О геометрии Лобачевского - Реферат

Геометрия Лобачевского (гиперболическая геометрия) - одна из неевклидовых геометрий, геометрическая теория, основанная на тех же основных посылках, что и обычная евклидова геометрия, за исключением аксиомы о параллельных, которая заменяется на аксиому о параллельных Лобачевского. Евклидова аксиома о параллельных гласит: - через точку, не лежащую на данной прямой, проходит только одна прямая, лежащая с данной прямой в одной плоскости и не пересекающая ее. В геометрии Лобачевского, вместо нее принимается следующая аксиома: - через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, лежащие с данной прямой в одной плоскости и не пересекающие ее. Источником геометрии Лобачевского послужил вопрос об аксиоме о параллельных, которая известна также как V постулат Евклида (под этим номером утверждение, эквивалентное приведенной выше аксиоме о параллельных, фигурирует в списке постулатов в «Началах» Евклида).Если точкам и прямым на конечном куске плоскости Лобачевского сопоставлять точки и кратчайшие линии (геодезические) на псевдосфере и движению в плоскости Лобачевского сопоставлять перемещение фигуры по псевдосфере с изгибанием, то есть деформацией, сохраняющей длины, то всякой теореме геометрии Лобачевского будет отвечать факт, имеющий место на псевдосфере.В 1871 Клейн предложил первую полноценную модель плоскости Лобачевского. Плоскостью служит внутренность круга, прямой - хорда круга без концов, а точкой - точка внутри круга. «Движением» назовем любое преобразование круга в самого себя, которое переводит хорды в хорды.За плоскость Лобачевского принимается внутренность круга, прямыми считаются дуги окружностей, перпендикулярных окружности данного круга, и его диаметры, движениями - преобразования, получаемые комбинациями инверсий относительно окружностей, дуги которых служат прямыми.Другое аналитическое определение геометрии Лобачевского состоит в том, что геометрия Лобачевского определяется как геометрия риманова пространства постоянной отрицательной кривизны. Это определение было фактически дано еще в 1854 Риманом и включало модель геометрии Лобачевского как геометрии на поверхностях постоянной кривизны. Лобачевский строил свою геометрию, отправляясь от основных геометрических понятий и своей аксиомы, и доказывал теоремы геометрическим методом, подобно тому, как это делается в геометрии Евклида. Основой служила теория параллельных линий, т. к. именно здесь начинается отличие геометрии Лобачевского от геометрии Евклида. Приведем несколько фактов геометрии Лобачевского, отличающих ее от геометрии Евклида и установленных самим Лобачевским: 1) В геометрии Лобачевского не существует подобных, но неравных треугольников; треугольники равны, если их углы равны.Среди аксиом Евклида была аксиома о параллельности прямых, а точнее, пятый постулат о параллельных линиях: если две прямые образуют с третьей по одну ее сторону внутренние углы, сумма которых меньше развернутого угла, то такие прямые пересекаются при достаточном продолжении с одной стороны. В современной формулировке она говорит о существовании не более одной прямой, проходящей через данную точку вне данной прямой и параллельной этой данной прямой. Лобачевского в России возникла мысль о существовании геометрии, в которой верна аксиома: на плоскости через точку, не лежащую на данной прямой, проходят по крайней мере две прямые, не пересекающие данную. Аксиоматика планиметрии Лобачевского отличается от аксиоматики планиметрии Евклида лишь одной аксиомой: аксиома параллельности заменяется на ее отрицание - аксиому параллельности Лобачевского Найдутся такая прямая a и такая не лежащая на ней точка· Какова бы ни была прямая, существуют точки, принадлежащие этой прямой, и точки, не принадлежащие ей.· Каждый отрезок имеет определенную длину, большую нуля.· Пусть A и B - любые две точки прямой a и пусть и - совокупности всех точек отрезка AB, таких, что и любая точка из лежит по ту же сторону, что и точка· Каждый угол имеет определенную градусную меру, большую нуля. Градусная мера угла равна сумме градусных мер углов, на которые он разбивается любым лучом, проходящим между его сторонами.· Через точку, не лежащую на данной прямой, можно провести на плоскости не более одной прямой, параллельной данной. · Построение модели Пуанкаре начнем с того, что придадим конкретный смысл основным объектам и основным отношениям планиметрии Лобачевского. Точками плоскости Лобачевского считаются точки плоскости E, лежащие выше абсолюта x. Таким образом, в модели Пуанкаре плоскость Лобачевского - это полуплоскость L, лежащая выше абсолюта.Существование таких зависимостей между длинами отрезков и углами означает, что на плоскости Лобачевского нет подобных фигур. Например, на плоскости Лобачевского справедлив признак равенства треугольников: если углы одного треугольника соответственно равны углам другого треугольника, то такие треугольники равны. Разность между 180° и суммой углов треугольника называется избытком треугольника. Оказывается, что на плоскости Лобачевского

Содержание

Введение

1. Модели геометрии Лобачевского

1.1 Псевдосфера

1.2 Модель Клейна

1.3 Модель Пуанкаре

1.4 Поверхность постоянной отрицательной кривизны

2. Содержание геометрии Лобачевского

3. Аксиоматика евклидовой геометрии

Заключение

Список использованной литературы