Операторне перетворення Фур’є-Лапласа в класах узагальнених функцій - Автореферат

Відзначимо, що для випадку самоспряжених операторів, опираючись на спектральну теорію, функціональне числення в просторах узагальнених функцій розвинено у роботах М.Л. Операторне перетворення Фурє-Лапласа в згорткових алгебрах узагальнених функцій Шварца та ультрарозподілів типу Жевре, яке розвивається в дисертаційній роботі, безпосередньо повязано з актуальними проблемами теорії узагальнених функцій і ультрарозподілів, а саме, існуванням згорток та узагальнених граничних значень, а також з проблемами їх ділення і множення. Операторне перетворення Фурє-Лапласа дає ефективний метод для дослідження операторних диференціальних рівнянь та рівнянь з частинними похідними в просторах узагальнених функцій. Отже, коло проблем, повязаних з тематикою даної роботи, охоплює значну частину теорії операторів в банахових просторах, тензорних добутків локально опуклих топологічних просторів, а також теорію розподілів Шварца та ультрарозподілів класу Жевре, теорію абстрактних диференціальних рівнянь, що говорить про актуальність теми дисертаційного дослідження. У роботі вперше побудовано операторне перетворення Фурє-Лапласа в згорткових алгебрах узагальнених функцій Шварца та ультрарозподілів типу Жевре з носіями в-вимірних конусах; доведено теореми про зображення таких згорткових алгебр у вигляді комутанта-параметричної напівгрупи зсувів над простором нескінченно диференційовних фінітних функцій з носіями в-вимірному конусі та ультрадиференційовних функцій класу Жевре в додатному-вимірному куті; описано функціональне числення в Фурє-образах таких згорткових алгебр для генераторів-параметричних сильно неперервних операторних напівгруп; наведено ряд прикладів застосування побудованого функціонального числення, зокрема, до зображення мультиплікативних степенів та узагальнених похідних дельта-функції Дірака від генераторів тензорного добутку однопараметричних напівгруп операторів дробового інтегрування.Для довільного розподілу та функції визначаємо операцію для довільних Лема 2.2.2 стверджує, що оператор крос-кореляції , визначений рівністю , є неперервним над простором . Розглянемо алгебру лінійних неперервних відображень над простором з топологією рівномірної збіжності на компактах. Відображення здійснює топологічний ізоморфізм згорткової алгебри розподілів на комутант напівгрупи операторів в алгебрі . Розглянемо алгебру лінійних неперервних операторів над простором з топологією рівномірної збіжності на компактах. Визначимо оператор вигляду і задамо відображення , де оператор діє на функцію за формулоюУ дисертації описано топологічні властивості просторів дуальних пар та розподілів Шварца з носіями в довільному конусі та ультрарозподілів типу Жевре в додатному-вимірному конусі. У роботі описано операторне перетворення Фурє-Лапласа у формі функціонального числення для генераторів-параметричних напівгруп класу (С0) над деяким банаховим простором в Фурє-образах згорткових алгебр розподілів Шварца та ультрарозподілів типу Жевре.

2. Основний зміст роботи