Сущность основного условия для достижения функцией локального максимума в точке. Исследование достаточных критериев локального экстремума. Применение формулы Тейлора для доказательства теоремы о существовании минимума функции в стационарной точке.
Функция достигает в точке локального максимума (минимума), если можно указать такое , что ее приращение в точке удовлетворяет неравенству: , соответственно: По теореме Ферма, если функция достигает в точке локального экстремума и в этой точке производная существует, то она равна нулю: . По определению точка называется стационарной для функции , если в ней производная от существует и равна нулю . Если задана на некотором интервале функция , и надо найти все ее точки локального экстремума, то их, очевидно, надо искать среди, во-первых, стационарных точек, т.е. таких, в которых производная существует и равна нулю и, во-вторых, среди точек, где не имеет производной, если таковые на самом деле имеются. Условие (1) является необходимым для того, чтобы дифференцируемая функция имела в точке локальный экстремум, но недостаточным. Так или иначе, если нам уже известно, что есть стационарная точка или точка, где производная от не существует, нам нужны критерии распознавания, будет ли действительно эта точка точкой локального экстремума, а если будет, то какого - максимума или минимума.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
