Нерівності типу Колмогорова для похідних дробового порядку та їх застосування в теорії апроксимації - Автореферат

Нерівності для проміжних похідних функцій з різними областями визначення, тобто нерівності, що оцінюють-норму деякої похідної функції через-норму самої функції та-норму її похідної більш високого порядку, відіграють важливу роль у багатьох галузях математики (математичний аналіз, теорія апроксимації, диференціальні рівняння, теореми вкладення, теорія некоректних задач та ін.). Особливо цікавими є непокращувані нерівності такого типу, тобто нерівності з точними константами, оскільки саме вони мають найбільш яскраві застосування і їх доведення, як правило, приводить до створення нових методів, які в свою чергу використовуються для розвязку інших задач. Важливу роль у багатьох галузях математики відіграють також нерівності для норм „проміжних” похідних функцій багатьох змінних. Один з найцікавіших типів нерівностей для функцій багатьох змінних складають нерівності, які оцінюють норму мішаної похідної через норму самої функції та норми її частинних похідних. Робота проводилася відповідно до загального плану досліджень кафедри математичного аналізу Дніпропетровського національного університету згідно науково-дослідних тем: 09-207-01 “Нерівності для похідних і екстремальні задачі аналізу”, номер державної реєстрації № 0101V001526; 1-071-04 “Нерівності для похідних.Другий розділ роботи присвячений одержанню нових точних нерівностей типу Колмогорова для похідних дробового порядку та їх застосуванню до розвязку задачі Стєчкіна апроксимації необмеженого оператора дробового диференціювання обмеженими на класах функцій, які задаються мажорантою модуля неперервності або обмеженнями на-норму першої похідної функції (для функцій одного змінного), а також до розвязку такої задачі для гіперсингулярного інтегрального оператора з однорідною характеристикою на класах функцій, які задаються мажорантою модуля неперервності (для функцій багатьох змінних). У підрозділі 2.1 отримано нерівності, що оцінюють-норму або модуль дробової похідної функції через-норму самої функції та-норму її старшої похідної цілого порядку. У пункті 2.1.3 для функцій, заданих на обмеженому інтервалі, отримані точні поточкові адитивні оцінки дробових похідних у формі Маршо, з яких, завдяки обмеженості розглядуваних функцій, випливають нерівності, що оцінюють модуль дробової похідної порядку через-норму функції та-норму її першої похідної. У пункті 2.2.1 для функцій, заданих на всій дійсній осі або напівосі, одержані точні адитивні та мультиплікативні нерівності, що оцінюють-норми дробових похідних у формі Маршо порядку через-норми та гельдерові норми самих функцій. У підрозділі 2.3 одержані результати застосовані до розвязку задачі Стєчкіна про найкраще наближення необмеженого оператора дробового диференціювання лінійними обмеженими операторами на класах функцій, які задаються мажорантою модуля неперервності або обмеженнями на-норму першої похідної функції (для функцій одного змінного), а також до розвязку такої задачі для необмеженого гіперсингулярного інтегрального оператора з однорідною характеристикою на класах функцій, які задаються мажорантою модуля неперервності (для функцій багатьох змінних).Дисертація присвячена одержанню нових точних нерівностей типу Колмогорова для дробових похідних функцій однієї та декількох змінних, а також порівнянню точних констант у нерівностях, що оцінюють норму мішаної похідної функції через норму самої функції та норми її частинних похідних, для періодичних і неперіодичних функцій багатьох змінних. Для функцій, означених на всій дійсній осі, одержано точну нерівність, що оцінює - норму дробової похідної за Риссом порядку через норми самої функції та її другої похідної. Для функцій, заданих на всій числовій осі або напівосі, одержані точні нерівності, що оцінюють норму дробової похідної у формі Маршо через-норму самої функції та-норму її першої похідної. Для функцій з гельдерових просторів отримані точні нерівності, що оцінюють-норму або модуль дробових похідних у формі Маршо функцій, заданих на всій числовій осі, напівосі або обмеженому інтервалі, через-норму та гельдерову норму самої функції. Проведене порівняння точних констант в нерівностях, що оцінюють норму мішаної похідної через норму функції та норми її частинних похідних, для періодичних та неперіодичних функцій багатьох змінних.

2. Основний зміст дисертаційної роботи