Побудова математичної логіки як алгебри висловлень і алгебри предикатів. Основні поняття логіки висловлювань та їх закони і нормальні форми. Основні поняття логіки предикатів і її закони, випереджена нормальна форма. Процедури доведення законів.
Математична логіка займає одне з найважливіших місць у сучасній математичній науці. Математична логіка з великим успіхом використовується в теорії релейно-контактних схем і в теорії автоматів, тобто в кібернетиці, в лінгвістиці, в економічних дослідженнях, у фізіології мозку і психології тощо. Вона дає можливість краще зрозуміти структурно-логічну схему шкільного курсу математики, глибше вникнути в суть поняття доведення, зясувати зміст поняття логічного слідування, встановити звязки між різного роду теоремами тощо. Історично математична логіка будувалась як алгебраїчна теорія, у якій звязки між різними поняттями логіки виражалися за допомогою операцій. Поряд з потребою змістовної побудови математичної логіки виникла потреба будувати математичну логіку як формально-аксіоматичну теорію, для якої алгебра предикатів є однією з можливих інтерпретацій.Значення "істина" або "фальш", які надані деякому висловлюванню, називають значенням істинності цього висловлювання. Для цього в логіці висловлювань використовують пять логічних звязок: заперечення (читають "не" та позначають "-"), конюнкцію (читають "і" та позначають ""), дизюнкцію (читають "або" та позначають ""), імплікацію (читають "якщо..., то" та позначають ">") та еквівалентність (читають "тоді й лише тоді" та позначають "~"). Формули у логіці висловлювань визначають за такими правилами: Атом є формулою. Семантику логічних звязок зручно задавати за допомогою таблиць, якими визначають значення істинності формул за значеннями істинності атомів у цих формулах. Якщо формула має n атомів, то існує 2n способів надати значення істинності її атомам, тобто така формула має 2n інтерпретацій, а всі її значення можна звести в таблицю істинності з 2n рядками.Як уже відзначалось під час вивчення логіки висловлювань, існують речення, які не є висловлюваннями та містять змінні. Речення зі змінними не є висловлюваннями, але перетворюються в них, якщо надати значення змінним. У наведеному прикладі речення "х>3", або, в іншій формі, "х більше 3" складається з двох частин: першу, змінну х, називають предметом, другу - "більше 3", - яка вказує властивість предмета, називають предикатом. Позначимо речення "х більше 3" через Р(х), де предикатний символ Р позначає предикат "більше 3", а х - змінна, або предметний символ. Щойно змінна х дістає значення з предметної області, предикат Р(х) набуває значення Т або F та перетворюється у висловлювання.Формула логіки першого ступеня записана у випередженій нормальній формі, якщо вона має вигляд Q1x1Q2x2…Q n x n M, де кожне Q i xi (i=1,2,...,n) - це або xi, або хі, а формула М не містить кванторів. Вираз Q1x1Q2x2…Q n x n називають префіксом, а М - матрицею формули, записаної у випередженій нормальній формі. Наведемо послідовність кроків зведення довільної формули логіки першого ступеня до випередженої нормальної форми. Виключити з формул логічні звязки "~" та ">" застосуванням правил Р~Q=(Р>Q) (Q>Р) та Р>Q= Q.
План
План
Вступ
Розділ І. Логіка висловлювань.
Основні поняття логіки висловлювань.
Закони логіки висловлювань.
Нормальні форми логіки висловлювань.
Розділ ІІ. Логіка предикатів.
2.1. Основні поняття логіки предикатів.
2.2. Закони логіки предикатів.
2.3. Випереджена нормальна форма логіки предикатів.
Література.
Список литературы
Капітонова Ю. В., Кривий С. Л., Летичевський О. А., Луцький Г. М., Печурін М. К. Основи дискретної математики. - К.: Наукова думка, 2002.
Середа В. Ю., Математична логіка в шкільному курсі математики. - К.: Радянська школа, 1984.
Мендельсон 3. Введение в математическую логику. - М.: Наука, 1971.
Новиков П. С. Элементы математической логики. - М.: Наука, 1973.
Столл Р. Множества. Логика. Аксиоматические теории. - М: Просвещение, 1968.
