Обернена задача наближення та оцінки норм цілих функцій експоненціального типу і многочленів - Автореферат

Цим самим була розвязана (в позитивному сенсі) задача: зясувати, чи для будь-якої монотонно незростаючої та збіжної до нуля послідовності дійсних чисел існує така функція , що , , (1) де - сукупність алгебраїчних многочленів степеня не вище , . Задачі такого роду прийнято називати оберненими задачами теорії наближення. Дійсно, коли в якійсь оберненій теоремі на основі властивостей послідовності величин найкращих наближень функції (наприклад, швидкості збіжності цієї послідовності до нуля) робляться висновки про диференціально-різницеві характеристики самої функції, то важливо гарантувати, що знайдеться хоч одна функція, послідовність величин найкращих наближень якої має задані властивості. Бернштейна зводить питання про існування такої функції до питання про існування звичайної числової послідовності з властивостями, виконання яких вимагається в умові відповідної оберненої теореми. Під монотонним (комонотонним) наближенням розуміють наближення заданої монотонної (кусково-монотонної) функції монотонними многочленами (відповідно, кусково-монотонними многочленами, котрі мають ті ж самі проміжки і той же напрямок монотонності на цих проміжках, що і сама функція).Другий розділ присвячено встановленню необхідної та достатньої умови розвязності багатопараметричної оберненої задачі наближення в цілими функціями експоненціального типу багатьох змінних, а також дослідженню розвязності деяких допоміжних та споріднених обернених задач. У підрозділі 2.1 встановлюються умови розвязності (взагалі кажучи, допоміжної) багатопараметричної оберненої задачі наближення в функціями з заданими носіями. , , - простір-вимірних числових функцій на , для яких величина скінченна, причому рівні майже скрізь функції вважаємо рівними ( - норма для ). Задача полягає у зясуванні, за яких умов на функцію існує такий елемент , що , , (3) або, що те саме, , . Для існування функції , що задовольняє співвідношення (3), необхідно і достатньо, щоб функція була неспадною за сукупністю змінних, неперервною справа на , , , а також (тобто міра була абсолютно неперервною відносно міри ).У підрозділі 4.1 наводиться нова оцінка рівномірної норми тригонометричного полінома порядку не вище через його інтегральну норму, котра важлива для подальшого. Вимірну за Лебегом функцію назвемо допустимою зі сталою , якщо вона задовольняє наступним умовам: 1) Нехай також і функція така, що її модуль для кожного як функція однієї-ї змінної при всіх фіксованих інших змінних є допустимою функцією з Тоді для довільного алгебраїчного полінома , степінь якого по-й змінній не вище, ніж , виконується нерівність Ця нерівність виконується для алгебраїчних многочленів степеня не вищого, ніж , при всіх та алгебраїчних многочленів степеня не вищого, ніж , при всіх .У дисертації проведено дослідження умов розвязності багатопараметричної оберненої задачі наближення в цілими функціями експоненціального типу багатьох змінних, встановлено аналоги деяких відомих нерівностей для норм таких функцій та алгебраїчних многочленів, а також зясовано, істинним чи хибним є для комонотонного наближення аналог другої нерівності Джексона з узагальненим модулем неперервності Діціана - Тотіка при певних значеннях параметрів. Знайдено необхідну та достатню умову розвязності багатопараметричної оберненої задачі наближення в цілими функціями експоненціального типу багатьох змінних і наведено явну формулу для розвязку цієї оберненої задачі.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