Нелінійні математичні моделі середовищ з часовою та просторовою нелокальностями - Автореферат

Якщо в реальному середовищі відбуваються процеси, що не відрізняються суттєвою нерівноважністю, то таке середовище можна описувати за допомогою локально-рівноважної континуальної моделі. Існує цілий ряд моделей, що описують динамічну поведінку таких середовищ (це відомі лінійні моделі Максвела, Кельвіна-Фойгта, Олдройта, нелінійна модель Ляхова тощо). За таких умов виникає проблема побудови математичних моделей структурованих середовищ або середовищ з часовою та просторовою нелокальностями. Даниленка зі співавторами було побудовано інтегральне рівняння стану середовища з памяттю, що описувало сильнонерівноважні процеси горіння та вибуху, де враховувалась тільки часова нелокальність, а просторовою нелокальністю нехтували. За умови малих параметрів просторової та часової нелокальностей ефекти просторової та часової нелокальності розщеплюються, і від інтегральної моделі можна перейти до слабко нелокальної за простором та часом моделі (в диференціальній формі).Зокрема відмічено, що для побудови замкнутої математичної моделі крім рівнянь, які виражають основні закони збереження (рівняння балансу), потрібне ще рівняння стану. 2.1 наведене узагальнене феноменологічне визначальне співвідношення поблизу локальної рівноваги, яке враховує наявність в середовищі як внутрішніх осциляторів, так і високих градієнтів, і має такий вигляд: (1) де - час релаксації (параметр часової нелокальності); - внутрішня змінна; - кінетичний параметр; - спорідненість до релаксаційного процесу середовища з часовою нелокальністю; - параметр просторової нелокальності, [1], ( - масштаб, повязаний із просторовою нелокальністю; - внутрішня енергія на одиницю маси);-питомий обєм. При з рівняння (10) одержане нелінійне просторово-нелокальне узагальнення рівняння Кельвіна-Фойгта: При виключеній просторовій нелокальності, коли стан розглядуваного середовища змінюється повільно, тобто , для випадку з рівняння (10) маємо рівняння Тета При врахуванні як пружної складової тиску, так і термічної, за умови визначального співвідношення (1) узагальнене динамічне рівняння стану середовищ з часовою та просторовою нелокальностями таке: Для середовищ з часовою нелокальністю у випадку стаціонарних термодинамічних сил , коли мало місце узагальнене феноменологічне співвідношення (7), відповідне узагальнене нелінійне динамічне рівняння стану-ого порядку Для визначального співвідношення (6) рівняння було таким: Одержані в цьому розділі нелінійні динамічні рівняння стану дали можливість побудувати математичні моделі нелінійних середовищ з часовою і просторовою нелокальностями та дослідити в них лінійні й нелінійні хвильові рухи.У дисертації наведене теоретичне узагальнення і нове вирішення наукової проблеми, що полягає в розробці нелінійних диференціальних математичних моделей з часовою та просторовою нелокальностями. З аналізу проведених у ході виконання дисертаційної роботи досліджень та узагальнення їх результатів можна сформулювати такі основні висновки. Це дало можливість побудувати нелінійні нелокальні моделі середовищ з часовою та просторовою нелокальностями при більш високому ступені відхилення від локальної рівноваги. Виведені в дисертаційній роботі динамічні рівняння стану дали можливість побудувати ієрархію вкладених нелінійних математичних моделей: тетівська, ляхівська з релаксацією, з часовою та просторовою нелокальностями, з часовою та просторовою нелокальностями високих порядків, узагальнена нелокальна модель та дослідити вплив просторової нелокальності на лінійні та нелінійні хвильові процеси. За умови малості параметра просторової нелокальності вперше досліджено розповсюдження акустичних хвиль у нелінійному середовищі з часовою та просторовою нелокальностями та знайдено асимптотичний розклад поля швидкостей у випадку вимушених нерезонансних коливань.

ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