Нетерові крайові задачі для імпульсних диференціальних рівнянь - Автореферат

У дисертаційній роботі розглядається задача про знаходження конструктивних умов існування та побудову розвязків крайових задач для лінійних та нелінійних систем диференціальних рівнянь з імпульсним впливом. У роботах А.М.Самойленка, М.О.Перестюка, С.Швабіка та О.А.Бойчука було знайдено необхідні й достатні умови існування розвязків імпульсно-збурених крайових задач для систем звичайних диференціальних рівнянь у критичному і некритичному випадках, а також конструкції оператора Гріна задачі Коші і оператор Гріна періодичної крайової задачі з імпульсним впливом. Розглянута в дисертації проблема знаходження конструктивних умов існування та побудови розвязків нетерових крайових задач для лінійних і нелінійних систем диференціальних рівнянь з імпульсним впливом є узагальненням задач із невиродженим імпульсним впливом, імпульсно-збурених двоточкових задач із прямокутними матрицями; останні задачі вивчали Р.Конті та С.Швабік. Задачі про побудову розвязків нетерових крайових задач для систем диференціальних рівнянь з імпульсним впливом також являють собою узагальнення задач з виродженим імпульсним впливом і задач із імпульсним впливом типу "interface conditions". З іншого боку, питання існування та побудови розв‘язків крайових задач з імпульсним впливом посідають почесне місце в якісній теорії звичайних диференціальних рівнянь, зокрема - в задачах оптимального керування, теорії стохастичних диференціальних рівнянь, теорії диференціальних рівнянь з багатозначною та розривною правою частиною, а також диференціальних рівнянь із включеннями.З метою знаходження лінійних збурень, які б забезпечували існування розвязків нетерової критичної крайової задачі для довільних неоднорідностей, встановлено необхідну і достатню умову існування принаймні одного розвязку, побудовано оригінальну ітераційну процедуру та знайдено оцінку довжини проміжку значень малого параметру, на якому зберігається збіжність цієї процедури до шуканого розвязку. Задача (1) є нетеровою і узагальнює постановки задач із крайовими умовами типу "interface conditions", розглянутих в роботах Р.Конті, С.Швабіка, а також задач із невиродженим та виродженим імпульсним впливом, докладно вивчених в роботах А.Д. Ранг нормованої фундаментальної матриці задачі (2) може довільним чином змінюватись вздовж відрізку тому конструкція матриці узагальнює нормальні фундаментальні матриці, побудовані в роботах А.М.Самойленка, М.О.Перестюка та О.А.Бойчука для задач із крайовими умовами типу "interface conditions", а також - для задач із невиродженим та виродженим імпульсним впливом. Теорема 2.2.1 узагальнює аналогічні твердження, доведені в роботах А.М.Самойленка, М.О.Перестюка та О.А.Бойчука для задач із невиродженим та виродженим імпульсним впливом, а також для задач із крайовими умовами типу "interface conditions". Поставлена задача являє собою узагальнення задачі про біфуркацію розвязків лінійної нетерової крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь із невиродженим імпульсним впливом, а також задачі про біфуркацію неперервно-диференційовних розвязків лінійної нетерової крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь, досліджених у роботах М.І.Вішика, Л.А.Люстерніка, А.М.Самойленка та О.А.Бойчука.Знайдено конструктивні умови існування розвязків та побудовано узагальнений оператор Гріна загальної нетерової крайової задачі для лінійних систем диференціальних рівнянь з імпульсним впливом. Одержано конструктивні умови біфуркації розвязків та побудовано оригінальну ітераційну процедуру для знаходження розвязків лінійної нетерової крайової задачі з імпульсним впливом. Для знаходження розвязків нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь за схемою Ньютона - Канторовича та з використанням методу найменших квадратів побудовано ітераційні процедури з квадратичною збіжністю, а також отримано конструктивні умови збіжності та оцінки областей зміни малого параметру, для яких зберігається збіжність цих ітераційних процедур до шуканого розвязку.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