Неперервні відображення на банахових просторах. Апроксимація та зв"язок з алгебрами аналітичних функцій - Автореферат

Згідно з добре відомою теоремою Стоуна-Вейєрштрасса, кожна неперервна функція на замкненій обмеженій підмножині простору може бути рівномірно наближена функціями з алгебри, що містить усі поліноми в і комплексно спряжені до поліномів функції. Курцвейл (Kurzweil) довів, що якщо дійсний сепарабельний банахів простір допускає розділяючий поліном, то кожне неперервне відображення з банахового простору у банахів простір може бути наближене аналітичними відображеннями рівномірно на Ці дослідження продовжувалися багатьма авторами. Гаєк довели, що якщо дійсний сепарабельний банахів простір допускає розділяючу аналітичну функцію (даний клас просторів включає у себе всі простори, що допускають розділяючий поліном), то кожне рівномірно неперервне відображення з банахового простору у банахів простір може бути наближене аналітичними відображеннями рівномірно на Більш того, у 2010 році Д. У роботі вивчаються простори та алгебри-аналітичних функцій та наведено приклад застосування таких функцій для побудови комплексних узагальнених функцій на гільбертовому кубі. Дисертаційна робота виконувалась в рамках науково-дослідних тем ``Розробка спектральної теорії ненормованих операторних алгебр та її застосування до дослідження еволюційних рівнянь та мероморфних відображень"" (номер державної реєстрації 0198U002533) та ``Розробка спектральної теорії полілінійних і лінійних операторів та операторних алгебр над банаховими просторами і застосування до задач статистичної механіки та майже-комплексного аналізу"" (державний реєстраційний номер 0103U000129) відділу функціонального аналізу Інституту прикладних проблем механіки і математики ім.Досліджено слабко поліноміальну топологію банахового простору в залежності від існування розділяючого полінома на цьому просторі і порівняно її зі слабкою та сильною топологіями. Показано, що множина розділяючих поліномів утворює конус у просторі всіх поліномів. Теорема 3.2 Нехай на просторі існує розділяючий-поліном Тоді простір-аналітичних функцій з у всюди щільний у просторі неперервних функцій з в за нормою простору в тому сенсі, що для будь-якого і для будь-якого існує таке що Наслідок 3.6 Нехай - неперервна функція, обмежена на кулі Тоді рівномірно наближається послідовністю обмежених на-аналітичних функцій, якщо на просторі існує розділяючий-поліном Теорема 3.3 Простір-аналітичних функцій з простору у простір є всюди щільним у просторі рівномірно неперервних функцій з в за нормою простору якщо на просторі існує розділяюча рівномірно-аналітична функція У підрозділі 3.4 розглянуто апроксимацію на просторах Фреше та отримано такі основні результати: Теорема 3.4 Нехай простір є сепарабельним комплексним простором Фреше зі зліченною системою норм а - банаховим простором.У дисертаційній роботі розвязано задачу про апроксимацію неперервних відображень на комплексному банаховому просторі відображеннями, які, у певному сенсі, є близькими до аналітичних. З цією метою в дисертації введено поняття-полінома і-аналітичної функції та досліджено властивості цих обєктів. Крім того, знайдено достатні умови для-аналітичної апроксимації неперервних функцій на просторі Фреше. У роботі досліджено властивості розділяючих поліномів і розділяючих рівномірно аналітичних функцій та умови їх існування. Простори-поліномів можна поповнювати, також, відносно норм, які не є рівномірними.

2. Основний зміст роботи