сил.

Кинематически задать движение или закон движения тела (точки) - значит задать положение этого тела (точки) относительно данной системы отсчета в любой момент времени.

Основная задача кинематики точки и твердого тела состоит в том, чтобы, зная закон движения точки (тела), установить методы определения всех кинематических величин, характеризующих данное движение.

Непрерывная линия, которую описывает движущаяся точка относительно данной системы отсчета, называется траекторией точки. Если траекторией является прямая линия, движение точки называется прямолинейным, а если кривая - криволинейным.

11. Способы задания движения точки

Для задания движения точки можно применять один из следующих трех способов: 1) векторный, 2) координатный, 3) естественный.

1. Векторный способ задания движения точки. Пусть точка М движется по отношению к некоторой системе отсчета Oxyz. Положение этой точки в любой момент времени можно определить, задав ее радиус-вектор , проведенный из начала координат О в точку М.

При движении точки М вектор будет с течением времени изменяться и по модулю, и по направлению. Следовательно, является переменным вектором (вектором-функцией), зависящим от аргумента t: .

Данное равенство определяет закон движения точки в векторной форме, так как оно позволяет в любой момент времени построить соответствующий вектор и найти положение движущейся точки.

Геометрическое место концов вектора , т. е. годограф этого вектора, определяет траекторию движущейся точки.

Аналитически вектор задается его проекциями на координатные оси. В прямоугольных декартовых координатах для вектора будет: rx=x, ry=y, rz=z, где х, у, z - декартовы координаты точки. Тогда, если ввести единичные векторы (орты) , , координатных осей, получим для выражение

. декартовыми координатами х, у, z, которые при движении точки будут с течением времени изменяться. Чтобы знать закон движения точки, т. е. ее положение в пространстве в любой момент времени, надо знать значения координат точки для каждого момента времени, т. е. знать зависимости x=f1(t), y=f2(t), z=f3(t).

Данные три уравнения представляют собой уравнения движения точки в прямоугольных декартовых координатах. Они определяют закон движения точки при координатном способе задания движения.

3. Естественный способ задания движения точки. Естественным (или траекторным) способом задания движения удобно пользоваться в тех случаях, когда траектория движущейся точки известна заранее. Пусть кривая АВ является траекторией точки М при ее движении относительно системы отсчета Oxyz. Выберем на этой траектории какую-нибудь неподвижную точку О ", которую примем за начало отсчета, и установим на траектории положительное и отрицательное направления отсчета (как на оси координат. Тогда положение точки М на траектории будет однозначно определяться криволинейной координатой s, которая равна расстоянию от точки О " до точки М, измеренному вдоль дуги траектории и взятому с соответствующим знаком. При движении точка М перемещается в положения M1, М2, ..., следовательно, расстояние s будет с течением времени изменяться. Чтобы знать положение точки М на траектории в любой момент времени, надо знать зависимость s=f(t), которая выражает закон движения точки М вдоль траектории.

12. Векторы скорости и ускорения точки

Одной из основных кинематических характеристик движения точки является векторная величина, называемая скоростью точки. Вектор скорости точки в данный момент времени равен первой производной от радиуса-вектора точки по времени

.

Вектор скорости точки в данный момент времени направлен по касательной к траектории точки в сторону движения.

В системе СИ скорость измеряется в м/с, также применяют единицу измерения км/ч (1 м/с=3,6 км/ч).

Ускорением точки называется векторная величина, характеризующая изменение с течением времени модуля и направления скорости точки.

Вектор ускорения точки в данный момент времени равен первой производной от вектора скорости или второй производной от радиуса-вектора точки по времени

.

В качестве единицы измерения ускорения применяется обычно м/с2.

13. Поступательное движение

Поступательным называется такое движение твердого тела, при котором любая прямая, проведенная в этом теле, перемещается, оставаясь параллельной своему начальному направлению.

Поступательное движение не следует смешивать с прямолинейным. При поступательном движении тела траектории его точек могут быть любыми кривыми линиями. Приведем примеры.

1. Кузов автомобиля на прямом горизонтальном участке дороги движется поступательно. При этом траектории его точек будут прямыми линиями.

Свойства поступательного движения определяются следующей теоремой: при поступательном движении все точки тела описывают одинаковые (при наложении совпадающие) траектории и имеют в каждый момент времени одинаковые по модулю и направлению скорости и ускорения.

