Встановлення інтегральних зображень розв"язків рівняння теорії узагальненого осесиметричного потенціалу через аналітичні функції комплексної змінної. Функціонально-аналітичний метод розв"язання крайових задач для узагальнених осесиметричних потенціалів.
Зокрема, якщо m є натуральним числом, то рівняння (1) задовольняють гармонічні функції , визначені в (m 2)-вимірному дійсному просторі , за умови, що вони, так би мовити, "володіють симетрією" відносно осі і розглядаються в меридіанній площині . Важливими з точки зору застосувань є крайові задачі для розвязків рівняння (1) в областях, що лежать у напівплощині {(x,y): y > 0} і прилягають до відрізків осі Ox. М.В. Келдиш встановив, що коректні постановки крайових задач для рівнянь еліптичного типу з виродженням можуть суттєво відрізнятися від коректних постановок для невироджених рівнянь. Так, для рівняння (1) коректні постановки крайових задач у ряді випадків потребують, щоб відрізки лінії виродження y = 0 були вільними від крайових умов. При цьому досить ефективними є зображення розвязків через аналітичні функції, що дає можливість застосовувати до крайових задач для рівнянь еліптичного типу з виродженням методи теорії крайових задач аналітичних функцій комплексної змінної і сингулярних інтегральних рівнянь.В підрозділі 2.1 доведено пряму теорему стосовно зображень узагальненого осесиметричного потенціалу, де встановлено інтегральний вираз, який кожній голоморфній в функції ставить у відповідність розвязок рівняння (1) на множині {(x,y) D: y 0} при m > 0. Якщо m > 0 і функція F голоморфна в області , то функція задовольняє рівняння (1) на множині {(x,y) D: y 0}. Ввівши в розгляд функцію u(z):=u(x,y) комплексної змінної z:=x iy, після інтегрування частинами n разів в рівності (2) одержуємо де - дробова частина числа 1 - m / 2, і інтегрування ведеться вздовж гладких дуг, що належать та зєднують кінці інтегрування), - конктретний многочлен степеня від та , записаний у роботі в явному вигляді. В підрозділі 2.3 для функції u(x, y) з деяких відомих класів розвязків рівняння (1) при m сформульовано теореми (обернені до теореми 2.1.1) про існування голоморфної функції такої, що виконується рівність (2). Для кожної функції u(x, y) класу , яка при задовольняє рівняння (1) в області , існує єдина голоморфна функція , яка задовольняє умову (3) і така, що рівність (2) виконується при всіхУ дисертаційній роботі розглядається рівняння узагальненого осесиметричного потенціалу, яке має фундаментальнее значення в ряді розділів математичного аналізу та математичної фізики. Встановлено інтегральні зображення узагальненого осесиметричного потенціалу через аналітичні функції комплексної змінної, задані в довільній симетричній відносно дійсної осі однозвязній області.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Вывод
У дисертаційній роботі розглядається рівняння узагальненого осесиметричного потенціалу, яке має фундаментальнее значення в ряді розділів математичного аналізу та математичної фізики.
Основні результати дисертації такі: 1. Встановлено інтегральні зображення узагальненого осесиметричного потенціалу через аналітичні функції комплексної змінної, задані в довільній симетричній відносно дійсної осі однозвязній області. Для певних класів узагальнених осесиметричних потенціалів встановлено взаємно однозначну відповідність між ними та аналітичними функціями комплексної змінної, яка задається вказаними інтегральними зображеннями.
2. Встановлено достатні умови неперервного продовження інтегральних зображень узагальненого осесиметричного потенціалу на границю області та одержано оцінку локального модуля неперервності їх граничних значень.
3. Здійснено редукцію деяких крайових задач для узагальнених осесиметричних потенціалів до інтегральних рівнянь Фредгольма другого роду на дійсній осі за розширених умов на границю області.
4. Знайдено алгоритм побудови узагальнених осесиметричних потенціалів за компонентами моногенних функцій гіперкомплексної змінної, які будуються в явному вигляді як головні продовження аналітичних функцій комплексної змінної.
Одержані результати та розвинені в ній методи можуть бути використані в теорії узагальнених аналітичних функцій, в теорії крайових задач для розвязків диференціальних рівнянь еліптичного типу з виродженням та їх застосуваннях у математичній фізиці, гідродинаміці, газодинаміці, теплофізиці, механіці та інших прикладних дисциплінах.
Список литературы
1. Grishchuk S.V., Plaksa S.A. On constructions of generalized axial-symmetric potentials by means componens of hypercomplex analytic functions // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. -2005.- Т. 2, №.3. - P. 67 - 83.
2. Грищук С.В. О непрерывной продолжимости обобщенных осесимметричных потенциалов на границу области // Зб. праць Ін-ту математики НАН України. - 2006. - Т. 3, №.4. - C. 347 - 357.
3. Грищук С.В., Плакса С.А. Вирази розвязків рівняння Ейлера-Пуассона-Дарбу через компоненти гіперкомплексних аналітичних функцій // Доп. НАН України. - 2006. - № 8. - С. 18 - 24.
4. Грищук С.В., Плакса С.А. Интегральные представления обобщенных осесимметричных потенциалов // Краевые задачи для потенциальных полей / Киев, 2007. - 60 с. - (Препр. / НАН Украины. Ин-т математики; 2007.2). - С. 32 - 59.
5. Grishchuk S.V. Expressions of solutions of the Euler-Poisson-Darboux equation via components of hypercomplex analytic functions // International Workshop on Free Boundary Flows and Related Problems of Analysis (Kiev, September 25-30, 2005): Abstr.- Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2005.- P. 18 - 20.
6. Grishchuk S.V. Integral expressions of generalized axially-symmetric potentials // Bogolubov Readings 2007 Dedicated to Yu.A. Mitropolskii on the Occasion of His 90-th Birthday (Zhitomir - Kiev, 19 August - 2 September 2007) : Abstr.- Kiev: Institute of Mathematics of the National Academy of Sciences of Ukraine, 2007.- P. 28 - 30.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
