Інтерполяційні формули в гільбертовому просторі, асимптотично точні на поліномах - Автореферат

В багатьох наукових та прикладних областях, наприклад, інтелектуальному аналізі даних (data mining), медицині, економіці, екології, біології, генетиці, оптиці, балістиці тощо існує значна кількість нелінійних систем, математичні моделі яких можуть бути подані у вигляді операторних поліномів відповідного степеня. Крім того, існування теорем в абстрактних просторах, що обґрунтовують можливість наближення довільного неперервного оператора поліноміальним, дозволяє звести вивчення багатьох нелінійних структур загального вигляду до вивчення їх поліноміальних наближень. Оскільки операторна інтерполяція є одним із методів наближення операторів, то всі ці фактори пояснюють актуальність та необхідність розвитку як теоретичного, так і прикладного напрямків досліджень в області поліноміального операторного інтерполювання у просторах елементів будь-якої природи, зокрема, у гільбертових. Хлобистова, де знайдено множину вузлів інтерполювання, на якій інтерполяційна формула типу Лагранжа на заданій множині поліноміальних операторів має властивості єдиності, асимптотичного (в сенсі зростання числа вузлів інтерполяції) збереження поліномів того ж степеня та належить множині операторних поліномів достатньо простої структури. Всі перераховані вище фактори пояснюють актуальність та доцільність подальшого розвитку напрямку теорії поліноміального операторного інтерполювання в абстрактному гільбертовому просторі, повязаного з побудовою та дослідженням інтерполяційних формул нових, відмінних від відомих в літературі, простих структур, що мають властивості єдиності та асимптотичної точності на поліномах відповідного степеня.В підрозділі 2.1 визначено структуру операторного інтерполянта, сформульовано загальну постановку інтерполяційної задачі та умови її розвязності, доведено асимптотичну точність інтерполяційної формули на поліномах того ж степеня. Нехай - гільбертові простори ( - сепарабельний), - оператор (в загальному випадку нелінійний), - перші елементів ортонормального базису в, - підпростір, що утворений цими елементами, - множина операторних поліномів-го степеня вигляду, де --й операторний степінь, що отриманий з-лінійного неперервного симетричного оператора коли ; - множина операторних поліномів степеня вигляду Будь-який операторний інтерполянт з множини коефіцієнти якого визначені однозначно з інтерполяційних умов на підпросторі на є точним на поліномах, а на всьому просторі - асимптотично (в сенсі зростання значення ) точним. Сформулюємо наступну задачу поліноміального операторного інтерполювання: для оператора на підпросторі визначити такі інтерполяційні умови, що дозволяють на множині побудувати інтерполянти з однозначно визначеними коефіцієнтами, за будь-яким, та розробити методи конструктивної побудови відповідних інтерполяційних формул. В підрозділі 2.2 для оператора, разів диференційованого за Гато в абстрактному гільбертовому просторі, наведено інтерполяційні умови Ерміта в одному вузлі, що забезпечують однозначну побудову інтерполянта з множини, асимптотично точного на поліномах відповідного степеня, та на основі даних умов конструктивно побудовано інтерполяційний поліном.В підрозділі 3.1 для поліноміальних операторів знайдено оцінки точності інтерполянтів, асимптотично точних на поліномах, в метриках простору значень оператора та передгільбертового простору операторних поліномів. Нехай - гільбертів простір зі скалярним добутком, - передгільбертів простір операторних поліномів зі скалярним добутком та нормою де --лінійні неперервні симетричні операторні форми, що відповідають поліномам . Результат дослідження точності інтерполювання оператора поліномом (1), що асимптотично зберігає поліноми того ж степеня, в метриці простору, відображений у наступному твердженні. Нехай - гільбертові простори ( - сепарабельний), - оператор, аналітичний за Гато в просторі. Нехай тепер - сепарабельний гільбертів, - лінійний нормований простори, а - оператор, разів диференційований за Фреше в, - залишковий член формули Тейлора для оператора .В дисертаційній роботі поставлена та розвязана задача конструктивної побудови на множині та аналізу точності в абстрактному гільбертовому просторі інтерполяційних операторних поліномів Ерміта та Ерміта-Біркхофа нової, достатньо простої структури, що мають властивості єдиності на цій множині та асимптотичного збереження поліномів відповідного степеня. В абстрактному гільбертовому просторі знайдено множину операторних поліномів достатньо простої структури, на якій інтерполяційні формули визначаються однозначно з інтерполяційних умов, заданих на підпросторі. На підпросторі знайдено інтерполяційні умови Ерміта в одному вузлі, типу Абеля-Гончарова та частинні випадки умов Ерміта та Ерміта-Біркхофа, що забезпечують однозначну побудову на множині операторних інтерполянтів, асимптотично точних на поліномах відповідного степеня. Для оператора, диференційованого за Гато в просторі, на основі знайдених інтерполяційних умов конструктивно побудовано інтерполянти Ерміта та Ерміта-Біркхофа, що мають властивості

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