Поступательное движение твердого тела вполне определяется движением какой-нибудь одной его точки. Следовательно, изучение поступательного движения тела сводится к задаче кинематики точки, нами уже рассмотренной.

При поступательном движении общую для всех точек тела скорость называют скоростью поступательного движения тела, а ускорение - ускорением поступательного движения тела. Векторы и можно изображать приложенными к любой точке тела.

Заметим, что понятия о скорости и ускорении тела имеют смысл только при поступательном движении. Во всех остальных случаях точки тела движутся с разными скоростями и ускорениями, и термины «скорость тела» или «ускорение тела» для этих движений теряют смысл.

14. Вращательное движение твердого тела вокруг оси

Угловая скорость и угловое ускорение неподвижны, а все остальные точки тела будут описывать окружности, плоскости которых перпендикулярны оси вращения, а центры лежат на этой оси.

Закон вращательного движения твердого тела вокруг неподвижной оси описывается уравнением =f(t), где - угол поворота тела. Будем считать угол положительным, если он отложен в направлении против хода часовой стрелки, и отрицательным, если по ходу часовой стрелки. Измерять угол будем всегда в радианах.

Основными кинематическими характеристиками вращательного движения твердого тела являются его угловая скорость и угловое ускорение.

Угловая скорость определяется по формуле

.

Числовое значение угловой скорости тела в данный момент времени равно первой производной от угла поворота по времени. Знак определяет направление вращения тела: когда вращение происходит против хода часовой стрелки, >0, а когда по ходу часовой стрелки, то <0.

В качестве единицы измерения обычно применяют рад/с или, что то же, 1/с (с-1), так как радиан - величина безразмерная.

Угловую скорость тела можно изобразить в виде вектора , модуль которого равен || и который направлен по оси вращения тела в ту сторону, откуда вращение видно происходящим против хода часовой стрелки. Такой вектор определяет сразу и модуль угловой скорости, и ось вращения, и направление вращения вокруг этой оси.

Численное значение углового ускорения тела в данный момент времени равно первой производной от угловой скорости или второй производной от угла поворота тела во времени

Если угловая скорость тела остается во все время движения постоянной (=const), то вращение тела называется равномерным. В технике скорость равномерного вращения часто определяют числом оборотов в минуту, обозначая эту величину через n (об/мин). Найдем зависимость между n (об/мин) и (1/с). При одном обороте тело повернется на угол 2, а при n оборотах на 2n; этот поворот делается за время t=1 мин=60 с.

Установив характеристики движения всего тела в целом, перейдем к изучению движения отдельных его точек.

1. Скорости точек тела. Рассмотрим какую-нибудь точку М твердого тела, находящуюся на расстоянии h от оси вращения. При вращении тела точка М будет описывать окружность радиуса h, плоскость которой перпендикулярна оси вращения, а центр С лежит на самой оси. Если за время dt происходит элементарный поворот тела на угол d, то точка М при этом совершает вдоль своей траектории элементарное перемещение ds=hd. Тогда числовое значение скорости точки будет равно отношению ds к dt, т. е. угловой скорости тела на расстояние от этой точки до оси вращения.

Направлена скорость по касательной к описываемой точкой окружности или перпендикулярно плоскости, проходящей через ось вращения и точку М.

2. Ускорения точек тела. Для нахождения ускорения точки М воспользуемся формулами a?=dv/dt, an=v2/.

В нашем случае h. Подставляя значение v в выражения an и a?, получим

, .

Касательная составляющая ускорения а? направлена по касательной к траектории (в сторону движения при ускоренном вращении тела и в обратную сторону при замедленном); нормальная составляющая an всегда направлена по радиусу МС к оси вращения.

Полное ускорение точки М будет

.

15. Основные понятия и определения динамики

Динамикой называется раздел механики, в котором изучается движение материальных тел под действием сил.

Движение тел с чисто геометрической точки зрения рассматривалось в кинематике. В динамике, в отличие от кинематики, при изучении движения тел принимают во внимание как действующие на них силы, так и инертность самих материальных тел.

В основе динамики лежат законы, установленные путем обобщения результатов целого ряда опытов и наблюдений, посвященных изучению движения тел, и проверенные обширной общественно-производственной практикой человечества. Систематически законы динамики были впервые изложены И. Ньютоном в его классическом сочинении «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 г. Сформулировать эти законы можно следующим образом.

