Недовизначені нетерові крайові задачі в критичних випадках - Автореферат

Актуальність дослідження задачі про знаходження конструктивних умов існування та побудову розвязків нетерових автономних і неавтономних крайових задач для нелінійних систем диференціальних рівнянь повязана з недостатнім вивченням низки критичних випадків, особливо таких, для яких при знаходженні конструктивних умов існування та побудові розвязків істотно використовуються другі й вищі похідні нелінійностей системи диференціальних рівнянь та векторного функціоналу, який визначає крайову умову. Дослідженню нетерових автономних і неавтономних крайових задач для нелінійних систем диференціальних рівнянь у критичних випадках з використанням других похідних нелінійностей системи диференціальних рівнянь та векторного функціоналу, який визначає крайову умову, присвячені роботи А.М. Бойчука для неавтономних крайових задач у критичному випадку другого порядку одержано конструктивні умови існування, проте задля спрощення перетворень були використані певні припущення щодо похідних нелінійностей системи диференціальних рівнянь та крайової умови. Робота проводилась згідно з планом досліджень міжвідомчої лабораторії "Крайові задачі теорії диференціальних рівнянь" у складі відділу диференціальних рівнянь і теорії коливань Інституту математики НАН України та повязана з тематичним планом фундаментальної науково-дослідної роботи "Класифікаційні методи теорії наближення функцій і теорії крайових задач з імпульсним впливом" (реєстраційний № 0109U000381), яка фінансується з коштів державного бюджету й виконується в Словянському державному педагогічному університеті, а також із спільним німецько-українським науковим проекту "Гладкість із точки зору теорії класів функцій і теорії наближень" Німецького фонду наукових досліджень (DFG, реєстраційний номер GZ:436UKR 13/103/0-1), яка виконується в Словянському державному педагогічному університеті та університеті ім. Задачі дослідження полягають у подоланні проблеми визначення конструктивних умов існування автономної нетерової слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у частинному критичному випадку та у побудові більш ефективних ітераційних схем для знаходження розвязків автономних нетерових крайових задач та неавтономних крайових задач у критичному випадку другого порядку.У першому розділі наведено огляд літератури з теорії слабконелінійних автономних та неавтономних нетерових крайових задач у критичних випадках, також наведено необхідні відомості з лінійної алгебри, теорії проекторів та теорії псевдообернених за Муром-Пенроузом матриць. Функціонал - двічі неперервно диференційовний по в околі розвязку породжуючої задачі та по - на відрізку За умови породжуюча задача (2) має лінійно незалежних розвязків: Тут --матриця,-вимірна матриця , складена з лінійно незалежних стовпців нормальної фундаментальної матриці однорідної частини диференціальної системи (2); --матриця-ортопроектор-вимірна матриця , складена з лінійно незалежних рядків матриці-ортопроектора - оператор Гріна задачі Коші для системи (2), - узагальнений оператор Гріна. Припустимо, що для задачі (1) має місце критичний випадок й виконується умова розвязності породжуючої задачі (2). За цих умов для кожного кореня рівняння у випадку задача (1) має принаймні один розвязок; За умови будемо говорити, що для крайової задачі (1) має місце критичний випадок другого порядку, характерний тим, що для відповіді на питання про існування шуканого розвязку достатньо враховувати першу й другі похідні нелінійностей і При знаходженні розвязків неавтономної слабконелінійної крайової задачі для системи звичайних диференціальних рівнянь у критичному випадку другого порядку побудовано модифіковану ітераційну схему за технікою найменших квадратів [3,5].У дисертаційній роботі отримано такі нові результати: [1.] Виявлено подібність, що обєднує автономні нетерові крайові задачі та неавтономні періодичні крайові задачі в критичному випадку другого порядку, а саме: недовизначеність, яка полягає в необхідності одночасного знаходження розвязку крайової задачі та деякої функції, що гарантує існування розвязку.

Основний зміст роботи