Дослідження нетривіального зв’язку між нелінійною системою Деві-Стюартсона і матричною ієрархією Бюргерса. Узагальнення відомих моделей теорії солітонів разом з їх зображеннями Лакса в алгебрі скалярних і матричних інтегродиференціальних операторів.
Зроблене невдовзі фундаментальне відкриття Пітером Лаксом можливості застосування аналогічних методів дослідження для інших нелінійних динамічних систем викликало справжню наукову революцію у нелінійній фізиці, що суттєво змінило погляди і підходи до багатьох нелінійних моделей сучасного природознавства. Відкритий Лаксом глибокий алгебраїчний механізм, що лежить в основі процедури інтегрування рівняння KDV, побудова теорії рівняння KDV, як гамільтонової системи (Л.Д. Gardner) і подальший розвиток математичного апарату досліджень на прикладі, в першу чергу, таких моделей, як: нелінійне рівняння Шредінгера (НРШ, NS), рівняння sine-Gordon (SG) та модифіковане рівняння KDV (MKDV) - призвели до того, що на початку 70-х років ХХ століття на стику багатьох дисциплін (диференціальні рівняння і математична фізика, теоретична фізика, функціональний аналіз, теоретико-груповий аналіз, алгебраїчна геометрія та інші) виник окремий підрозділ сучасного природознавства - теорія солітонів (МОЗР - метод оберненої задачі розсіяння, теорія інтегровних динамічних систем, тощо). В класичному варіанті МОЗР ключову роль при дослідженні як задачі Коші, так і при побудові точних розвязків для нелінійної моделі, відіграють операторне зображення Лакса (пара Лакса) і рівняння Марченка - Гельфанда - Левітана оберненої задачі для одного з лінійних операторів комутуючої пари Лакса. Це дозволило дослідити такі фізично важливі багатовимірні системи як рівняння Деві - Стюартсона (просторово-двовимірні узагальнення НРШ), просторові узагальнення рівнянь KDV та деякі інші майже з тією ж повнотою, що й методом Фурє в лінійному випадку.У вступі проаналізовано сучасний стан досліджень з теорії інтегровних систем.В підрозділі 2.2 встановлюється нетривіальний звязок перших двох представників цієї ієрархії з нелокально редукованою системою рівнянь, асоційованих з нелінійною моделлю Деві - Стюартсона. Розглянуто різні типи відомих редукцій цієї ієрархії та системи, що є їх наслідками. Ієрархію Кадомцева - Петвіашвілі будемо називати ермітовою-редукованою при накладанні додаткових обмежень на оператор : Рівняння (2) з редукцією (3) при , рівносильні багатокомпонентному узагальненню моделі Яджими - Ойкави, яка описує взаємодію пакету навколозвукових ленгмюрівських хвиль у фізиці плазми: де , а при , , - його вищій версії: Теорема 3.7. Нехай: a), є комплекснозначною-компонентною вектор-функцією змінної та еволюційних параметрів , , інтегровною з квадратом по на лівій півосі, яка є розвязком системи рівнянь. Нехай: a), є комплекснозначною-компонентною вектор-функцією змінної та еволюційних параметрів , , , яка є розвязком системи рівнянь: b) Матриця є ермітовою ().У дисертаційній роботі розвивається метод нелокальних бінарних операторних перетворень типу Беклунда - Дарбу, запропонований Ю.М. Доведені в дисертаційній роботі теореми про структуру широких класів часткових розвязків досліджуваних моделей та явні формули для цих класів можуть мати прикладні застосування при їх подальшому якісному аналізі. Результати і методи дисертаційної роботи можуть бути використані як для розвитку самого формалізму методу оберненої задачі, так і в різних інших областях математичної та теоретичної фізики.
План
2. Основний зміст роботи
Вывод
У дисертаційній роботі розвивається метод нелокальних бінарних операторних перетворень типу Беклунда - Дарбу, запропонований Ю.М. Сидоренком для інтегрування ієрархії рівнянь Кадомцева - Петвіашвілі з нелокальними вязями.
