Основные методы решения уравнений Лапласа - Реферат

Пьер-Симон Лаплас (23 марта 1749 - 5 марта 1827) - выдающийся французский математик, физик и астроном; известен работами в области небесной механики, дифференциальных уравнений, один из создателей теории вероятностей. Заслуги Лапласа в области чистой и прикладной математики и особенно в астрономии громадны: он усовершенствовал почти все отделы этих наук. При решении прикладных задач Лаплас разработал методы математической физики, широко используемые и в наше время.Оператор Лапласа - дифференциальный оператор, действующий в линейном пространстве гладких функций и обозначаемый символом . Градиент-вектор, показывающий направление наискорейшего возрастания некоторой величины, значение которой меняется от одной точки пространства к другой (скалярного поля). Градиент обозначается grad , или с использованием оператора набла, Из определения градиента следует, что: Смысл градиента любой скалярной функции f в том, что его скалярное произведение с бесконечно малым вектором перемещения дает полный дифференциал этой функции при соответствующем изменении координат в пространстве, на котором определена f, то есть линейную (в случае общего положения она же главная) часть изменения f при смещении на . Применяя одну и ту же букву для обозначения функции от вектора и соответствующей функции от его координат, можно написать: Стоит здесь заметить, что поскольку формула полного дифференциала не зависит от вида координат x i, то есть от природы параметров x вообще, то полученный дифференциал является инвариантом, то есть скаляром, при любых преобразованиях координат, а поскольку dx - это вектор, то градиент, вычисленный обычным образом, оказывается ковариантным вектором, то есть вектором, представленным в дуальном базисе, какой только и может дать скаляр при простом суммировании произведений координат обычного (контравариантного), то есть вектором, записанным в обычном базисе. Таким образом, выражение (вообще говоря - для произвольных криволинейных координат) может быть вполне правильно и инвариантно записано как: Или опуская по правилу Эйнштейна знак суммы, Дивергенция - дифференциальный оператор, отображающий векторное поле на скалярное (то есть операция дифференцирования, в результате применения которой к векторному полю получается скалярное поле), который определяет (для каждой точки), «насколько расходится входящее и исходящее из малой окрестности данной точки поле» (точнее - насколько расходятся входящий и исходящий поток).Краевые задачи для уравнения Лапласа являются частными случаями краевых задач для уравнения Пуассона и более общих уравнений эллиптического типа, а численные методы решения краевых задач для уравнений эллиптического типа содержат в себе многие численные методы для уравнения Лапласа. Специфика уравнения Лапласа позволяет конструировать и использовать методы, обладающие существенно лучшими характеристиками, чем методы для более общих уравнений, хотя на практике часто этим возможностям предпочитают простоту реализации метода на ЭВМ.Так, уравнение Лапласа описывает потенциал сил тяготения в области, не содержащей тяготеющих масс, потенциал электростатического поля - в области, не содержащей зарядов, температуру при стационарных процессах и т. д. При изучении свойств гармонических функций были разработаны различные математические методы, оказавшиеся плодотворными и в применении к уравнениям гиперболического (например, уравнение колебаний струны) и параболического типов (например, уравнение теплопроводности). Трехмерное уравнение Лапласа часто встречается в теории тепло - и массопереноса, гидро и аэромеханике, теории упругости, электростатике и других областях механики и физики. Задача в этом случае может быть решена классическим методом построения функций Грина для трехмерного уравнения Лапласа, но вследствие малости поперечных размеров капиллярной трубки по сравнению с длиной и высокой проводимости металла можно считать окружность поперечного сечения трубки эквипотенциальной с достаточной точностью в пределах разрешающей способности приборов. Задача в этом случае может быть решена классическим методом построения функций Грина для трехмерного уравнения Лапласа, но вследствие малости поперечных размеров капиллярной трубки по сравнению с длиной и высокой проводимости металла можно считать окружность поперечного сечения трубки эквипотенциальной с достаточной точностью в пределах разрешающей способности приборов.Таким образом решения уравнения Лапласа очень гладкие они не имеют шишки максимумами или минимумами в R и, по сути "интерполировать" плавно между их значениями на границах Р.

Содержание

Ведение

1. Оператор Лапласа

2. Уравнение Лапласа в случае пространственных переменных

3. Уравнение Лапласа в двумерном пространстве

Заключение

Список литературы уравнение лаплас пространство переменная