Аналіз горенштейнових матриць та їх сагайдаків. Вивчення матриць показників та матриць суміжності сагайдаків зведених горенштейнових матриць, підстановка Кириченка яких не є циклом. Опис виняткових підстановок Кириченка горенштейнових матриць показників.
Важливим етапом у розвитку теорії скінченновимірних алгебр над полем та їх зображень була робота швейцарського математика Габріеля, в якій було введено поняття сагайдака скінченновимірної алгебри. Черепичні порядки (tiled orders) вивчалися Ятегаонкаром В.А., Тарсі Р.Б. та іншими математиками, починаючи з 70-их років минулого століття. Багато властивостей таких кілець повністю визначаються їх матрицями показників, зокрема, сагайдаки таких кілець. Для дослідження матриць показників та їх сагайдаків використовуються також комбінаторні та геометричні методи. Матриці показників та черепичні порядки притягують увагу багато алгебраїстів.Будемо казати, що матриця A1 IMN(R) перестановочно еквівалентна матриці A2, якщо існує матриця підстановки Pt така, що A1= A2 Pt. Матриця BIMN(R) перестановочно незвідна тоді і тільки тоді, коли сагайдак Q(B) сильно звязний. A має h характеристичних чисел l0=r, l1,…,lh-1, модулі яких дорівнюють r, то ці числа всі різні між собою і є коренями рівняння lh-rh=0, і, взагалі, весь спектр l0, l1,..., ln-1 матриці Встановлено властивості допустимих сагайдаків: - якщо E - зведена матриця показників, Q=Q(E)-сагайдак матриці показників, то матриця [є (0, 1)-матрицею суміжності сильно звязного сагайдака; У підрозділі 3.4 "Горенштейнові матриці з нециклічною підстановкою Кириченка" встановлено, що для довільного натурального k>1 існують горенштейнові матриці показників з підстановкою ?, яка є добутком k циклів, сагайдаки яких мають петлі не у всіх вершинах.У дисертаційній роботі доведено, що множина зведених матриць показників одного порядку утворює напівгрупу відносно додавання, яка не є мооноїдом. Встановлено властивості допустимих сагайдаків: - повний сагайдак, який має більше ніж дві вершини, є допустимим тоді і тільки тоді, коли він має петлі у всіх вершинах; якщо Q - допустимий сагайдак з n вершинами, то для довільного m>n існує допустимий сагайдак Q*з m вершинами такий, що сагайдак Q є підсагайдаком сагайдака Q*; якщо Q1, Q2 - допустимі сагайдаки, то існує допустимий сагайдак Q який має підсагайдаки Q1, Q2. Встановлено, що для довільного k>1 існують горенштейнові матриці показників з підстановкою ?, яка є добутком k циклів, сагайдаки яких мають петлі не у всіх вершинах.
План
ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ
Вывод
У дисертаційній роботі доведено, що множина зведених матриць показників одного порядку утворює напівгрупу відносно додавання, яка не є мооноїдом. При цьому сагайдак суми матриць показників має петлі у всіх вершинах.
Сагайдаки матриць показників є простими та сильно звязними.
Встановлено властивості допустимих сагайдаків: - повний сагайдак, який має більше ніж дві вершини, є допустимим тоді і тільки тоді, коли він має петлі у всіх вершинах;
- якщо Q - допустимий сагайдак з n вершинами, то для довільного m>n існує допустимий сагайдак Q*з m вершинами такий, що сагайдак Q є підсагайдаком сагайдака Q*;
- якщо Q1, Q2 - допустимі сагайдаки, то існує допустимий сагайдак Q який має підсагайдаки Q1, Q2.
Виділено один клас жорстких сагайдаків. Доведено, що жорсткий сагайдак не може мати петель.
Доведено, що для довільної підстановки ? без фіксованих елементів існує горенштейнова (0, 1, 2) - матриця E з підстановкою ? = ?(E). Встановлено, що для довільного k>1 існують горенштейнові матриці показників з підстановкою ?, яка є добутком k циклів, сагайдаки яких мають петлі не у всіх вершинах. Наведено приклад нециклічної горенштейнової матриці показників з цілим індексом, матриця суміжності сагайдака якої має вигляд [Q]=AP, де P -стохастична, але не двічі стохастична.
