Определение и общие свойства ортогональных функций (многочленов). Рекуррентная формула и формула Кристоффеля-Дарбу. Элементарные свойства нулей, их плотность. Сущность первого и второго рода многочленов Чебышева. Нули многочленов и отклонение от них.
Первая - ортогональные многочлены - обширнее другой. Целью работы является изучение данной темы, изложенной в курсовой работе. многочлен чебышев ортогональная функция ЧАСТЬ 1.ОРТОГОНАЛЬНЫЕ МНОГОЧЛЕНЫ 1. Мы можем сопоставить тогда им скалярное произведение (1) которое определено для функций таких, что имеет интегрируемый квадрат на . Семейство функций называют ортогональной системой на отрезке относительно веса (или распределения ), если для любых двух различных элементов этого семейства имеем . Таким образом, любая ортогональная система может быть записана в виде (конечной или бесконечной) последовательности либо, более краткo , а свойство ортогональности может быть выражено следующим образом: Мы будем предполагать, что система , не содержит функций, почти всюду равных нулю, то есть что при всех скалярное произведение положительно. · Мы докажем, что имеет место рекуррентная формула (7) где Для того чтобы доказать формулу (7), заметим, что при значении (8) для выражение является многочленом, степень которого равна или меньше чем и, следовательно, этот многочлен имеет вид Из ортогональности семейства получаем, что , и потому Но является многочленом, степень которого не превосходит , и, следовательно, или Наконец, сравнивая коэффициенты при в обеих частях равенства (7), получаем значения для . · Из (7) легко получить формулу Кристоффеля - Дapбy и, переходя к пределу, когда , получим · Пусть - система ортогональных многочленов с весовой функцией , и пусть - многочлен степени , неотрицательный на отрезке и имеющий простые нули в точках .
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