Первый закон (закон инерции): изолированная от внешних воздействий материальная точка сохраняет свое состояние покоя или равномерного прямолинейного движения до тех пор, пока приложенные силы не заставят ее изменить это состояние. Движение, совершаемое точкой при отсутствии сил, называется движением по инерции.

Второй закон (основной закон динамики) устанавливает, как изменяется скорость точки при действии на нее какой-нибудь силы, а именно: произведение массы материальной точки на ускорение, которое она получает под действием данной силы, равно по модулю этой силе, а направление ускорения совпадает с направлением силы.

Математически этот закон выражается векторным равенством

При этом между модулями ускорения и силы имеет место зависимость ma=F.

Из этого закона непосредственно видно, что мерой инертности материальной точки является ее масса, поскольку при действии данной силы точка, масса которой больше, т. е. более инертная, получит меньшее ускорение и наоборот. Если на точку действует одновременно несколько сил, то они будут эквивалентны одной силе, т. е. равнодействующей , равной геометрической сумме данных сил. Уравнение, выражающее основной закон динамики, принимает в этом случае вид или .

Третий закон (закон равенства действия и противодействия) устанавливает характер механического взаимодействия между материальными телами. Для двух материальных точек он гласит: две материальные точки действуют друг на друга с силами, равными по модулю и направленными вдоль прямой, соединяющей эти точки, в противоположные стороны.

Этим законом мы уже пользовались в статике. Он играет большую роль в динамике системы материальных точек, как устанавливающий зависимость между действующими на эти точки внутренними силами.

При взаимодействии двух свободных материальных точек, они, согласно третьему и второму законам динамики, будут двигаться с ускорениями, обратно пропорциональными их массам.

Общие теоремы динамики устанавливают наглядные зависимости между соответствующими динамическими характеристиками движения материальных тел и открывают тем самым новые возможности исследования движения механических систем, широко применяемые в инженерной практике.

16. Масса системы. Центр масс. Теорема о движении центра масс

Движение системы, кроме действующих сил, зависит также от ее суммарной массы и распределения масс. Масса системы (обозначаем М или т) равна арифметической сумме масс всех точек, или тел, образующих систему: М=mk.

Распределение масс в системе определяется значениями масс mk ее точек и их координатами xk, yk, zk. Однако оказывается, что при решении тех задач динамики, которые мы будем рассматривать, в частности динамики твердого тела, для учета распределения масс достаточно знать не все величины mk, xk, yk, zk. а некоторые, выражаемые через них суммарные характеристики. Ими являются: координаты центра масс, осевые моменты инерции и центробежные моменты инерции

В однородном поле тяжести, для которого g=const, вес любой частицы тела пропорционален ее массе. Поэтому о распределении масс в теле можно судить по положению его центра тяжести. Преобразуем формулы, определяющие координаты центра тяжести тела, к виду, явно содержащему массу. Для этого положим в названных формулах pk=mkg и P=Mg, после чего, сократив на g, найдем: ; ; .

Геометрическая точка С, координаты которой определяются выше приведенными формулами, называется центром масс или центром инерции механической системы.

Теорему о движении центра масс системы математически можно записать следующим образом: .

Существует две формулировки данной теоремы: произведение массы системы, на ускорение ее центра масс равно геометрической сумме всех действующих на систему внешних сил или же центр масс системы движется как материальная точка, масса которой равна массе всей системы и к которой приложены все внешние силы, действующие на систему.

17. Момент инерции тела относительно оси. Радиус инерции

Моментом инерции тела (системы) относительно данной оси Oz (или осевым моментом инерции) называется скалярная величина, равная сумме произведений масс всех точек тела (системы) на квадраты их расстояний от этой оси: .

Единицей измерения момента инерции в СИ будет 1 кг·м2.

Для вычисления осевых моментов инерции можно расстояния точек от осей выражать через координаты этих точек. Тогда моменты инерции относительно осей Oxyz будут определяться формулами

, , .