Продемонстрована ефективність методу при інтегруванні Лаксових рівнянь як з диференціальними, так і з інтегродиференціальними асоційованими спектральними задачами.
Значна кількість досліджуваних в дисертації операторів Лакса є новими і побудованими в роботі вперше, інша частина є добре відомими операторними редукціями Конопельченка - Сидоренка - Штрамппа (k-CKPH) та Євела - Штрамппа (k-CMKPH).
Доведені в дисертаційній роботі теореми про структуру широких класів часткових розвязків досліджуваних моделей та явні формули для цих класів можуть мати прикладні застосування при їх подальшому якісному аналізі.
Результати і методи дисертаційної роботи можуть бути використані як для розвитку самого формалізму методу оберненої задачі, так і в різних інших областях математичної та теоретичної фізики. А саме, при постановці і дослідженні прямих і обернених задач теорії розсіяння для інтегродиференціальних рівнянь з інтегральною частиною типу Вольтерри; при дослідженні асимптотичних властивостей розвязків конкретних нелінійних моделей, де значні досягнення пріоритетного характеру належать українським науковцям (Харківська група В.А. Марченка - Є.Я. Хруслова - В.П. Котлярова з учнями і співробітниками).
Список литературы
1. Беркела Ю.Ю., Сидоренко Ю.М. Векторно-матричні узагальнення бігамільтонових динамічних систем та їх інтегрування // Математичні студії. - 2005. - Т.23, №1. - С. 31-51.
2. Беркела Ю., Сидоренко Ю. Нелінійна модель типу Ішиморі як редукція неканонічної ієрархії Кадомцева - Петвіашвілі // Вісник Львів. унів. Сер. мех.-мат. - 2001. - Вип. 59. - C. 74-83.
4. Berkela Yu.Yu. Exact solutions of matrix generalizations of some integrable systems // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2002. - Vol.43, Part 1. - P. 296-301.
5. Berkela Yu. Integration of Bi-hamiltonian Systems by Using the Dressing Method // Proceedings of Institute of Mathematics of NAS of Ukraine. - 2004. - Vol.50, Part 1. - P. 319-324.
6. Berkela Yu.Yu. Matrix analogues of Burgers equations // Укр. фіз. журн. - 1998. - Т.43, №7. - C. 776-780.
7. Berkela Yu.Yu. On a construction of some classes of exact solutions for a modified Higgs model // Математичні студії. - 2002. - Т.18, №2. - С. 197-207.
8. Berkela Yu.Yu., Sidorenko Yu.M. The exact solutions of some multicomponent integrable models // Математичні студії. - 2002. - Т.17, №1. - С. 47-58.
9. Беркела Ю. Інтегрування бігамільтонових систем методом одягаючих перетворень // Тези доповідей Міжнарод. матем. конф. ім. В.Я. Скоробогатька, Дрогобич, 27.9.-1.10. 2004. - С. 23.
10. Беркела Ю.Ю. Інтегрування систем із модифікованої ієрархії Кадомцева - Петвіашвілі з нелокальними вязями // Тези доповідей III Всеукр. наук. конф. “Нелінійні проблеми аналізу”, Івано-Франківськ, 9-12 вересня, 2003. - С. 10.
11. Беркела Ю.Ю. Перетворення типу Дарбу для деяких інтегродиференціальних зображень Лакса // Тези допов. Міжн. конф. “Комплексний аналіз та його застосування”, Львів, 26-29 травня, 2003. - P. 9-11.
12. Беркела Ю.Ю. Про інтегрування (2 1)-вимірної модифікованої моделі Гейзенберга // Матеріали IX міжнар. конф. ім. акад. М. Кравчука (16-19 травня 2002 р.), Київ. - 2002. - С. 224.
13. Berkela Yu., Sidorenko Yu. On nonlocal reductions in general matrix Kadomtsev - Petviashvili hierarchy // In: Book of Abstract of Intern. Conferen. on Function. Analysis and its Applic., May 28-31, 2002, Lviv, Ukraine. - P. 36.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
