Обернена задача розсіяння для неермітових систем диференціальних рівнянь - Автореферат

Дисертаційну роботу присвячено оберненим задачам розсіяння (ОЗР) для операторів Шредінґера з неермітовими, у тому числі трикутними, матричними потенціалами на півосі та на осі. Умовному розвязку несамоспряженої оберненої задачі розсіяння на осі з матричним потенціалом класу , якщо відомо, що задані величини є даними розсіяння, при відсутності спектральних особливостей і в припущенні, що дискретний спектр скінченний і коефіцієнти проходження праворуч та ліворуч мають лише прості полюси, присвячено роботу Е. Ольмедилли. Будь-які дослідження в цій області, у тому числі - знаходження характеристичних властивостей даних розсіяння задачі з неермітовим потенціалом, зокрема з трикутним, на осі, а також на півосі, є актуальними. · Застосувати в теорії ОЗР введене поняття фазово-еквівалентних матричних потенціалів: знайти необхідні і достатні умови на дані розсіяння для того, щоб потенціал задачі був фазово-еквівалентний з ермітовим потенціалом, та щоб задані два матричних потенціали були фазово-еквівалентні між собою; знайти умови на припустимі, у тому числі неермітові, збурення нормувальних матриць, які не виводять із класу задач з матричними потенціалами, фазово-еквівалентними одному й тому ж ермітовому потенціалу. У дисертаційній роботі отримано наступні нові результати: - вперше встановлено характеристичні властивості даних розсіяння для задачі з трикутним матричним потенціалом, що має перший момент на півосі, дійсний на діагоналі та без віртуального рівня; вперше знайдено властивості матричних нормувальних поліномів для даної задачі розсіяння;У першому розділі розглянуто задачу розсіяння для системи радіальних рівнянь Шредінґера з матричним потенціалом , і умовою : (1) Введено ряд понять, узагальнюючих для матричних потенціалів і задач відоме для скалярної задачі поняття фазової еквівалентності, а саме поняття: фазової еквівалентності, коли задачам розсіяння відповідають одночасно однакові матриці і однакові тильда-матриці Йоста; фазової напівеквівалентності або фазової тильда-напівеквівалентності, коли задачам відповідають однакові матриці Йоста або однакові тильда-матриці Йоста. Якщо задача фазово-еквівалентна (ФЕ) ермітовій задачі, то таку задачу називаємо квазіермітовою, якщо ж задача фазово-напівеквівалентна (ФН) або фазово-тильда-напівеквівалентна (ФТН) ермітовій, називаємо її напівермітовою. Даними розсіяння задачі (1) з простими полюсами і без спектральних особливостей називаємо набір величин Усе це дало змогу для введених класів неермітових (а саме, напівермітових) задач поширити теорему Марченка-Аграновича про характеристичні властивості даних розсіяння самоспряжених систем рівнянь Шредінґера.У дисертації розвязано обернену задачу розсіяння для систем Шредінґера з трикутним матричним потенціалом на півосі та на осі, а також з іншими класами неермітових матричних потенціалів, побудованих за допомогою введеного поняття фазово-еквівалентних матричних потенціалів. Отримано нові результати, що становлять інтерес для фахівців в галузі математичної фізики та її застосувань і можуть бути використані як у теорії розсіяння, так і при інтегруванні нелінійних рівнянь математичної фізики. Встановлено характеристичні властивості даних розсіяння для неермітової задачі на півосі з трикутним матричним потенціалом (дійсним на діагоналі та без віртуального рівня) і, зокрема, знайдено властивості матричних нормувальних поліномів для даної задачі розсіяння. Для цієї задачі однозначна розвязність рівняння Марченка доведена, виходячи з установлених властивостей даних розсіяння. При цьому, якщо відомі розвязки самоспряжених скалярних обернених задач розсіяння, що відповідають діагональним елементам даних розсіяння, то розвязок вказаної матричної оберненої задачі розсіяння отримано в явному вигляді.

2. Основний зміст роботи