Неевклидова геометрия, геометрия Лобачевского, Риманова геометрия - Реферат

Как наука, геометрия впервые сформировалась в Древней Греции, когда геометрические закономерности и зависимости, найденные ранее опытным путем, были приведены в надлежащую систему и доказаны. Открытие того, что евклидова геометрия не является единственно возможной, сделанное в начале прошлого века Гауссом, Лобачевским и Больяи, оказало влияние на мировоззрение человечества, сравнимое с влиянием таких великих открытий естественных наук, как гелиоцентрическая система Коперника или эволюционная теория Дарвина. Но в логическом отношении данная геометрия не уступает геометрии Евклида. Если под неевклидовой геометрией понимать любую геометрию, отличную от евклидовой, то имеется необозримое множество таких геометрий. Среди геометрий, в которых имеется понятие расстояния между точками, эти две геометрии вместе с евклидовой геометрией занимают особое положение.В нем изложение настолько безупречно для своего времени, что в течение двух тысяч лет с момента появления его труда «Начала» оно было единственным руководством для изучающих геометрию. «Начала» состоят из 13 книг, посвященных геометрии и арифметике в геометрическом изложении. V постулат Евклида гласит: «и чтобы всякий раз, когда прямая при пересечении с двумя другими прямыми образует с ними односторонние внутренние углы, сумма которых меньше двух прямых, эти прямые пересекались с той стороны, с которой эта сумма меньше двух прямых». Между тем уже в древности именно постулат о параллельных привлек к себе особое внимание ряда геометров, считавших неестественным помещение его среди постулатов. Одни старались доказать постулат о параллельных, применяя только другие постулаты и те теоремы, которые можно вывести из последних, не используя сам V постулат.Лобачевский определяет основные понятия геометрии, не зависящие от V постулата, и, заметив, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть , как это имеет место у сферических треугольников, он заявляет: “Мы видели, что сумма углов прямолинейного треугольника не может быть . Лобачевский указывает, что в “воображаемой геометрии” сумма углов треугольника всегда и две прямые могут не пересекаться в случае, когда они образуют с секущей углы, в сумме меньшие . Через каждую точку плоскости проходят две прямые, параллельные данной прямой, лежащей в этой плоскости; эти прямые делят пучок прямых, проходящих через данную точку, на четыре области, в двух из которых проходят прямые, пересекающие данную прямую, а в двух - прямые, которые не пересекают эту прямую и не могут быть получены предельным переходом из пересекающихся - такие прямые называются расходящимися; параллельные прямые разграничивают пресекающие прямые от расходящихся (на рис.1 условно изображены прямые и , проведенные через точку А параллельно прямой , прямые и , проведенные через точку А и пресекающие прямую , и прямые и , расходящиеся с прямой ) Угол между прямой, проведенной через точку А параллельно прямой p, и перпендикуляром, опущенным из А на p, Лобачевский называет “углом параллельности” и показывает, что функция , выражающая зависимость этого угла от длины перпендикуляра, может быть (в современных обозначениях) записана в виде: (1) где q - некоторая постоянная. Лобачевский устанавливает также, что расходящиеся прямые обладают общим перпендикуляром и удаляются друг от друга по обе стороны от него, а две параллельные прямые приближаются друг к другу и расстояния точек одной из них от другой стремится к 0 при неограниченном удалении этих точек.Выведя уже в своей первой работе “О началах геометрии” формулы тригонометрии своей новой системы, Лобачевский заметил, что “эти уравнения переменяются в… (уравнения) сферической Тригонометрии, как скоро вместо боков ??, b, c ставим в ??-1, b-1, c-1, но в обыкновенной Геометрии и сферической Тригонометрии везде входят одни содержания (т.е. отношения) линий: следовательно, обыкновенная Геометрия, Тригонометрия и эта новая геометрия всегда будут согласованы между собой”. Это означает, что если мы запишем теорему косинусов, теорему синусов и двойственную теорему косинусов сферической тригонометрии для сферы радиуса r в виде: , (3) , (5) то формулы тригонометрии Лобачевского можно записать в том же виде, заменив стороны ??, b, c треугольника произведениями ??i, bi, ci; так как умножение сторон a, b, c на i равносильно умножению на i радиуса сферы, то, полагая r=qi и воспользовавшись известными соотношениями: cos(ix) = ch x, sin(ix) = ish x, (6) мы можем переписать соответственные формулы тригонометрии Лобачевского в виде: , (7)В Европе идеи неевклидовой геометрии воспринимаются с энтузиазмом, появляются переводы трудов Лобачевского. Бельтрами нашел модель для неевклидовой геометрии, показав в своей работе «Опыт интерпретации неевклидовой геометрии» (1868г.), что наряду с плоскостями, на которых осуществляется евклидова геометрия, и сферическими поверхностями, на которые действуют формулы сферической геометрии, существуют и такие реальные поверхности, названные им псевдосферами на которых частично осуществляется п

Содержание

Введение

1. История возникновения неевклидовой геометрии

2. Геометрия Лобачевского

2.1 Основные понятия геометрии Лобачевского

2.2 Непротиворечивость геометрии Лобачевского

2.3 Модели геометрии Лобачевского

2.4 Некоторые теоремы геометрии Лобачевского

2.5 Области применения геометрии Лобачевского

3. Применение геометрии Лобачевского

3.1 Практическое применение геометрии Лобачевского

3.2 Применение геометрии Лобачевского в экономической сфере

Заключение

Список использованных источников