Інваріантні тори зліченних систем різницевих рівнянь, що містять відхилення дискретного аргументу - Автореферат

Самойленко запропонував новий метод побудови і дослідження інваріантних тороїдальних многовидів систем звичайних диференціальних рівнянь, визначених на m-вимірних торах. Тепер цей метод називають методом функції Гріна-Самойленка (ФГС) задачі про інваріантні тори. Теплінського вказаний метод застосовано до дослідження інваріантних торів зліченних систем диференціальних рівнянь, визначених на торах. Протягом останнього десятиріччя опубліковано декілька наукових праць, в яких метод ФГС застосовано до дослідження інваріантних торів зліченних систем диференціально-різницевих та різницевих рівнянь. Для зліченних систем різницевих рівнянь, які містять відхилення дискретного аргументу, одержано наступні результати, що визначають наукову новизну і виносяться на захист:-запропоновано різні достатні умови неперервності та неперервної диференційованості інваріантного тору лінійної системи рівнянь, визначеної на скінченновимірному торі, за кутовою змінною та дійсним параметром ;(або рівняння (1.1)) має ФГС, якщо існують матрицант рівняння (1.2) і 2 - періодична відносно обмежена за нормою нескінченна матриця така, що функція задовольняє нерівність для всіх , де і - додатні сталі, що не залежать від - нескінченна одинична матриця. Для системи (1.4) доведено наступне твердження, яке навіть у випадку, коли відхилення дискретного аргументу відсутні, суттєво розширює множину систем лінійних рівнянь, для яких існує інваріантний тор, що розглядалися в роботах Д.І. Нехай при існує ФГС рівняння і виконуються умови: 1)при будь-яких і р = 0 це рівняння має єдиний обмежений на множині Z розвязок Зауважимо, що результати, одержані в підрозділі 1.1, зберігаються у випадку, коли тор, на якому розглядається система рівнянь (1.1), є нескінченновимірним, тобто У підрозділі 1.2 вивчено питання диференційовності інваріантного тору системи рівнянь (1.1) за параметром та кутовою змінною . Нехай існує обмежена за нормою обернена до матриця, виконується умова 1 теореми 1.3, де - сталий вектор, і , причому де С - додатна стала, що не залежить від та .

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ

Для зліченних систем різницевих рівнянь, визначених на торах, одержано наступні основні результати : -за допомогою методу ФГС запропоновано різні достатні умови неперервності інваріантного тору лінійної системи рівнянь, визначеної на торі, за кутовою змінною та сукупністю змінних де - дійсний параметр;

-запропоновано різні достатні умови неперервної диференційованості інваріантного тору лінійної системи, визначеної на скінченновимірному торі, в залежності від обмежень, що накладаються на неї і, зокрема, на задані відхилення ;

-методом укорочення знайдено достатні умови неперервної диференційованості за кутовою змінною та параметром до порядку інваріантного тору системи лінійних рівнянь, що визначена на скінченновимірному торі, містить відхилення дискретного аргументу і залежить від дійсного числового параметру;

-наведено достатні умови існування та неперервної диференційованості за Фреше відносно інваріантних торів лінійних, квазілінійних і нелінійних систем, визначених на нескінченновимірних торах, з параметром , який належить простору обмежених послідовностей дійсних чисел, та незалежними відхиленнями дискретного аргументу. Зокрема розглянуто випадки, коли ФГС заданої системи рівнянь безпосередньо виписується ;

-побудовано пять нетривіальних ілюстративних прикладів.

Більшість з одержаних результатів можна без особливих ускладнень перенести на випадок різницевих рівнянь, визначених у абстрактному банаховому просторі.

1. Marchuk N.A. On continuity of the invariant torus for countable system of difference equations dependent on parameters // Nonlinear oscillations.- 2001. - 4, №3.- P. 316-325.

2. Теплінський Ю.В., Марчук Н.А. Про гладкість інваріантного тора зчисленної системи різницевих рівнянь з параметрами // Укр. мат. журн. -2001.- 53, № 9. - С. 1241-1250.