Часто в ходе расчетов пользуются понятием радиуса инерции. Радиусом инерции тела относительно оси Oz называется линейная величина z, определяемая равенством

, где М - масса тела. Из определения следует, что радиус инерции геометрически равен расстоянию от оси Oz той точки, в которой надо сосредоточить массу всего тела, чтобы момент инерции одной этой точки был равен моменту инерции всего тела.

18. Теоремы об изменении количества движения точки и механической системы

Количеством движения материальной точки называется векторная величина , равная произведению массы точки на ее скорость. Направлен вектор так же, как и скорость точки, т. е. по касательной к ее траектории.

Единицей измерения количества движения является в СИ - 1 кг·м/с=1 Н·с.

Импульс силы характеризует действие, оказываемое на тело силой за некоторый промежуток времени. Введем понятие об элементарном импульсе, т. е. об импульсе за элементарный промежуток времени dt. Элементарным импульсом силы называется векторная величина , равная произведению силы на элементарный промежуток времени dt: .

Направлен элементарный импульс вдоль линии действия силы. Импульс любой силы за конечный промежуток времени t1 вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих элементарных импульсов, т. е.

.

Следовательно, импульс силы за некоторый промежуток времени t1 равен определенному интегралу от элементарного импульса, взятому в пределах от нуля до t1.

Единицей измерения импульса силы, как и количества движения, является в СИ 1 кг·м/с.

Теорема об изменении количества движения точки математически записывается в виде

, а формулируется следующим образом: изменение количества движения точки за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов всех действующих на точку сил за тот же промежуток времени.

Количеством движения системы будем называть векторную величину , равную геометрической сумме (главному вектору) количеств движения всех точек системы (рис. 18) или равную произведению массы всей системы, на скорость ее центра масс:

Если же движение тела является сложным, то величина не будет зависеть от его вращательного движения вокруг центра масс. Например, для катящегося колеса независимо от того, как вращается колесо вокруг его центра масс С.

Таким образом, количество движения можно рассматривать как характеристику поступательного движения системы (тела), а при сложном движении - как характеристику поступательной части движения вместе с центром масс.

Теорема об изменении количества движения системы математически имеет следующий вид:

, т.е. изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно сумме импульсов внешних сил, действующих на систему за тот же промежуток времени.

19. Теоремы об изменении момента количества движения точки и механической системы (теорема моментов)

В некоторых задачах в качестве динамической характеристики движения точки вместо самого вектора количества движения рассматривают его момент относительно некоторого центра или оси.

Эти моменты определяются так же, как и моменты силы: , где - радиус-вектор движущейся точки, проведенный из центра О.

При этом вектор направлен перпендикулярно плоскости, проходящей через mv и центр О, a для сравнения на нем показан и вектор

.

Момент количества движения точки относительно какой-нибудь оси Oz, проходящей через центр О, будет равен проекции вектора на эту ось: , где - угол между вектором и осью Oz. неподвижного центра, равна моменту действующей на точку силы относительно того же центра.

Если спроектировать обе части последнего равенства на какую-нибудь ось Oz, проходящую через центр О, получим теорему моментов относительно оси: .

Главным моментом количеств движения (или кинетическим моментом) системы относительно данного центра О называется величина , равная геометрической сумме моментов количеств движения всех точек системы относительно этого центра: .

Главный момент количеств движения (кинетический момент) системы может рассматриваться как характеристика ее вращательного движения.

Кинетический момент вращающегося тела относительно оси вращения равен произведению момента инерции тела относительно этой оси на угловую скорость тела: Kz=Jz.

Если система состоит из нескольких тел, вращающихся вокруг одной и той же оси, то Kz=J1z1 J2z2 … Jnzn.

Теорема моментов для системы математически записывается следующим образом: , т.е. производная по времени от главного момента количеств движения системы, относительно некоторого неподвижного центра равна сумме моментов всех внешних сил системы относительно того же центра.

20. Работа силы. Мощность

Элементарной работой силы , приложенной в точке М, называется скалярная величина DA=Fds,где F - проекция силы F на касательную М? к траектории точки М, направленную в сторону перемещения этой точки (или проекция на направление скорости точки М); ds - модуль элементарного перемещения точки М. направлена в сторону движения (сила ускоряет движение); работа отрицательна, когда составляющая направлена противоположно направлению движения (сила замедляет движение).

