Вид уравнения Риккати при произвольном дробно-линейном математическом преобразовании зависимой переменной. Свойства отражающей функции, ее построение для нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка. Формулировка и доказательства леммы для нее.
Общее уравнение Риккати имеет вид: , (1) где P,Q,R - непрерывные функции от x при изменении x в интервале Уравнение (1) заключает в себе как частные случаи уже рассмотренные нами уравнения : при получаем линейное уравнение, при-уравнение Бернулли. 1) Произвольное преобразование независимого переменного: В самом деле, производя в уравнении (1) эту замену переменного, получим опять уравнение Риккати: 2) Произвольное дробно-линейное преобразование зависимого переменного: где б,в,г,д - произвольные дифференцируемые функции от x, удовлетворяющие условию в рассматриваемом интервале. Для этого уравнения введем в уравнение (1) новое зависимое переменное подстановкой: Тогда преобразование уравнение будет: Достаточно выбрать , чтобы получить коэффициент при равным 0. В самом деле, если, кроме решения известно второе решение то для уравнения (3) известно одно частное решение а в таком случае мы знаем, что решение его требует одной квадратуры. Последнюю дробно-линейную подстановку, связывающую б и , приводим к следующему «каноническому виду»: Применяя к уравнению (8) с новыми те же преобразования (6), (7), придем опять к уравнению того же типа, в котором показатель при связан с и с б соотношениями: В результате подобных преобразований придем к показателю связанному с исходным показателем б соотношением: Если, отправляясь от показателя б, мы проведем в обратном порядке вышеуказанные последовательные преобразования переменных, мы придем к уравнениям с показателями связанными с б соотношениями: Если, в результате преобразований мы придем к показателю, для которого уравнение Риккати интегрируется в квадратурах, то и начальное уравнение обладает тем же свойством.Пусть есть общее решение в форме Коши системы дифференциальных уравнений (ДУ) решения которой однозначно определяются своими начальными данными. Отражающая функция (ОФ) этой системы определяются формулой Для периодической по переменной системы дифференциальных уравнений с отражающей функцией отображение за период (отображение Пуанкаре) находится по формуле Поэтому знание ОФ позволяет находить начальные данные для-периодической решений рассматриваемой системы и исследовать эти решения на устойчивость по Ляпунову.(9) с непрерывными на R коэффициенты Для каждой функции введем обозначение Отражающая функция (ОФ) уравнения (9) имеет вид: где а функции являются решениями линейной системы Функции образуют решение линейной системы Для того, чтобы показать, что функция (10) там, где она определена, совпадает с отражающей функцией уравнения (9), достаточно показать, что она удовлетворяет основному соотношению для отражающей функции . Покажем теперь, что область определения функции (10) содержит в себе область определения отражающей функции уравнения (9).
План
Содержание
1. Уравнение Риккати
2. Отражающая функция
3. Отражающая функция уравнения Риккати
4. Построение отражающей функции для одного стационарного уравнения Риккати
Список использованной литературы
1. Уравнение Риккати
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
