Застосування квадратурних формул з вагою до інтеграла з нескінченними межами і розривною функцією. Метод Канторовича для виділення особливостей. Наближене обчислення кратних інтегралів. Метод статистичних випробувань Монте-Карло, Люстерника і Діткіна.
Інтеграл називається власним, якщо: 1) проміжок інтегрування скінченний;. 2) підінтегральна функція неперервна на . Власний інтеграл легко обчислити за допомогою однієї з квадратурних формул. Нехай S - наближене значення цього інтеграла з точністю , тобто Тому.Для наближеного обчислення інтеграла від розривної функції корисним може бути метод Л.В. Канторовича для виділення особливостей. Ідея цього методу полягає в тому, що підінтегральну функцію представляють у вигляді. , де не має особливостей на проміжку і інтеграл може бути обчислений за допомогою квадратурної формули, а функція має ті ж особливості на проміжку , що й функція , але інтеграл може бути обчислений точними методами інтегрального числення.Розглянемо невласний інтеграл від розривної функції . Підінтегральну функцію подамо у вигляді добутку двох функцій і : Причому обмежена на відрізку і має достатнє число похідних, а >0 на .Нехай функція - визначена і неперервна в деякій скінченній області G. Припустимо, що треба обчислити інтеграл. Формула (7) називається кубатурною формулою, точки - вузлами кубатурної формули, числа - коефіцієнтами кубатурної формули, а величина - залишковим членом. , коефіцієнти , взагалі кажучи, можна визначити із системи лінійних алгебраїчних рівнянь де k,l=0,1,…,n; k l n. при цьому одержуємо, що для кількості невідомих N системи і n повинна виконуватись умова де права частина рівності виражає кількість різних точок , для яких k,l=0,1,…,n; k l n, тобто . Проілюструємо цей метод на прикладі обчислення інтеграла (1), використавши квадратурну формулу Сімпсона. Нехай область G це прямокутник .Для обчислення подвійного інтеграла застосовують наближені формули виду. (10) де коефіцієнти і точки вибираються так, щоб формула (10) була точною для многочленів деякої достатньо високої степені при мінімальній кількості точок . Якщо область G одиничний круг з центром в початку координат, то інтеграл обчислюється по кубатурній формулі Люстерника-Діткіна.
Вы можете ЗАГРУЗИТЬ и ПОВЫСИТЬ уникальность своей работы