Если учесть, что , где - вектор элементарного перемещения точки, и воспользоваться известным из векторной алгебры понятием о скалярном произведении двух векторов, то равенство выражение элементарной работы можно представить в виде

, то есть элементарная работа силы равна скалярному произведению силы на вектор элементарного перемещения точки ее приложения.

Работа силы на любом конечном перемещении М0М1 вычисляется как предел интегральной суммы соответствующих элементарных работ

.

Следовательно, работа силы на любом перемещении M0M1 равна взятому вдоль этого перемещения интегралу от элементарной работы. Пределы интеграла соответствуют значениям переменных интегрирования в точках М0 и M1 (точнее говоря, интеграл берется вдоль кривой M0M1, т. е. является криволинейным).

Единицей измерения работы является в СИ - 1 джоуль (1 Дж=1 Н·м=1 кг·м2/с2).

Мощностью называется величина, определяющая работу, совершаемую силой в единицу времени. Если работа совершается равномерно, то мощность N=A/t1, где t1 - время, в течение которого произведена работа А. В общем случае

N=DA/dt=Fds/dt=Fv.

Следовательно, мощность равна произведению касательной составляющей силы на скорость.

Единицей измерения мощности в СИ является ватт (1 Вт=1Дж/с). В технике за единицу мощности часто принимается лошадиная сила (1 л.с.=736 Вт).

Работу, произведенную машиной, можно измерять произведением ее мощности на время работы. Отсюда возникла употребительная в технике единица измерения работы киловатт·час (1 КВТ·ч=3,6·106 Дж).

Из равенства N=Fv видно, что у двигателя, имеющего данную мощность N, сила тяги F будет тем больше, чем меньше скорость v. Поэтому, например, на подъеме или на плохом участке дороги у автомобиля включают низшие передачи, позволяющие при полной мощности двигаться с меньшей скоростью и развивать большую силу тяги.

21. Теоремы об изменении кинетической энергии точки и механической системы

Кинетической энергией материальной точки называется скалярная величина mv2/2, равная половине произведения массы точки на квадрат ее скорости.

Единица измерения кинетической энергии та же, что и работы (в СИ - 1 Дж).

Теорема об изменении кинетической энергии точки математически записывается следующим образом: , т.е. изменение кинетической энергии точки при некотором ее перемещении равно алгебраической сумме работ всех действующих на точку сил на том же перемещении.

Кинетической энергией системы называется скалярная величина Т, равная сумме кинетических энергий всех точек системы:

.

Кинетическая энергия является характеристикой и поступательного, и вращательного движений системы. Главное отличие величины T от введенных ранее характеристик и состоит в том, что кинетическая энергия является величиной скалярной и притом положительной. Поэтому она не зависит от направлений движения частей системы и не характеризует изменений этих направлений.

Теорема об изменении кинетической энергии системы математически записывается в виде: , т.е. изменение кинетической энергии системы при некотором ее перемещении равно сумме работ на этом перемещении всех приложенных к системе внешних и внутренних сил.

В отличие от предыдущих теорем внутренние силы не исключаются.

22. Основные положения сопротивления материалов

Практика показывает, что все части конструкций под действием нагрузок деформируются, т. е. изменяют свою форму и размеры, а в некоторых случаях происходит разрушение конструкции.

Сопротивление материалов есть наука о прочности и деформируемости материалов и элементов машин и сооружений.

В сопротивлении материалов рассматривают методы расчета элементов конструкций на прочность, жесткость и устойчивость.

Расчеты на прочность дают возможность определить размеры и форму деталей, выдерживающих заданную нагрузку, при наименьшей затрате материала.

Расчеты на жесткость гарантируют, что изменения формы и размеров конструкций и их элементов не превысят допустимых норм.

Под устойчивостью понимается способность конструкции сопротивляться усилиям, стремящимся вывести ее из исходного состояния равновесия.

Расчеты на устойчивость предотвращают возможность внезапной потери устойчивости и искривления длинных или тонких деталей.

Из практики известно, что в процессе эксплуатации элементы конструкций испытывают следующие основные деформации: растяжение; сжатие; сдвиг; кручение; изгиб.

Очень часто элементы конструкций подвергаются действию нагрузок, вызывающих одновременно несколько основных деформаций.

