Математичне моделювання реальних процесів звичайними диференціальними рівняннями - Курсовая работа

Математичне моделювання - метод дослідження процесів або явищ шляхом створення математичних моделей і дослідження цих моделей. Математичною моделлю називається сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності, властиві досліджуваному процесу, обєкту або системі. Модель завжди відображає обєкт-оригінал не у всіх його властивостях і функціях. Під час розвязування багатьох практичних задач доводиться знаходити невідому функцію з рівняння, яке містить поряд з цією невідомою функцією її похідні. Рівняння, яке містить невідому функцію й її похідні, називається диференціальним рівнянням.В основу методу покладено ідентичність форми рівнянь і однозначність співвідношень між змінними в рівняннях оригіналу і моделі, тобто, їхню аналогію . Математичне моделювання дозволяє замінити реальний обєкт його моделлю і потім вивчати останню. Як і у разі будь-якого моделювання, математична модель не описує явище абсолютно адекватно, що залишає актуальним питання про застосовність отриманих таким шляхом даних. Процес створення математичної моделі називається математичним моделюванням. Якщо ж математична модель описує стан системи тільки для дискретних значень незалежної змінної і нехтує характером процесів, які протікають у проміжках між ними, то така модель є дискретною (тут важливим є вибір кроку дискретності, від якого залежить точність опису реального обєкта його математичної моделі).Отже, математичною моделлю називається сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності, властиві досліджуваному процесу, обєкту або системі. Такі моделі розробляються для стаціонарних обєктів, зміни яких у часі не є істотними стосовно періоду розробки та використання моделі. Для моделювання нестаціонарних імовірнісних процесів використовують стохастичні моделі. Якщо при описі моделі використовуються лише лінійні математичні конструкції (наприклад, лінійні алгебраїчні рівняння), то модель називають лінійною, інакше - нелінійною. Моделі з розподіленими параметрами описують просторове поширення явищ, а моделі з зосередженими параметрами нехтують просторовою складовою.Найбільш прості диференціальні рівняння зявились в працях Ісаака Ньютона (1643 - 1727) і Готфріда Лейбніца (1646 - 1716), саме Лейбніцу і належить термін «диференціальне рівняння». Перший період розвитку диференціальних рівнянь був повязаний з успішним розвязком деяких важливих прикладних задач, що приводять до диференціальних рівнянь, розробкою методів інтегрування різних типів диференціальних рівнянь і пошуку класів рівнянь, розвязки яких можна подати у вигляді елементарних функцій або їх первісних. Якщо в рівняння входять незалежна змінна, невідома функція і її перша похідна, то таке рівняння називається диференціальним рівнянням першого порядку. Якщо, крім цього, в рівняння входить похідна другого порядку від шуканої функції, то рівняння називається диференціальним рівнянням другого порядку тощо [22, c.402]. Будь-яку функцію, що задовольняє диференціальному рівнянню, називають розвязком, або інтегралом цього рівняння, а знаходження розвязку диференціального рівняння - інтегруванням.Математичною моделлю називається сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності, властиві досліджуваному процесу, обєкту або системі.Закон радіоактивного розпаду - фізичний закон, що описує залежність інтенсивності радіоактивного розпаду від часу і кількості радіоактивних атомів в зразку. Вони виявили його експериментальним шляхом і опублікували в 1903 в роботах «Порівняльне вивчення радіоактивності радію і торію» і «Радіоактивне перетворення», сформулювавши таким чином [10]: «У всіх випадках, коли відокремлювали один з радіоактивних продуктів і досліджували його активність незалежно від радіоактивності речовини, з якої він утворився, було виявлено, що активність при всіх дослідженнях зменшується з часом за законом геометричної прогресії». У зазначеному вище математичному вираженні - постійна розпаду, яка характеризує ймовірність радіоактивного розпаду за одиницю часу і має розмірність . Існуючі в природі радіонукліди в основному виникають в складних ланцюжках розпадів урану і торію і мають періоди напіврозпаду в дуже широкій області значень: від секунди для 212 до 10 років для 232 . Саме існування в даний час багатьох природних радіоактивних елементів незважаючи на те, що з моменту утворення цих елементів при виникненні Всесвіту пройшло дуже багато часу, є наслідком дуже великих періодів напіврозпаду 235 , 238 , 232 . Приміром, ізотоп 238 стоїть на початку довгого ланцюжка (так званий ряд радію), що складається з 20 ізотопів, кожен з яких виникає при-розпаді або-розпаді попереднього елемента. Період напіврозпаду 238 (4,5 109 років) багато більше, ніж період напіврозпаду якого з наступних елементів радіоактивного ряду, тому розпад в цілому всього ланцюжка відбувається за той же час, що й розпад 238 , її родоначальника, в таких випадках кажуть, що ланцюжок знаходит

ЗМІСТ

ВСТУП

РОЗДІЛ I. МАТЕМАТИЧНЕ МОДЕЛЮВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИМИ РІВНЯННЯМИ

1.1 Поняття математичного моделювання

1.2 Види математичних моделей

1.3 Основні поняття диференціальних рівнянь

Висновки до розділу I

РОЗДІЛ II. ЗАСТОСУВАННЯ МАТЕМАТИЧНОГО МОДЕЛЮВАННЯ ДИФЕРЕНЦІАЛЬНИМИ РІВНЯННЯМИ

2.1 Приклади процесів, що моделюються диференціальними рівняннями експоненціальної змінної

2.2 Рівняння гармонічних коливань

Висновки до розділу II

ВИСНОВКИ

СПИСОК ВИКОРАСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

Математичне моделювання - метод дослідження процесів або явищ шляхом створення їхніх математичних моделей і дослідження цих моделей.

Математичною моделлю називається сукупність математичних співвідношень, рівнянь, нерівностей, що описують основні закономірності, властиві досліджуваному процесу, обєкту або системі.

Види моделей: O динамічні або статичні;

O детерміновані або стохастичні;

O неперервні, дискретні або дискретно-неперервні;

O лінійні чи нелінійні;

O з розподіленими або зосередженими параметрами;

O аналітичні, імітаційні чи компютерні.

Рівняння, яке містить невідому функцію і її похідні, називається диференціальним рівнянням