Напiвмаксимальнi кiльця та їх сагайдаки - Автореферат

Розроблені в цій теорії потужні конструктивні методи все більше використовуються в інших областях математики, зокрема, в лінійній алгебрі, теорії зображень груп, алгебр Лі та інших алгебраїчних структур і в теорії кілець. В дисертації вивчаються властивості напівмаксимальних кілець та їх сагайдаків. Кільце називається напівмаксимальним, якщо воно є добутком черепичних порядків (tiled orders). Черепичні порядки є зручним обєктом дослідження, оскільки кожен черепичний порядок можна задати матрицею показників, тобто цілочисельною матрицею спеціального вигляду. Дисертантом розроблено більше 20 компютерних програм (основні програми наведено в додатках А, Б), за допомогою яких побудовано біля 2 тисяч прикладів черепичних порядків та їх сагайдаків з відповідними матрицями показників до 20 порядку.Сагайдаком Q(A) називається орграф з вершинами 1, 2, …, s, в якому з вершини i у вершину j ведуть tij стрілок. Кириченко довів, що в цьому випадку сагайдак порядку Л є простим сильно звязним орграфом, а матриця суміжностей сагайдака Q(Л) є різницею матриць показників квадрата радикала та самого радикала Джекобсона черепичного порядку Л: Зауважимо, що сагайдаком дискретно нормованого кільця за означенням вважається граф, що складається з однієї вершини з петлею. Якщо матриця показників вигляду (2.1) нерозкладного зведеного напівмаксимального кільця має в першому стовпчику m1 (m1 ? 2) одиниць, то кільце Л містить у своєму розкладі Пірса (0,1)-порядок з матрицею показників порядку m1. У підрозділі 2.5 “Класифікація порядків, сагайдаки яких мають дві або три вершини” наводяться з точністю до ізоморфізму всі черепичні порядки, сагайдаки яких мають дві або три вершини, та відповідні сагайдаки. У підрозділі 2.7 “Алгоритм побудови матриць показників черепичних порядків та матриць суміжностей їх сагайдаків” наведено алгоритм, який будує список усіх сагайдаків черепичних порядків з n вершинами, максимальний елемент матриць показників яких дорівнює заданому числу T.Доведено, що матриця показників нерозкладного зведеного напівмаксимального кільця з точністю до еквівалентності розбивається на блоки і одержано умови, які задовольняють елементи цих блоків. Одержано список усіх орграфів щонайбільше з трьома вершинами, які є сагайдаками зведених черепичних порядків, і класифіковані відповідні черепичні порядки. Доведено, що кількість і розташування петель та стрілок в сагайдаку зведеного черепичного порядку повязані між собою наступним чином: відсутність деякої петлі в сагайдаку викликає відсутність визначеного числа стрілок у певних вершинах сагайдака, а з наявності визначеної кількості стрілок в сагайдаку випливає, що сагайдак обовязково має петлі в усіх вершинах. Встановлено, що орцикл без кратних вершин і стрілок з петлями в деяких вершинах є сагайдаком зведеного черепичного порядку тільки в двох випадках - коли він не має петель або має петлі в усіх вершинах. Одержано достатні умови на орграф, при яких він не може бути сагайдаком черепичного порядку, а саме, доведено, що сагайдаків черепичних порядків, які мають петлі в усіх вершинах, за винятком однієї, немає.

Основний зміст