Моделі геометрії Лобачевського - Дипломная работа

Вступ Відкриття того, що евклідова геометрія не є єдино можливою, зроблене на початку минулого століття Гауссом, Лобачевським і Больяи, вплинуло на світогляд людства, порівнянне з впливом таких великих відкриттів природничих наук, як геліоцентрична система Коперника або еволюційна теорія Дарвіна. Починаючи з кінця минулого століття неевклідова геометрія, поряд з евклідової, є одним з робочих інструментів математики, незважаючи на те що простір, в якому ми живемо, в доступних нашому розумінню межах є скоріше евклідовим, ніж неевклідовим. Якщо під неевклідової геометрією розуміти будь-яку геометрію, відмінну від евклідової, то мається неозоре безліч таких геометрій. Серед геометрій, в яких є поняття відстані між точками, ці дві геометрії разом з евклідової геометрією займають особливе положення. Наприкінці минулого століття в роботах Пуанкаре і Клейна була встановлена пряма звязок геометрії Лобачевського з теорією функцій комплексної змінної і з теорією чисел. Особлива увага приділяється моделям (інтерпретаціям) даної геометрії, детально розглянуті моделі Бельтрамі, Келі-Клейна, Пуанкаре. 1.Історія виникнення неевклідової геометрії 1.1 Біографія Миколи Івановича Лобачевського Народився 1 грудня 1792 р. в Нижньому Новгороді. Лобачевский закінчив Казанський університет. До 1826 р. він визначив розроблену ним систему як уявну геометрію на відміну від споживаної, Евкліда. Ця геометрія була заснована на тих же традиційних постулатах і аксіомах геометрії, як і у Евкліда (330-275 р. до н. е..), але з заміною його пятого постулату про паралельні: «на площині через точку, взяту поза даною прямою, можна провести одну і тільки одну пряму, паралельну даній прямій, а всі інші прямі, що проходять через цю точку, перетинаються з даною прямою «, на новий пятий постулат про паралельні:»на площині через точку, взяту поза даною прямою, можна провести дві і тільки дві прямі, паралельні даній, а також нескінченна безліч прямих, що не перетинаються з даною прямою і їй не паралельні, і нескінченна безліч прямих, які перетинаються з даною прямою «. Далі німецький математик Фелікс Християн Клейн (1849-1925р) спираючись на дослідження Еудженіо Бельтрамі і французький математик Анрі Пуанкаре (1854-1912р) суворо довели несуперечливість неевклідової геометрії, побудувавши відповідні моделі площини Лобачевского. Завдання зясування реального сенсу геометрії Лобачевського полягала в знаходженні моделей площині і простору Лобачевського, тобто в знаходженні таких обєктів, в яких реалізувалися б відповідним чином витлумачені положення планіметрії і стереометрії геометрії Лобачевського. Пряма ВВ, що проходить через Р під прямим кутом до перпендикуляра РQ, опущеного на АА1, не перетинає прямої АА1; ця пряма в геометрії Евкліда називається паралельною до АА1. Фактично Лобачевский довів несуперечність своєї системи тим, що ввів як на площині, так і в просторі координати і таким чином побудував арифметичну модель площини і простору Лобачевского.