После прекращения действия внешних сил вызванная ими деформация может полностью или частично исчезнуть. Способность материала устранять деформацию после прекращения действия внешних сил называется упругостью. Деформация, исчезающая после прекращения действия внешних сил, называется упругой; деформация, не исчезающая после прекращения действия внешних сил, называется остаточной или пластической. Способность материала иметь значительные остаточные деформации, не разрушаясь при этом, называют пластичностью, а сами материалы называются пластичными. К числу таких материалов относятся низкоуглеродистая сталь, алюминий, медь, латунь и др.

Подчеркнем, что возникновение значительных остаточных деформаций в большинстве случаев приводит к нарушению нормальной работы конструкции и поэтому считается нарушением прочности (как и разрушение).

Материалы, обладающие весьма малой пластичностью, называются хрупкими. В отличие от пластичных хрупкие материалы разрушаются без заметных остаточных деформаций. К хрупким материалам относят чугун, твердые сплавы, стекло, кирпич и др.

Наука о сопротивлении материалов опирается на законы теоретической механики, в которой тела полагались абсолютно жесткими, т. е. не способными деформироваться. Однако при расчетах на прочность и жесткость некоторые положения теоретической механики оказываются неприменимы, в частности: 1) действующие на тело внешние силы нельзя заменять их равнодействующей или эквивалентной системой сил; 2) силу нельзя переносить вдоль линии ее действия; 3) пару сил нельзя перемещать в плоскости действия пары.

Наряду с понятием деформации одним из основных понятий сопротивления материалов является напряжение. Напряжение характеризует интенсивность внутренних сил, действующих в сечении.

Единица напряжения в системе СИ: ньютон на квадратный метр=Н/м2=паскаль (Па).

23. Растяжение и сжатие

Растяжением или сжатием называется такой вид деформации, при котором в любом поперечном сечении бруса возникает только продольная сила.

Независимо от условий крепления растянутого или сжатого стержня расчетная схема в рассматриваемых случаях оказывается единой.

Если изготовить прямой брус из резины (для большей наглядности), нанести на его поверхности сетку продольных и поперечных линий и подвергнуть брус деформации растяжения, то можно отметить следующее: 1) поперечные линии останутся в плоскостях, перпендикулярных оси, а расстояния между ними увеличатся; 2) продольные линии останутся прямыми, а расстояния между ними уменьшатся. Если же этот брус подвергнуть деформации сжатия, то: 1) поперечные линии останутся в плоскостях, перпендикулярных оси, а расстояния между ними уменьшатся; 2) продольные линии останутся прямыми, а расстояния между ними увеличатся.

Напряжения и деформации при растяжении и сжатии связаны между собой зависимостью, которая называется законом Гука.

Закон Гука при растяжении и сжатии справедлив лишь в определенных пределах нагружения и формулируется так: нормальное напряжение прямо пропорционально относительному удлинению или укорочению.

Коэффициент пропорциональности Е характеризует жесткость материала, т. е. его способность сопротивляться упругим деформациям растяжения или сжатия, и называется модулем продольной упругости или модулем упругости первого рода.

24. Механические свойства конструкционных материалов

При проведении инженерных расчетов на прочность, жесткость и устойчивость конструкций необходимо учитывать целый комплекс механических свойств конструкционных материалов. Эти свойства могут быть определены путем статических, динамических испытаний и при переменных нагрузках.

Статическими называют испытания, при которых прилагаемая к образцу нагрузка возрастает медленно и плавно. К таким испытаниям относят испытания на растяжение, сжатие, кручение, изгиб и определение твердости.

Испытание на растяжение широкое распространены для конструкционных сталей, цветных металлов и их сплавов. Это вид испытания по результатам одного опыта позволяет установить сразу несколько важных механических характеристик металла или сплава, определяющих его качество и необходимых для конструкторских расчетов.

В процессе испытания на растяжение специальное устройство испытательной машины автоматически вычерчивает диаграмму, выражающую зависимость между растягивающей силой и абсолютным удлинением, т. е. в координатах (F, l). Для изучения механических свойств материала независимо от размеров образца применяется диаграмма в координатах «напряжение-относительное удлинение». Эти диаграммы отличаются друг от друга лишь масштабами. Испытание конструкционных сталей, цветных металлов и их сплавов на растяжение по результатам одного опыта позволяет установить сразу несколько важных механических характеристик металла или сплава, определяющих его качество и необходимых для конструкторских расчетов.

