Вид уравнения Риккати при произвольном дробно-линейном математическом преобразовании зависимой переменной. Свойства отражающей функции, ее построение для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Формулировка и доказательства леммы для нее.
Аннотация к работе
Общее уравнение Риккати имеет вид: , (1) где P,Q,R - непрерывные функции от x при изменении x в интервале Уравнение (1) заключает в себе как частные случаи уже рассмотренные нами уравнения : при получаем линейное уравнение, при-уравнение Бернулли. 1) Произвольное преобразование независимого переменного: В самом деле, производя в уравнении (1) эту замену переменного, получим опять уравнение Риккати: 2) Произвольное дробно-линейное преобразование зависимого переменного: где б,в,г,д - произвольные дифференцируемые функции от x, удовлетворяющие условию в рассматриваемом интервале. Для этого уравнения введем в уравнение (1) новое зависимое переменное подстановкой: Тогда преобразование уравнение будет: Достаточно выбрать , чтобы получить коэффициент при равным 0. В самом деле, если, кроме решения известно второе решение то для уравнения (3) известно одно частное решение а в таком случае мы знаем, что решение его требует одной квадратуры. Последнюю дробно-линейную подстановку, связывающую б и , приводим к следующему «каноническому виду»: Применяя к уравнению (8) с новыми те же преобразования (6), (7), придем опять к уравнению того же типа, в котором показатель при связан с и с б соотношениями: В результате подобных преобразований придем к показателю связанному с исходным показателем б соотношением: Если, отправляясь от показателя б, мы проведем в обратном порядке вышеуказанные последовательные преобразования переменных, мы придем к уравнениям с показателями связанными с б соотношениями: Если, в результате преобразований мы придем к показателю, для которого уравнение Риккати интегрируется в квадратурах, то и начальное уравнение обладает тем же свойством.Пусть есть общее решение в форме Коши системы дифференциальных уравнений (ДУ) решения которой однозначно определяются своими начальными данными. Отражающая функция (ОФ) этой системы определяются формулой Для периодической по переменной системы дифференциальных уравнений с отражающей функцией отображение за период (отображение Пуанкаре) находится по формуле Поэтому знание ОФ позволяет находить начальные данные для-периодической решений рассматриваемой системы и исследовать эти решения на устойчивость по Ляпунову.(9) с непрерывными на R коэффициенты Для каждой функции введем обозначение Отражающая функция (ОФ) уравнения (9) имеет вид: где а функции являются решениями линейной системы Функции образуют решение линейной системы Для того, чтобы показать, что функция (10) там, где она определена, совпадает с отражающей функцией уравнения (9), достаточно показать, что она удовлетворяет основному соотношению для отражающей функции . Покажем теперь, что область определения функции (10) содержит в себе область определения отражающей функции уравнения (9).
План
Содержание
1. Уравнение Риккати
2. Отражающая функция
3. Отражающая функция уравнения Риккати
4. Построение отражающей функции для одного стационарного уравнения Риккати