3. Теплінський Ю.В., Марчук Н.А. Про гладкість інваріантного тора зчисленної системи різницевих рівнянь // Доп. НАН України. - 2002.- №2.- С.33-37.

4. Теплінський Ю.В., Марчук Н.А. Про - гладкість інваріантного тора зчисленної системи різницевих рівнянь, визначеної на m - вимірному торі // Нелінійні коливання.- 2002.- 5, №2.- С.251-265.

5. Теплінський Ю.В., Марчук Н.А. Про диференційованість в сенсі Фреше інваріантних торів зчисленних систем різницевих рівнянь, визначених на нескінченновимірних торах // Укр. мат. журн.-2003.- 55, №1.-С.75-90.

6. Теплінський Ю.В., Марчук Н.А. Про диференційованість у сенсі Фреше інваріантного тора нелінійної зліченної системи різницевих рівнянь, що визначена на нескінченновимірному торі і містить відхилення дискретного аргументу // Нелінійні коливання.- 2003.- 6, №2.- С.260-278.

7. Марчук Н.А. Про існування інваріантного тора зчисленної системи різницевих рівнянь зі зсувом // Зб. Наук. пр. Камянець- Подільського держ. пед. ун-ту. Серія фізико-математична.-2000.-Вип.5.-С.86-92.

8. Теплінський Ю.В., Марчук Н.А. Метод укорочення в дослідженні гладкості інваріантного тора зчисленної системи різницевих рівнянь з параметрами // Зб. Наук .пр. Камянець-Подільського держ. пед. ун-ту. Серія фізико-математична.- 2000.-Вип.5.-С.117-126.

9. Марчук Н.А. Про гладкість Z - дихотомічного інваріантного тора зчисленної системи різницевих рівнянь з параметрами, визначеної на скінченновимірному торі // Зб. Наук. пр. Кам”янець-Подільського держ. пед. ун-ту. Серія фізико-математична.- 2002.-Вип.6.-С.86-92.

10. Марчук Н.А. Про існування інваріантного тора зчисленної системи різницевих рівнянь, що визначена на нескінченновимірному торі і містить відхилення дискретного аргументу // Крайові задачі для диференціальних рівнянь.-Чернівці: Прут, 2002.- Вип.7.- С.160-170.

11. Марчук Н.А. О существовании непрерывного инвариантного тора счетной системы разностных уравнений с параметрами // УШ Міжнародна наукова конференція імені академіка М.Кравчука. Матеріали конференції. -Київ.-2000.-С.150.

12. Теплинский Ю.В., Марчук Н.А. О гладкости инвариантных торов счетных систем разностных уравнений с параметрами.Тези доповідей міжнародної конференції “ Диференціальні та інтегральні рівняння”.- Одеса.-2000.-С.265-266.

13. Марчук Н.А. Метод укорочення в дослідженні гладкості інваріантного тора зчисленної системи різницевих рівнянь // Труды Х Международного симпозиума “Методы дискретных особенностей в задачах математической физики.”.-Харьков.-2001.- С.212-216.

14. Теплінський Ю.В., Марчук Н.А. Про гладкість інваріантних торів зчисленних систем різницевих рівнянь, визначених на торах // Тези доповідей Міжнародної конференції “Диференціальні рівняння і нелінійні коливання”. - Київ.- 2001.-С.157.

15. Марчук Н.А. Про існування та диференційованість за Фреше інваріантного тора нелінійної зчисленної системи різницевих рівнянь, визначеної на нескінченновимірному торі // Міжнародна наукова конференція “Теорія еволюційних рівнянь (Пяті Боголюбовські читання)”. Тези .- Камянець-Подільський.-2002.- С.116.

16. Теплінський Ю.В., Марчук Н.А. Інваріантні тори зліченних систем різницевих рівнянь, що містять відхилення дискретного аргументу // Тези доповідей Міжнародної конференції “Шості Боголюбівські читання”.- Чернівці.- 2003.-С.222.