Напівкласичний підхід до логарифмічної теорії збурень для зв’язаних станів квантово-механічних рівнянь - Автореферат

Але застосування сучасних методів обчислення сум розбіжних рядів потребує знання багатьох членів асимптотичного ряду, що вимагає від розроблюваних методів, щоб знайдені формули були зручними для компютерних розрахунків і давали можливість обчислення поправок вищих порядків. Отже, як з теоретичної, так і з практичної точок зору залишається актуальною проблема поєднання можливостей різних методів з метою подолання суттєвого недоліку логарифмічної теорії збурень при розгляді збуджених станів і побудови для неї простих рекурентних формул за допомогою умов квантування. Дослідження проводились на кафедрі теоретичної фізики фізичного факультету Дніпропетровського національного університету згідно з тематичним планом держбюджетних науково-дослідницьких робіт, затвердженому Міністерством освіти і науки України, в рамках тем № 09-181-00 “Дослідження властивостей кварк-глюонної взаємодії і звязаних станів адронної фізики”, номер держреєстрації № 0100U005251, та № 1-049-03 “Дослідження спектрів звязаних станів малочастинкових квантових систем”, номер держреєстрації № 0103U000539. Дослідити можливість побудови логарифмічної теорії збурень для звязаних станів за допомогою напівкласичних h - розвинень і правил квантування з вибором відповідних правил переходу до класичної межі та контуру інтегрування в комплексній площині. Узагальнити напівкласичний підхід до логарифмічної теорії збурень на випадки тривимірного рівняння Шредінгера з потенціалом ангармонічного осцилятора та з потенціалом, що має кулонівську особливість у початку координат.У підрозділі 1.1. розглянуто клас методів, відомих під загальною назвою “теорія збурень”, і зроблено висновок, що жоден з цих методів не дає можливості простого обчислення поправок вищих порядків теорії збурень. В методі ВКБ ці правила мають вигляд, що відповідає так званому квазікласичному руху частинки і вимагає для звязаних станів великих значень радіального і орбітального квантових чисел. За допомогою скейлінгової заміни змінної показано, що ряди теорії збурень водночас є напівкласичними рядами за степенями сталої Планка. Шукану енергію та логарифмічну похідну хвильової функції представлено у вигляді формальних асимптотичних рядів за степенями сталої Планка: Після їх підстановки у рівняння Ріккаті здобуто рекурентну систему, яка у випадку основного стану може бути розвязана за стандартним алгоритмом логарифмічної теорії збурень. Підстановка цих рядів у систему (8) та використання теореми про лишки приводить до наступної рекурентної системи, записаної через коефіцієнти розвинень у ряди Лорана: Здобуті рекурентні формули мають однаково простий вигляд як для основного, так і для збуджених станів та вирішують проблему врахування нулів хвильової функції в логарифмічній теорії збурень.У додатках приведено приклади програм аналітичних та чисельних розрахунків, проведених у дисертації.Вперше вирішено ряд актуальних задач опису низько розташованих рівнів енергії рівнянь Шредінгера, Клейна-Гордона і Дірака, а саме: · Запропоновано новий напівкласичний підхід до логарифмічної теорії збурень для звязаних станів квантово-механічних рівнянь з використанням напівкласичних h - розвинень і умов квантування, доповнених відповідними правилами переходу до класичної межі. · Розроблено нову рекурентну алгебраїчну процедуру обчислення поправок логарифмічної теорії збурень для власних значень енергії та логарифмічної похідної хвильової функції частинки для одновимірного рівняння Шредінгера з потенціалом ангармонічного осцилятора. Здобуті рекурентні формули мають однаково простий вигляд як для основних, так і для збуджених станів і дозволяють обчислити поправки теорії збурень довільного порядку як в аналітичному, так і в чисельному вигляді. Уточнено висновки попередніх авторів щодо залежності збіжності рядів теорії збурень від значень параметру екранування у задачі про звязані стани в полі потенціалу Дебая.

2. ОСНОВНИЙ ЗМІСТ РОБОТИ