Встановлена умова, за якої для двох горенштейнових матриць показників порядків m та n існує горенштейнова матриця показників порядку m n, діагональними блоками якої є задані матриці. Знайдено критерій еквівалентності для горенштейнових матриць з однаковою циклічною підстановкою. Встановлено, що для горенштейнових матриць порядку більших 1 існує єдина виняткова підстановка.
Доведено, що для довільного n існує горенштейновий латинський квадрат порядку n, який симетричний відносно побічної діагоналі. Також встановлено, що для довільного парного k існує латинський квадрат порядку k, симетричний відносно головної діагоналі та для n, яке ділиться на 4, існує горенштейновий латинський квадрат порядку n, який симетричний відносно обох діагоналей. Доведено, що для довільного натурального n та для довільного натурального k, що не перевищує n, існує зведена матриця показників порядку n, індекс якої дорівнює k. Для довільного натурального n та для довільного натурального k, яке менше ніж n, обчислена горенштейнова матриця порядку n, індекс якої дорівнює k. Встановлено умови, за яких цілочисельна матриця, яка є сумою переставних матриць, є горенштейновою матрицею показників з підстановкою ? =(1 2… n);
Список литературы
1. Журавлев В.Н., Зеленский А.В., Ободном классе горенштейновых черепичных порядков // Изв. Гомельского гос.ун-та им. Ф. Скорины. Вопросы алгебры. Гомель: Изд-во Гомельского Ун-та. - 2006. - т. 3(36). - С. 147 - 154.
2. Зеленський О. В. Індекси матриць показників. // Препринт/НАН України. Інститут математики; 2009.5 -Київ 2009.-32с.
3. Зеленський О. В., Жорсткі сагайдаки зведених матриць показників // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. №3, 2007 р. с. 27-31.
4. Зеленський О. В., Про виняткову підстановку Кириченка для горенштейнових матриць // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. №3, 2005 р. с. 40-43.
5. Кириченко В. В., Зеленський О. В., Хибина М. А. Індекси горенштейнових матриць // Вісник Київського університету. Серія: фізико-математичні науки. №4, 2006 р. с. 32-37.
6. M.A. Dokuchaev, V.V. Kirichenko, A.V. Zelensky, V.N. Zhuravlev “Gorenstein matrices”, Algebra and Discrete mathematics, №1, 2005, pp. 8-29.
7. V.V. Kirichenko, A.V. Zelensky, V.N. Zhuravlev “Exponent matrices and their quivers”. Bul. Acad. de Stiinte a Rep. Moldova, Matematica, №1 (44), 2004, 57-66
8. V.V. Kirichenko, A.V. Zelensky, V.N. Zhuravlev, Exponent Matrices and Tiled Order over Discrete Valuation Rings. // International Journal of Algebra and Computation. Vol. 15, Nos. 5 & 6 (2005) 1-16
9. Зеленский. А. В. Жесткие колчаны приведенных матриц показателей. Международная алгебраическая конференция посвященная 100-летию со дня рождения Куроша А. Г. Москва 2008. с 102, 103.
10. Зеленський О.В., Журавльов В.М., Кириченко В.В., Матриці показників та їх сагайдаки // Матеріали X-ї Міжнародної наукової імені академіка М. Кравчука. - Київ: Задруга, - 2004. - C. 387.
11. A. V. Zelensky, V. N. Zhuravlev. On a class of Gorenstein tiled order. International Conference on Radicals ICOR -2006, Kyiv, July 30-August 5, 2006 p 77,78.
12. A. V. Zelensky. Exponent matrices and exceptional Kirichenkos permutation. 5th International Algebraic Conference in Ukraine, Abstracts, Odessa, July 20-27, 2005, p. 239-240.
13. M.A. Dokuchaev, V.V. Kirichenko, A.V. Zelensky, V.N. Zhuravlev, Latin square and Cayley tables of elementary abelian 2-groups // 5th International Algebraic Conference in Ukraine, Abstracts, Odessa, July 20-27, 2005, p. 61-62
14. V.V. Kirichenko, A.V. Zelensky, V.N. Zhuravlev “Exponent matrices and admissible quivers” // Материалы Международной алгебраической конференции. - М: МГУ. - 2004. - с. 216-218.
15. V.V. Kirichenko, A.V. Zelensky. On Gorenstein quasigroups. 6th International Algebraic Conference in Ukraine, Abstracts, Kamenets-Podolskiy, July 1-7, 2007, p. 100-101.
Размещено на .ru
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