Предел прочности является основной механической характеристикой при оценке прочности хрупких материалов;

D - напряжение, возникающее в образце в момент разрыва во всех поперечных сечениях, кроме сечений шейки;

М - напряжение, возникающее в наименьшем поперечном сечении шейки в момент разрыва. Это напряжение можно назвать напряжением разрыва.

Для большинства сталей предел пропорциональности можно приблизительно считать равным половине временного сопротивления.

Диаграмма сжатия стали до предела текучести совпадает с диаграммой растяжения, причем результаты испытаний сталей на растяжение и сжатие равноценны.

Результаты испытаний на растяжение и сжатие чугуна значительно отличаются друг от друга; предел прочности при растяжении в 3...5 раз ниже, чем при сжатии. Иными словами, чугун значительно хуже работает на растяжение, чем на сжатие.

Для пластичных материалов, диаграммы растяжения которых не имеют ярко выраженной площадки текучести (средне и высокоуглеродистые, легированные стали) или совсем ее не имеют (медь, дюралюминий), вводится понятие условного предела текучести - напряжения, при котором относительное остаточное удлинение образца равно 0,2%. Условный предел текучести также обозначим т (иногда его обозначают 0,2).

Следует отметить, что деление материалов на пластичные и хрупкие условно, так как в зависимости от характера действующей нагрузки хрупкий материал может получить пластические свойства и, наоборот, пластичный материал приобретает свойства хрупкого. Так, например, деталь из пластичного материала при низкой температуре или при ударной нагрузке разрушается без образования шейки, как хрупкая.

Твердостью называют свойство материала оказывать сопротивление пластической деформации при контактном воздействии в поверхностном слое.

Существует несколько способов измерения твердости, различающихся по характеру воздействия наконечника. Твердость можно измерять вдавливанием наконечника (способ вдавливания), царапанием поверхности (способ царапания), ударом или же по отскоку наконечника - шарика. Твердость, определенная царапанием, характеризует сопротивление разрушению (для большинства металлов путем среза); твердость, определенная по отскоку, характеризует упругие свойства; твердость, определенная вдавливанием, - сопротивление пластической деформации.

Преимущества измерения твердости следующие: 1. Между твердостью пластичных металлов, определяемой способом вдавливания, и другими механическими свойствами (главным образом пределом прочности) существует количественная зависимость.

2. Измерение твердости по технике выполнения значительно проще, чем определение прочности, пластичности и вязкости. Испытания твердости не требуют изготовления специальных образцов и выполняются непосредственно на проверяемых деталях после зачистки на поверхности ровной горизонтальной площадки, а иногда даже и без такой подготовки. Измерения твердости выполняются быстро, например, при вдавливании конуса за 30-60 с, а при вдавливании шарика - за 1-3 мин.

3. Измерение твердости обычно не влечет за собой разрушения проверяемой детали, и после измерения ее можно использовать по своему назначению, в то время как для определения прочности, пластичности и вязкости необходимо изготовление специальных образцов из детали.

4. Твердость можно измерять на деталях небольшой толщины, а также в очень тонких слоях, не превышающих (для некоторых способов измерения твердости) десятых долей миллиметра, или в микрообъемах металла; в последнем случае измерения проводят способом микротвердости. Поэтому многие способы измерения твердости пригодны для оценки различных по структуре и свойствам слоев металла, например поверхностного слоя цементованной, азотированной или закаленной стали, имеющей разную твердость по сечению детали. Методом определения микротвердости можно также измерять твердость отдельных составляющих в сплавах.

Для полной характеристики свойств металла необходимо наряду с измерением твердости проводить остальные механические испытания. Поскольку при измерении твердости в большинстве случаев детали не разрушаются, то эти измерения можно применять для сплошного контроля деталей, в то время как определение характеристик прочности и пластичности проводят в качестве выборочного контроля.

Измерение микротвердости имеет целью определить твердость отдельных зерен, фаз и структурных составляющих сплава (а не «усредненную» твердость, как при измерении макротвердости). В данном случае объем, деформируемый вдавливанием, должен быть меньше объема (площади) измеряемого зерна. Поэтому прилагаемая нагрузка выбирается небольшой. Кроме того, микротвердость измеряют для характеристики свойств очень малых по размерам деталей.

