Методы решения задач на построение на плоскости - Курсовая работа

Фигурой в геометрии называют любую совокупность точек (содержащую по крайней мере одну точку). Будем предполагать, что в пространстве дана некоторая плоскость, которую назовем основной плоскостью. Примерами фигур могут служить: точка; пара точек; прямая(рассматриваемая как совокупность принадлежащих ей точек); пара параллельных прямых; отрезок (фигура, состоящая из двух точек и всех точек прямой, лежащих между ними); интервал, или открытый отрезок (совокупность всех точек, лежащих между двумя точками прямой); луч (фигура, состоящая из некоторой точки прямой и всех точек этой прямой, расположенных по одну сторону от этой точки); окружность (совокупность всех точек плоскости отстоящих на данное расстояние от некоторой данной точки этой плоскости); круг (совокупность всех точек плоскости, расстояния которых от данной в этой плоскости точки не превышают длины данного отрезка) и др.Аксиомы устанавливают возможность строить точки, принадлежащие уже построенной фигуре. Указанными свойствами, а также для построения линий пользуются различными "инструментами геометрических построений". Наиболее употребительными инструментами геометрических построений являются: линейка (односторонняя), циркуль, двусторонняя линейка (с параллельными краями) и некоторые другие.Задача на построение состоит в том, что требуется построить наперед указанными инструментами некоторую фигуру, если она дана некоторая другая фигура и указаны некоторые соотношения между элементами искомой фигуры и элементами данной фигуры. Каждая фигура, удовлетворяющая условиям задачи, называется решением этой задачи. Строим последовательно: 1) прямую БВ (основное построение 2, п. b);. 2) окружность щ? (Б, БВ) (осн. постр. Легко убедиться, что БО = ВО, т.е. точка О искомая.Рассмотренные ранее примеры геометрических построений показывают, что непосредственное расчленение решения на основные построения даже в простейших задачах приводит к большому числу логических "шагов". Поэтому в практике решения геометрических задач на построение поступают несколько иначе. Если найдено решение какой - либо задачи, то в дальнейшем разрешается пользоваться этим решением "в целом", т.е. не расчленяя его на основные построения. Построение прямой, проходящей через данную точку параллельно данной прямой. Построение треугольника по трем данным сторонам. Рассматривая вспомогательный чертеж, замечаем, что треугольник БВС можно легко построить, если будет построен треугольник BDE: тогда останется только отложить по обе стороны от точки E на прямой DE отрезки, равные половине основания.Геометрическая фигура может быть задана различными способами: как пересечение или соединение данных фигур, путем указания определяющего ее свойства, путем указания свойства, которым обладает каждая ее точка, и т. п. Так, например, один и тот же отрезок БВ можно задать: · как пересечение лучей БМ и BN;. · как диаметр одной окружности щ, перпендикулярный к данной прямой ;. Если фигура задана путем указания свойства, которым обладают все точки этой фигуры и только они, то такую фигуру называют геометрическим местом точек, обладающих указанным свойством.Простейшие ГМТ на плоскости рассматриваются в школьном курсе геометрии. ГМТ (плоскости), находящихся на данном расстоянии r от некоторой данной точки O (этой плоскости), есть по определению окружность радиуса r с центром в точке O. ГМТ (плоскости), равноудаленных от двух данных (в этой плоскости) точек, есть прямая, проходящая через середину отрезка, соединяющего данные точки, и перпендикулярная к этому отрезку.Часто встречается задача: найти ГМТ, обладающих таким-то свойством. В условиях элементарной планиметрии естественно отнести к числу элементарных фигур прежде всего следующие фигуры: всю плоскость, точки, прямые, отрезки прямых, лучи, окружности, дуги окружностей.Отбрасываем одно из этих условий и ищем ГМТ, удовлетворяющих второму условию. Пусть это будет фигура Ф?. Пусть это будет фигура Ф?. Построить окружность, касательную к двум данным параллельным прямым a и b и проходящую через данную точку Р.Предположим, что на плоскости дана какая-нибудь прямая a. Рассмотрим такое преобразование точек плоскости, при котором каждая точка М плоскости переходит в точку Мґ, симметрично расположенную с ней относительно прямой a.Вращение плоскости около данного центра O на данный угол (определенный по величине и направлению) можно рассматривать как такое преобразование точек плоскости, при котором каждая точка М переходит в новую точку Мґ с соблюдением двух следующих условий: 1) ОМҐ = ОМ, 2) МОМҐ = .Под названием "параллельное перенесение" известно такое преобразование плоскости, при котором все ее точки смещаются на одинаковые расстояния по параллельным направлениям.