Основная теорема алгебры - Контрольная работа

На самом деле, имеется много эквивалентных формулировок, например, такая: каждый вещественный многочлен может быть представлен в виде произведения вещественных линейных и вещественных квадратичных множителей. Ранние исследования уравнений аль-Хорезми (с 800 г.) посвящены только положительным вещественным корням и не имеют отношения к ОТА (основой теоремы алгебры). Эта формула в применении к уравнению x3=15x 4 дает ответ, в котором содержится , хотя Кардано уже знал, что является корнем этого уравнения. Декарт в 1637 г. говорит, что можно “представить’’ для каждого уравнения n-ой степени n корней, но эти представленные корни не соответствуют никаким вещественным величинам. Они считали, что алгебраическое уравнение степени n должно иметь n корней, проблема была, по их мнению, в том, чтобы показать, что эти корни имеют вид a bi, где a и b вещественные.Множество А с операциями сложения () и умножения () называется полем, если множество А является кольцом и для любого элемента существует обратный элемент относительно умножения и само множество содержит хотя бы один, отличный от нуля элемент. Множество комплексных чисел определяется как множество упорядоченных пар , где , , для которого определены операции сложения и умножения по правилам: Исходя из этого определения получаем, что данное множество указанных пар является полем, которое называется полем комплексных чисел. Последовательность комплексных чисел - это функция, определенная на множестве натуральных чисел и имеющая своими значениями комплексные числа. Любое комплексное число может быть представлено как формальная сумма , где x и y-вещественные числа, i-мнимая единица, то есть число, удовлетворяющее уравнению .Число называется пределом данной последовательности, если для любого существует номер , такой, что при выполняется неравенство . Последовательность такая, что , где называется ограниченной. Из вещественного анализа известна теорема Больцано-Вейерштрасса: из любой ограниченной последовательности можно извлечь сходящуюся подпоследовательность. То же самое верно и для последовательностей, составленных из комплексных чисел.Представим себе "график" функции , считая, что значения изображаются на горизонтальной плоскости, перпендикулярной к плоскости чертежа, а значения откладываются вверх в направлении оси . Функция f(z) от комплексной переменной называется непрерывной в точке , если достаточно близким к значениями соответствует сколь угодно близкие к значения .В более точных терминах - для любого найдется такое , что , как только . Непрерывность | f(z) | дает основания представлять себе график в виде непрерывной поверхности, накрывающей плоскость , и местами доходящей до этой плоскости. Собственно говоря, нам и нужно доказать, что существует такое значение , в котором f(z0)=0, и, тем самым, | f(z0) |=0, т.е. что поверхность доходит до плоскости в точке . Мы покажем, что если дана точка на поверхности ,которая расположена выше плоскости , то в ее окрестности найдется точка поверхности расположенная ниже данной точки.Она связывает такие разделы математики, как теория функции комплексного переменного, математический анализ, топология и многие другие, хотя казалось бы, задача свелась к «элементарной вещи» - показать, что полином n-ой степени имеет n корней. В 1814 г. швейцарский бухгалтер Жан Робер Арган опубликовал доказательства ОТА, которое, возможно, является самым простым из всех доказательств. В своей работе он интерпретировал i как поворот плоскости на , давая тем самым начало плоскости Аргана или диаграммы Аргана как геометрическому представлению комплексных чисел. Позднее в работе Reflexions sur la nouvelle theorie d’analyse Арган упрощает идею Даламбера использовать общую теорему о существовании минимума непрерывной функции.

Содержание

Введение

1. Основные определения

2. Элементы теории пределов для комплексных чисел

3. Доказательство основной теоремы

Заключение

Список литературы