Актуальность применения определенного интеграла и его приложений, использование в математике, физике, механике. Решение дифференциальных уравнений практического содержания. Статический момент и координаты центра тяжести плоской кривой, плоской фигуры.
Курс математического анализа содержит разнообразный материал, однако, одним из его центральных разделов является определенный интеграл. Интегрирование многих видов функций подчас представляет собой одну из труднейших проблем математического анализа. Поэтому тема "Определенный интеграл и его приложения" вводится еще в школьном курсе математики. Цель исследования состоит в изучении актуальности применения определенного интеграла и его приложений, а также широты его использования не только в математике, но и других науках, оценить ее практическую и теоретическую значимость.Пусть функция определена на отрезке . Выполним следующие операции: разобьем отрезок точками на частичных отрезков в каждом из частичных отрезков выберем произвольную точку и вычислим значение функции в этой точке: ; найдем произведения , где - длина частичного отрезка ; составим сумму которая называется интегральной суммой функции на отрезке . С геометрической точки зрения интегральная сумма представляет собой сумму площадей прямоугольников, основаниями которых являются частичные отрезки , а высоты равны соответственно (рисунок 1). Если существует конечный предел интегральной суммы (1) и он не зависит ни от способа разбиения отрезка на частичные отрезки, ни от выбора точек в них, то этот предел называется определенным интегралом от функции на отрезке и обозначаетсяФункция , для которой на отрезке существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке. Естественно возникает вопрос: при каких условиях функция , определенная на , интегрируема на этом отрезке? Если функция , непрерывна на отрезке , то она интегрируема на этом отрезке.Интеграл был определен для случая, когда . По определению полагаем: , как определенный интеграл на отрезке нулевой длины. Также по определению полагаем, что: , поскольку при движении от к все длины частичных отрезков имеют отрицательный знак в интегральной сумме. Определенный интеграл от алгебраической суммы функций равен алгебраической сумме их определенных интегралов: Заметим, что свойство 4 имеет место для любого конечного числа слагаемых.С помощью геометрических приложений вычисляются: площадь плоской фигуры, площадь криволинейного сектора, объем тела вращения, длина дуги кривой, площадь поверхности вращения.Тогда площадь фигуры, ограниченной осью , отрезками прямых и графиком функции , может быть вычислена по формуле (рисунок 3) Если на отрезке - непрерывные функции, то площадь фигуры, ограниченной прямыми , графиками функций , вычисляется по формуле (рисунок 3) Если функция на отрезке принимает значения разных знаков, то площадь фигуры, заключенная между кривой и осью , равна (рисунок 4) Пример 1: Найти площадь фигуры, ограниченной линиями и Рисунок 5 При вычислении площади криволинейной трапеции, в случае, когда верхняя граница задана параметрическими уравнениями в формуле надо сделать замену переменной, положив , тогда получим где и ? значения параметра , соответствующие значениям и , т.е.Пусть кривая задана в полярных координатах уравнением , причем - непрерывная и неотрицательная на отрезке функция. Фигуру, ограниченную кривой и двумя полярными радиусами, составляющими с полярной осью углы и , будем называть криволинейным сектором. Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривой (4 - лепестковая роза - рисунок 8).Если функция непрерывна вместе с ее производной на отрезке , то длина дуги , где , выражается формулой: 2.Нахождение объемов некоторых тел можно свести к вычислению определенных интегралов. Если известны площади сечений тела плоскостями, перпендикулярными оси , т.е., зная , мы можем вычислить площадь сечения . Вычисление объема тела вращения: а) если тело образовано вращением криволинейной трапеции, ограниченной кривой , осью и двумя прямыми и вокруг оси , то объем тела б) если тело образовано вращением фигуры, ограниченной кривой , прямыми и осью , вокруг оси , то его объем в) если тело образовано вращением вокруг оси фигуры, ограниченной линией , прямыми и осью , то его объем можно вычислить по формуле г) если вращается вокруг полярной оси криволинейный сектор, ограниченный дугой , двумя полярными радиусами и , то объем полученного тела может быть вычислен по формуле Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной графиками функций и вокруг оси .1.Поверхность, образованная вращением кривой вокруг оси , имеет площадь Если дуга , задана в полярной системе координат кривой, и вращается вокруг полярной оси, то площадь поверхности вращения можно вычислить по формуле Найти площадь поверхности шарового пояса, образованного вращением части окружности вокруг оси (рисунок 10).С помощью физических приложений вычисляются: работа переменной силы, давление жидкости на вертикальную пластинку, статические моменты и координаты центра тяжести плоской кривой и плоской фигуры.Пусть под действием некоторой силы материальная точка М движется по прямой в направлении оси . Требуется найти работу, произведенную силой при перемещении точки М из положения в положение . 1) Есл