У полимерных материалов измерение твердости дает меньше информации об их свойствах, так как между твердостью и прочностью этих материалов нет определенной зависимости. Результаты измерений являются лишь дополнительной характеристикой свойств полимерных материалов.

Метод измерения твердости вдавливанием шарика (твердость по Бринеллю) используется для определения твердости как металлов, так и полимерных материалов.

, где P - нагрузка на шарик, кгс; F - площадь сферического отпечатка, мм2; D - диаметр вдавливаемого шарика, мм; d - диаметр отпечатка, мм.

Получаемое число твердости при прочих равных условиях определяется диаметром отпечатка d. Последний тем меньше, чем выше твердость испытуемого металла.

При измерении твердости шариком определенного диаметра и с установленными нагрузками нет необходимости проводить расчет по указанной выше формуле. На практике пользуются заранее составленными таблицами, указывающими число НВ в зависимости от диаметра отпечатка и соотношения между нагрузкой Р и поверхностью отпечатка F. При указании твердости НВ иногда отмечают принятые нагрузку и диаметр шарика.

Измерение твердости вдавливанием стального шарика не является универсальным способом. Этот способ не позволяет: а) испытывать материалы с твердостью более НВ 450; б) измерять твердость тонкого поверхностного слоя (толщиной менее 1-2 мм), так как стальной шарик продавливает этот слой и проникает на большую глубину. Толщина измеряемого слоя (или образца) должна быть не менее 10-кратной глубины отпечатка.

Метод измерения твердости вдавливанием конуса или шарика (твердость по Роквеллу) принципиально отличается от рассмотренного выше измерения по Бринеллю и состоит в том, что твердость определяют по глубине отпечатка, получаемого при вдавливании алмазного конуса, имеющего угол в вершине 120°, или стального шарика диаметром 1,59 мм, а не по площади отпечатка.

По сравнению с измерением по Бринеллю, этот метод имеет то преимущество, что позволяет изменять нагрузку в широких пределах, без изменения значений твердости, так как при вдавливании конуса сохраняется закон подобия, а условия деформации под вершиной конуса с увеличением давления не изменяются.

Твердомер измеряет разность между глубиной отпечатков, полученных от вдавливания наконечника под действием основной нагрузки и от вдавливания под предварительной нагрузкой. Каждое деление (единица шкалы) индикатора соответствует глубине вдавливания в 2 мкм. Однако стрелка индикатора отмечает не указанную величину глуб

1. Тарг С.М. Краткий курс теоретической механики. - М.: Высшая школа, 1986. - 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1986. - 416 с., ил.

2. Феодосьев В.И. Сопротивление материалов. - М.: Наука, 1984. - 530 с.

3. Эрдеди А.А., Эрдеди Н.А. Теоретическая механика. Сопротивление материалов: Учеб. для машиностр. спец. сред. проф. учеб. заведений. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Высш. шк.; Изд. центр «Академия», 2003. - 285 с.: ил.

4. Теория механизмов и машин. /К.В. Фролов, С.А. Попов, А.К. Мусатов и др.; Под ред. К.В. Фролова. - М., Высшая школа, 1987. - 496 с.

5. Анухин В.И. Допуски и посадки. Учебное пособие. 3-е изд. - СПБ.: Питер, 2004. - 207 с.: ил.

6. Решетов Д.Н. Детали машин. Учебник для вузов. 3-е изд., испр. и перераб. - М., Машиностроение, 1974.

7. Эрдеди А.А., Эрдеди Н.А. Детали машин: Учеб. для машиностр. спец. сред. проф. учеб. заведений. - 2-е изд., испр. и доп. - М.: Высш. шк.; Изд. центр «Академия», 2001. - 285 с.: ил.

8. Мещерский И.В. Задачи по теоретической механике: Учеб. пособие. 38-е изд., стереотипное / Под ред. В.А. Пальмова, Д.Р. Меркина. - СПБ.: Изд-во «Лань», 2001. - 448 с., ил.

9. Иосилевич Г.Б., Строганов Г.Б., Маслов Г.С. Прикладная механика. - М.: Высшая школа, 1989. - 352 с.

10. Прикладная механика /К.И. Заблонский, М.С. Беляев, И.Я. Телис и др. - Киев: Вища школа, 1984. - 280 с.

Размещено на .ru