Объемы и поверхности тел вращения - Реферат

Пусть даны две параллельные плоскости a и a1 и на плоскости a фигура К, ограниченная замкнутой линией l (рис.1.1,а). Цилиндром называется тело, образованное заключенными между двумя параллельными плоскостями отрезками всех параллельных прямых, пересекающих фигуру К в одной из плоскостей. Когда точка Х при движении описывает фигуру К, тогда отрезки XX1 параллельных прямых образуют цилиндр. Отрезки с одним концом на линии l, ограничивающей фигуру К, называются образующими цилиндра, линия l - направляющей цилиндра, фигуры К и К1 в плоскостях a и a1 - основаниями цилиндра. Круговым называется цилиндр, основанием которого является круг, при этом направляющей l является окружность (рис.1.1,б).Круговым конусом называется тело, образованное всеми отрезками, соединяющими данную точку - вершину конуса - с точками круга - основания конуса. Соединим каждую точку Х круга К с точкой S отрезком XS. Конус называется прямым, если прямая, соединяющая его вершину с центром основания, перпендикулярна к плоскости основания. Будем рассматривать только прямой круговой конус, и называть его просто конусом. Отрезки, соединяющие вершину конуса с точками окружности основания, называются образующими конуса.Шаром называется тело, которое состоит из всех точек пространства, находящихся на расстоянии, не большем данного, от некоторой фиксированной точки. Данные точка и расстояние называются соответственно центром и радиусом шара. Отрезок AB, соединяющий две точки сферы и проходящий через ее центр, называется диаметром сферы (шара). Возьмем произвольную точку - X шара, принадлежащую плоскости a, и соединим ее с точками О и А. Следовательно, любая точка сечения шара плоскостью a находится от точки А на расстоянии, не большем, чем .Объем цилиндра равен произведению площади основания на высоту: V =SOCHH, где S - площадь основания цилиндра; Н - высота. Доказательство проведем для прямого кругового цилиндра (рис.11.9). Построим две прямые призмы Ф1 и Ф2 высотой Н, равной высоте цилиндра, и основаниями соответственно Р1 и Р2, где Р1 и Р2 - два n-угольника, один из которых P1 вписан в основание цилиндра, другой P2 - описан. Призма Ф1 содержится в цилиндре, Ф1 содержит цилиндр, поэтому где I1, I2 - сколь угодно малые величины, стремящиеся к нулю при увеличении числа сторон n так, чтобы длины сторон n-угольника стремились к нулю. Отсюда следует, что объем цилиндраЗная абсциссу x, можно вычислить площадь S = S (x) - сечения тела Ф плоскостью, перпендикулярной к оси x и проходящей через точку с абсциссой x, т.е. площадь сечения является функцией от x. Если для данной фигуры известны площади S = S(x) всех ее поперечных сечений плоскостями, перпендикулярными к некоторому данному направлению, принятому за ось x, а? x ? b, то объем тела Ф вычисляем по формуле Обозначим длины этих отрезков: Через точки деления проведем плоскости, перпендикулярные к оси х, которые разобьют данное тело на элементарные тела объемами DV1 , DV2, ... Объем V определяет предел, к которому стремится последовательность сумм Vn объемов цилиндров при условии, что max Dxk®?: Если S(х) - непрерывная функция на отрезке [а,b], то этот предел существует, не зависит от точек разбиения xn и от выбора точки L на каждом элементарном отрезке и равен определенному интегралу от функции S (х) на отрезке [а,b]: Следствие. Объем тела вращения, т.е. объем тела, полученного при вращении вокруг оси х криволинейной трапеции, ограниченной осью х, прямыми х = а, х = b и кривой у=f(x), вычисляется по формулеРазличают площадь боковой Sбок цилиндра и площадь S поверхности цилиндра. Площадью поверхности цилиндра называют сумму площадей боковой поверхности и площадей оснований цилиндра. Тело Fh, о котором говорится в определении, заключено между цилиндрическими поверхностями, радиусы которых R h, R-h (h>0), и двумя плоскостями, перпендикулярными к оси цилиндра и отстоящими на расстоянии Н 2h (рис. Площадь поверхности S подвала складывается из площади Sп пола (прямоугольник), площади Sб боковой поверхности полуцилиндра и площади Sk двух полукругов: Задача 3.5.

СОДЕРЖАНИЕ конус цилиндр многогранник шар

1. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

1.1 ЦИЛИНДР

1.2 КОНУС

1.3 ШАР

2. ОБЪЕМЫ ТЕЛ

2.1 ОБЪЕМЫ МНОГГРАННИКОВ

2.2 ОБЪЕМЫ ТЕЛ С ИЗВЕСТНЫМИ ПЛОЩАДЯМИ ПОПЕРЕЧНЫХ СЕЧЕНИЙ

3. ПЛОЩАДИ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ

3.1 ПЛОЩАДЬ ПОВЕРХНОСТИ ТЕЛ ВРАЩЕНИЯ

ЛИТЕРАТУРА

1. ТЕЛА ВРАЩЕНИЯ

1.1 ЦИЛИНДР